直线和圆的位置关系 优秀教学设计(教案)
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直线和圆的位置关系
【教学目标】
1.教学知识点:
(1)理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。
(2)了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系。
2.能力训练要求:
(1)经历探索直线与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力。
(2)通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化。
3.情感与价值观要求:
通过探索直线与圆的位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重难点】
1.经历探索直线与圆位置关系的过程。
2.理解直线与圆的三种位置关系。
3.了解切线的概念以及切线的性质。
4.经历探索直线与圆的位置关系的过程,归纳总结出直线与圆的三种位置关系。
5.探索圆的切线的性质。
【教学过程】
一、创设问题情境,引入新课。
师:我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?
生:圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。即圆上的点到圆心的距离等于半径;圆的内部到圆心的距离小于半径;圆的外部到圆心的距离大于半径。因此点和圆的位置关系有三种,即点在圆上、点在圆内和点在圆外。也可以把点与圆心的距离和半径作比较,若距离大于半径在圆外,等于半径在圆上,小于半径在圆内。
师:本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系。
二、新课讲解。
1.复习点到直线的距离的定义。
生:从已知点向已知直线作垂线,已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离。
如下图,C为直线AB外一点,从C向AB引垂线,D为垂足,则线段CD即为点C到直线AB的距离。
2.探索直线与圆的三种位置关系。
师:直线和圆的位置关系,我们在现实生活中随处可见,只要大家注意观察,这样的例子是很多的。作一个圆,把直尺的边缘看成一条直线,固定圆,平移直尺,直线和圆有几种位置关系?
生:把太阳看作圆,地平线看作直线,则直线和圆有三种位置关系;把直尺的边缘看成一条直线,则直线和圆有三种位置关系。
师:从上面的举例中,大家能否得出结论,直线和圆的位置关系有几种呢?
生:有三种位置关系:
师:直线和圆有三种位置关系,如下图:
它们分别是相交、相切、相离。
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点),这条直线叫做圆的切线。
当直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。
当直线与圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
因此,从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系,你能总结吗?
生:当直线与圆有唯一公共点时,这时直线与圆相切;
当直线与圆有两个公共点时,这时直线与圆相交;
当直线与圆没有公共点时,这时直线与圆相离。
师:能否根据点和圆的位置关系,点到圆心的距离d和半径r作比较,类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢?
d=r时,相切;d<r时,相交;d>r时,相离。
与AB相离;
当r=4cm时,d<r,⊙C与AB相交。
3.议一议。
(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?
(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?
(3)如图(2),直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说一说你的理由。
对于(3),小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD,你同意他们的观点吗?
师:请大家发表自己的想法。
生:(1)把一只筷子放在碗上,把碗看作圆,筷子看作直线,这时直线与圆相交;
自行车的轮胎在地面上滚动,车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相切;
杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆,地平线为直线,这时直线与圆相离。
(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形。因为沿着d所在的直线折叠,直线两旁的部分都能完全重合。对称轴是d所在的直线,即过圆心O且与直线l垂直的直线。
(3)所谓两条直线的位置关系,即为相交或平行,相交又分垂直和斜交,直线CD与⊙O 相切于点A,直径AB与直线CD垂直,因为图(2)是轴对称图形,AB是对称轴,所以沿AB对折图形时,AC与AD重合,因此∠BAC=∠BAD=90°。
师:因为直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD垂直,直线CD是⊙O的切线,因此有圆的切线垂直于过切点的直径。
这是圆的切线的性质,下面我们来证明这个结论。
在图(2)中,AB与CD要么垂直,要么不垂直。假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,则OM<OA,即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此CD与⊙O相交,这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾,所以AB与CD垂直。
这种证明方法叫反证法,反证法的步骤为第一步假设结论不成立;第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾。第三步是肯定假设错误,故结论成立。
三、课时小结。
1.直线与圆的三种位置关系。
(1)从公共点数来判断。
(2)从d与r间的数量关系来判断。
2.圆的切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径。