精编版-1997年河北高考理科数学真题及答案

1997年河北高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共65分）
一．选择题:本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1．设集合M =｛x │0≤x <2｝,集合N =｛x │x 2
-2x -3<0｝,集合M ∩N = ( )
(A) {}10<≤x x (B) {}20<≤x x (C) {
}
10≤≤x x
(D) {
}
20≤≤x x
2．如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a = ( )
(A) －3 (B) －6
(C) 23-
(D)
3
2 3．函数y =tg(
π3
1
21-x )在一个周期内的图像是 ( )
4．已知三棱锥D-ABC 的三个侧面与底面全等，且AB =AC =3,BC =2,则以BC 为棱，以面
BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是
( )
(A) arccos
3
3 (B) arccos
3
1 (C)
2
π (D)
3
2π 5．函数y =sin(x 23
-π
)+cos2x 的最小正周期是 ( )
(A)
2
π (B) π
(C) π2
(D) π4
6．满足arccos(1－x )≥arccos x 的x 的取值范围是 ( )
(A) [－1,－
2
1] (B) [－
2
1
,0] (C) [0,
2
1] (D) [
2
1
,1] 7．将y =2x
的图像
( )
(A) 先向左平行移动1个单位 (B) 先向右平行移动1个单位 (C) 先向上平行移动1个单位
(D) 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数y =log 2(x +1)的图像．
8．长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是
( )
(A) 20π2
(B) 25π2
(C) 50π
(D) 200π
9．曲线的参数方程是⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-
=2111t y t x (t 是参数，t ≠0),它的普通方程是
( )
(A) (x －1)2
(y －1)=1
(B) y =
()()212x x x -- (C) ()111
2
--=
x y
(D) 112
+-=
x x
y 10．函数y =cos 2
x -3cos x +2的最小值为 ( )
(A) 2
(B) 0
(C) 4
1
-
(D) 6
11．椭圆C 与椭圆()()14
2932
2=-+
-y x 关于直线x +y =0对称,椭圆C 的方程是
( )
(A) ()()19
3422
2=++
+y x
(B) ()()14
3922
2=-+
-y x
(C) ()()14
3922
2=++
+y x
(D) ()()19
3422
2=-+
-y x
12．圆台上、下底面积分别为π、π4,侧面积为π6,这个圆台的体积是 ( )
(A)
3
32π
(B) π32
(C)
6
37π
(D)
3
37π
13．定义在区间()+∞∞-,的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[+∞,0）的图像与f (x )的图像重合，设a >b >0,给出下列不等式：
①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )； ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )；
③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )； ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )， 其中成立的是 ( )
(A) ①与④
(B) ②与③
(C) ①与③
(D) ②与④
14．不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+->+->x x x x x 22330 的解集是
( )
(A) {}
20<<x x (B) {}
5.20<<x x (C) {
}
60<
<x x
(D) {}
30<<x x
15．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
( )
(A) 150种 (B) 147种
(C) 144种
(D) 141种
第Ⅱ卷 (非选择题共85分)
二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．
16．已知9
)2
(
x x a -的展开式中3x 的系数为49,常数a 的值为________
17．已知直线的极坐标方程为ρsin(4
π
θ+)=
2
2
,则极点到该直线的距离是_____ 18．
︒
︒-︒︒
︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_______
19．已知m ,l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥
α；
②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线； ③若α⊂m ,β⊂l ,且m l ⊥,则βα⊥； ④若β⊂l ,且α⊥l ,则βα⊥； ⑤若α⊂m ,β⊂l ,且α∥β,则m ∥l ．
其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都．填上)
三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．(本小题满分10分) 已知复数i z 2123-=
,i 2
2
22+=ω．复数ωz ,32ωz 在复数平面上所对应的点分别为P ,Q ．证明OPQ ∆是等腰直角三角形（其中O 为原点）．
21．(本小题满分11分)
已知数列{}n a ,{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p > q ,且1≠p ，
1≠q ．设n n n b a c +=,S n 为数列{}n c 的前n 项和．求1
lim
-∞→n n
n S S ．
22．（本小题满分12分）
甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已
知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．
I ．把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域；
II ．为了使全程运输成本．．．．．．最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（本小题满分12分）
如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、
CD 的中点．
I ．证明AD ⊥D 1F ；
II ．求AE 与D 1F 所成的角； III ．证明面AED ⊥面A 1FD 1；
IV ．设AA 1=2,求三棱锥F -A 1ED 1的体积11ED A F V - 24．(本小题满分12分)
设二次函数f (x )=ax 2
+bx +c (a >0),方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<a
1
． I ．当x ∈(0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；
II ．设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称，证明x 0<2
1
x 25． (25)（本小题满分12分）
设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程．
1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．
1．B
2．B
3．A
4．C
5．B
6．D
7．D
8．C
9．B 10．B
11．A 12．D 13．C 14．C 15．D
二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．
16．4 17．
2
2
18．32- 19．①，④ 注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．
三．解答题
20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
解法一：
),6sin()6cos(2123ππ-+-=-=
i i z
4
sin 4cos 2222ππωi i +=+=
于是
,12sin 12cos π
πωi z +=
),12
sin()12
cos(π
π
ω-
+-
=i z
)
43sin 43(cos )]3sin()3[cos(32π
πππωi i z +⨯-+-=
12
5sin 125cos
ππi += 因为OP 与OQ 的夹角为2
)12(125π
