(全国通用版)19版高考数学大一轮复习第七章立体几何第39讲直线、平面平行的判定及其性质优选课件

证明 (1)连接 EC. 1 ∵AD∥BC，BC＝2AD，∴BC AE， ∴四边形 ABCE 是平行四边形， ∴O 为 AC 的中点．又∵F 是 PC 的中点， ∴FO∥AP，且 FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF，∴AP∥平面 BEF.
(2)连接 FH，OH. ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点． ∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， ∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H， ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF， ∴GH∥平面 PAD.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关 平行 系为__________.
解析 如图．连接 AC ， BD 交于点 O ，连接 OE ，因为 OE∥BD1 ，而 OE⊂ 平面
ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
一 直线与平面平行的判定与性质
证明
1 (1)∵在直角梯形 ABCD 中，AD＝DC＝2AB＝1，
∴AC＝ 2，BC＝ 2，AB＝2，则 AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC， 又 PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD， ∴BC⊥PA，又 PA∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC. 1 在 Rt△PAB 中，M 为 PB 的中点，则 AM＝2PB， 1 在 Rt△PBC 中，M 为 PB 的中点，则 CM＝2PB，∴AM＝CM.
2．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( D ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时， 两平面才能平行，故D项正确．
判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
1 【例 1】 如图，四棱锥 P－ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝2AD，E，F，H 分 别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于点 O，G 是线段 OF 上一点． (1)求证：AP∥平面 BEF； (2)求证：GH∥平面 PAD.
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( A ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析 对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α， 所以①不正确； 对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α， 因此②也不正确； 对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面， 因此③也不正确．
解析 (1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行． (2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平 行或异面． (3)错误．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α. (4)错误．两条直线平行或相交或异面． (5)错误．直线a∥β或直线a⊂β.
又 GN∥BC，BC∥AD，AD⊂平面 ADE，GN⊄平面 ADE. 所以 GN∥平面 ADE， 又 MG∩GN＝G，所以平面 MGN∥平面 ADE， 因为 MN⊂平面 MGN，所以 MN∥平面 ADE. 故当点 N 为线段 CE 上靠近 C 的一个三等分点时，MN∥平面 ADE.
1．有下列命题： ①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α；
3．若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α 的位置关系是( A．l∥α D ) B．l⊥α
C．l与α相交且不垂直
解析 立．
D．l∥α或l⊂α
由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成
4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题： ①若a∥b，b⊂α，则a∥α； ②若a∥b，a∥α，则b∥α；
三 空间平行关系的探索性问题
解决探索性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结
论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结 论成立的充分条件 (出现矛盾)，则不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点 的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．
证明
(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
间中线面平行的有关性质与判定 定理．
2．能运用公理、定理和已获得
的结论证明一些空间图形的平行 关系的简单命题.
分值：4～6分
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板 块 二
板 块 三
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内 ________的 一条直线平行， 则该直线与此平 面平行(线线平行⇒线面平行)
【例 3】 如图所示，四边形 ABCD 为矩形，设点 M 在线段 AB
上，且满足 AM ＝ 2MB ，试在线段 CE 上确定一点 N ，使得 MN∥平
面ADE.
解析 在△ABE 中，过点 M 作 MG∥AE 交 BE 于点 G，
在△BEC 中，过点 G 作 GN∥BC 交 CE 于点 N，连接 MN， CN BG MB 1 则由CE ＝ BE ＝ AB ＝3， 1 得 CN＝3CE. 因为 MG∥AE，AE⊂平面 ADE，MG⊄平面 ADE， 所以 MG∥平面 ADE.
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( A ) A．1 解析 B．2 C．3 D．4 命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交
关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．
2．已知m，n是两条直线，α，β是连接 DB 交 AC 于点 F. 1 1 ∵DC 2AB，∴DF＝2FB. 取 PM 的中点 G，连接 DG，FM， 则 DG∥FM， 又 DG⊄平面 AMC，FM⊂平面 AMC， ∴DG∥平面 AMC. 连接 GN，则 GN∥MC，GN⊄平面 AMC，MC⊂平面 AMC， ∴GN∥平面 AMC，又 GN∩DG＝G， ∴平面 DNG∥平面 AMC，又 DN⊂平面 DNG， ∴DN∥平面 AMC.
第 七 章 立体几何
第39讲 直线、平面平行的判定及其性质
考纲要求 1.能以立体几何中的定义、公理
考情分析
命题趋势 与直线、平面平行有关 的命题判断；线线平行 的证明；线面平行的证 明；面面平行的证明； 由线面平行或面面平行 探求动点的位置.
2017·全国卷Ⅱ，18
2017·山东卷，18
和定理为出发点，认识和理解空
③若n，m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，根据面面平行的判定定理，可
得③正确．故选B．
3．如图，已知四棱锥 P－ABCD 的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90° ， 1 PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD＝DC＝2AB＝1，M 是 PB 的中点． (1)求证：AM＝CM； (2)若 N 是 PC 的中点，求证：DN∥平面 AMC.
①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β； ③若m，n为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β. 其中正确命题的个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析 ①若n⊥α，n⊥β，则n为平面α与β的公垂线，则α∥β，故①正确； ②若平面 α上有不共线的三点到平面 β 的距离相等，三点可能在平面 β的异侧，此 时α与β相交，故②错误；
∵α∥β∥γ，α∩θ＝AE，β∩θ＝BF，γ∩θ＝CG， ∴AE∥BF∥CG. AB EF 据平行线分线段成比例可知BC＝FG.
(2)当 a，b 异面时，如图，连接 AG 交 β 于点 O，连接 OB，OF. ∵β∥γ，β∩平面 ACG＝OB，γ∩平面 ACG＝CG， ∴OB∥CG， 同理可得 OF∥AE， AB AO AO EF AB EF ∴BC＝OG，OG＝FG，∴BC＝FG.
交线 与该直线平行(简记 定理 的________
为“线面平行⇒线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
相交直线 一个平面内的两条__________
判定 与另一个平面平行，则这两个 定理 平面平行(简记为“线面平行⇒ 面面平行”) 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1) 如 果 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平
行．( × )
(2) 如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 分 别 在 这 两 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 或 异 面．( √ ) ) × (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( (4)平行于同一平面的两条直线平行．( × ) (5)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.( )×
图形语言
符号语言
a⊂α l∥a ，________ ________ ， l⊄α ________ ⇒l∥α
文字语言 一条直线与一个平面平行， 则过 性质 这条直线的任一平面与此平面
图形语言
符号语言
l∥α l⊂β ________ ，________ ， α∩β＝b __________ ⇒l∥b
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1
的中点，设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解析 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下： ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO. 又∵D1B⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO， ∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO.
二 平面与平面平行的判定与性质
判定面面平行的四种方法 (1)利用定义，即证两个平面没有公共点． (2)利用面面平行的判定定理． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面
平行．
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
a∥β ，________ b∥β ， ________ a∩b＝P ____________ ， a⊂α，b⊂α _____________ ⇒α∥β α∥β ，__________ α∩γ＝a ________ ， β∩γ＝b __________ ⇒a∥b
相交 ，那么它们的 个平面________ 交线 平行 ________
又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
易错点 使用面面平行的性质进行判定时犯错 错因分析：当已知条件为 α∥β ， a⊂α， b⊂β 时，不清楚 a与 b不一定平行，还可
能异面．
【例 1】 已知三个平面 α，β，γ，满足 α∥β∥γ，直线 a 与这三个平面依次交于 AB EF 点 A，B，C，直线 b 与这三个平面依次交于点 E，F，G，求证：BC＝FG. 证明 (1)当 a，b 共面时，设 a，b 共面 θ，连接 AE，BF，CG.