ππ=--，所以OP ⊥OQ ． 因为1.13
2
====ϖ
ϖz OQ z OP ，所以OQ OP =
由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形． 解法二: 因为)6sin()6cos(2123π
π-+-=-=
i i z ，所以i z -=3． 因为4
sin 4cos 2222ππωi i +=+=
，所以14-=ω 于是
i z z z z z z z z ==⋅=22433232ω
ωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，│OP │=│OQ │．
由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ 为等腰直角三角形．
(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．
解:
,1
)1(1)1(11--+--=q q b p p a S n n n
)
1)(1()1)(1()
1)(1()1)(1(1
111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ． 分两种情况讨论． (Ⅰ)p >1． ∵,10,0<<
>>p
q
q p
1lim
-∞→n n
n S S
)]
1
)(1()11)(1([)]
1
)(1()11)(1([lim 111111111-----∞→--+----+--=n n n n n n n n n n
n p
p q p b p q a p p
p q p b p q a p =]
1
))[(1()11)(1(]1))[(1()11)(1(lim 1111111---∞→--+----+-
-⋅n n n n n n n p
p q p b p q a p
p q p b p q a p
)
1()1(11--⋅
=q a q a p
=p ．
(Ⅱ)p <1． ∵ 0<q <p <1，
1lim
-∞→n n
n S S
)1)(1()1)(1()
1)(1()1)(1(lim
11
1111--+----+--=--∞→n n n n n q p b p q a q p b p q a 1)
1()1()
1()1(1111=--------=
p b q a p b q a
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
v
s
，全程运输成本为)(2bv v
a
S v S bv v S a y +=⋅+⋅
= 故所求函数及其定义域为
],0(),(c v bv v
a
S y ∈+=
(Ⅱ)依题意知S ，a ，b ，v 都为正数，故有
ab S bv v
a
S 2)(≥+
当且仅当
,bv v a =．即b
a v =时上式中等号成立 若
c b a ≤，则当b a
v =
时，全程运输成本y 最小， 若
c b
a
>，则当],0(c v ∈时，有 )()(bc c a
S bv v a S +-+ )]()[(bc bv c a
v a S -+-=
=))((bcv a v c vc
S
-- 因为c －v ≥0，且a >bc 2
，故有a －bcv ≥a －bc 2
>0， 所以)()(
bc c
a
S bv v a S +≥+，且仅当v =c 时等号成立， 也即当v =c 时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当
c b ab ≤时行驶速度应为b
ab
v =
；当c b
ab
>时行驶速度应为v =c ． (23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．
解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体， ∴AD ⊥面DC 1． 又D 1F ⊂面DC 1， ∴AD ⊥D 1F ．
(Ⅱ)取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ．因为F 是CD 的中点，所
以GF 、AD 平行且相等，又A 1D 1、AD 平行且相等，所以GF 、A 1D 1平行且相等，故GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F ．
设A 1G 与AE 相交于点H ，则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角，因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE ，∠GA 1A =∠GAH ，从而∠AHA 1=90°，即直线AE 与D 1F 所成角为直角．
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F ，由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F ，又AD ∩AE =A ，所以D 1F ⊥面AED ．又因为
D 1F ⊂面A 1FD 1，所以面AED ⊥面A 1FD 1．
(Ⅳ)连结GE ，GD 1．
∵FG ∥A 1D 1，∴FG ∥面A 1ED 1， ∴G E A D ED A G ED A F V V V 111111---==
∵AA 1=2，
∴S S GE A =∆1正方形ABB1A12321=
--∆∆GBE AG A S S 12
3
2313
1
1111111=⨯⨯=⨯⨯==∆--GE
A GE A D ED A F S D A V V (24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．
证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x ．因为x 1，x 2是方程f(x)－x =0的根，所以
F(x)=a(x －x 1)(x －x 2)．
当x ∈(0，x 1)时，由于x 1<x 2，得(x －x 1)(x －x 2)>0，又a >0，得
F (x )=a (x －x 1)(x －x 2)>0，
即x <f(x)．
)]
(1)[())(()]([)(2121111x x a x x x x x x a x x x F x x x f x -+-=--+-=+-=-
因为a
x x x 1
021<
<<< 所以x 1－x >0，1+a (x －x 2)=1+ax －ax 2>1－ax 2>0． 得 x 1－f(x)>0． 由此得f(x)<x 1． (Ⅱ)依题意知
a
b x 20-
= 因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，即x 1，x 2是方程ax 2
+(b －1)x +c =0的根． ∴a
b x x 1
21--
=+， a
ax ax a x x a a b x 2121)(221210-+=-+=-
=
因为ax 2<1，所以2
21
10x a ax x =<
． (25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．
解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │．
由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2
=2b 2
，
又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有
r 2=a 2+1．
从而得2b 2
－a 2
=1．
又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为
5
2b a d -=
，
所以5d 2
=│a －2b │2
=a 2
+4b 2
－4ab ≥a 2
+4b 2
－2(a 2
+b 2
)
=2b 2
－a 2
=1，
当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2
=1，从而d 取得最小值． 由此有
⎩⎨⎧=-=1
2,
2
2a b b a 解此方程组得
⎩⎨
⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.
1,
1b a 由于r 2
=2b 2
知2=
r ．
于是，所求圆的方程是
(x －1) 2
+(y －1) 2
=2，或(x +1) 2
+(y +1) 2
=2．
解法二:同解法一，得52b
a d -= ∴d
b a 52±=- 得2225544d bd b a +±=
① 将a 2=2b 2－1代入①式，整理得
01554222=++±d db b ②
把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 △=8(5d 2－1)≥0，
得 5d 2≥1．
∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值
55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．
将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号．
于是，所求圆的方程是
(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．。