江苏省南京市、盐城市2021届高三数学下学期3月第二次模拟考试试题(含解析)-江苏省南京市盐城市

江苏省南京市、盐城市2021届高三数学下学期3月第二次
模拟考试试题（含解析）
(总分150 分，考试时间120 分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第I 卷（选择题共60 分）
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．设复数z1，z2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i
【答案】A
【解析】因为z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z2＝－z1＝3－4i，所以z1z2＝(3＋4i)( 3－4i)＝32＋42＝25，故选择A.
2．设集合A，B 是全集U 的两个子集，则“A∩B＝∅”是“A⊆∁U B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由韦恩图，A∩B＝∅，而显然可得A⊆∁U B，又A⊆∁U B，可得A∩B＝∅，所以“A∩B ＝∅”是“A⊆∁U B”的充要条件，故选择C.
3．已知a，b 是相互垂直的单位向量，与a，b 共面的向量c 满足a·c＝b·c＝2，则c 的模为B．2 C．2 D．2 2
A．1
【答案】D
【解析】不妨设a，b 分别为平面直角坐标系中x 轴，y 轴上的单位向量，则a＝(1,0)，b＝(0,1)，设c＝(x,y)，则a·c＝x＝2，b·c＝y＝2，所以c＝(2,2)，所以|c|＝22＋22＝2 2，故选择D.
4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本
传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假 设某种传染病的基本传染数为 R 0，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 人中 有 V 个人接种过疫苗(V 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 N R 0(N －V )．已知新冠 N 病毒在某地的基本传染数 R 0＝2.5，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1，该地疫苗的接种 率至少为(
)
A ．40% 【答案】C
B ．50%
C ．60%
D ．70%
R 0 V
【解析】为使 1 个感染者传染人数不超过 1，即 (N －V )≤1，即 R 0 (1－ )≤1，由题 R 0
＝
N N 2.5，所以 2.5(1－V
)≤1 V 60%，即接种率至少为 60%，故选择 C. ，所以可解得N ≥ N 2cos10º－sin20º 5．计算
所得的结果为 cos20º
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．2
【答案】C
【解析】cos10° ＝ cos(30° － 20°) ＝ cos30°cos20° ＋ sin30°sin20° ＝
3 cos20° ＋ 1
sin20°. 故 2 2
2cos10°－sin20°
3cos20°
＝
＝ 3，故选择C.
cos20° cos20° 6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位 作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数 码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间 画一条短线，如 7 密位写成“0-07”，478 密位写成“4-78”．1 周角等于 6000 密位，记作 7
1 周角＝60-00，1 直角＝15-00．如果一个半径为
2 的扇形，它的面积为 π ，则其圆心角用密
6 位制表示为 A ．12-50 B ．17-50
C ．21-00
D ．35-00
【答案】B
7π
6 7π
S 7 【解析】面积 6 ，半径为 2 的扇形所对的圆心角弧度大小为 θ＝2π·πr 2＝2π·4π＝12π，由题 7 π 12
意，其密位大小为 6000× 2π ＝1750，故用密位制表示为 17-50.故选择B.
x 2 y 2
7 ．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 作倾斜角 1
为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 cos θ ＝4．若 |AB |＝|AF 1|，则双曲线 C 的离心率为
3 A ．
4 B ． 15
C ．2
D ．2
【答案】D
1
【解析】由双曲线的性质，|AF 1|－|AF 2|＝2a 即|AB |－|AF 2|＝|BF 2|＝2a ，由 cos θ＝ 知 B 点的
4
a 2 15 (c －2) (－ a ) 2 2 1 a 15
横坐标为 c －2a ·4＝c －2，纵坐标为－ a ，代入到双曲线方程可得 － ＝1， 2
a 2
b 2 c
结合 c 2＝a 2＋b 2 消去 b 2 即离心率为 2.故选择 D.
，可得a ＝ f (x ) 8．已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f ′(x )，且当 x ＞0 时， f ′(x ) ·ln x 0， ＋ ＞ x 则不等式(x 2－1)f (x )＜0 的解集为 A ．(－1， 1)
C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)
D ．(－1，0)∪(1，＋∞)
【答案】B
【解析】设 g (x )＝f (x )·ln x ，则 g'(x )＝f'(x )·ln x ＋f (x )·1 (x ＞0)，则由题意 g (x )在(0,＋∞)单调递 x ， 增，且由 g (1)＝0 知，当 x ∈(0,1)时 g (x )＜0，当 x ∈(1,＋∞)时 g (x )＞0，又由 g (x )＝f (x )·ln x ， 故有 x ∈(0,1)或(1,＋∞)时 f(x)＞0.因为 f (x )为奇函数，所以 x ∈(－∞,－1)或(－1,0)时 f (x )＜0. 综上(x 2－1) f (x )＜0 的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择 B.
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 对于两条不同直线 m ，n 和两个不同平面 α，β，下列选项中正确的为 A ．若 m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则 m ⊥n B ．若 m //α，n //β，α⊥β，则 m ⊥n 或 m //n
C. 若 m //α，α//β，则 m //β 或 m ⊂β
D. 若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n //α 或 n ⊂α
【答案】ACD 【解析】略
10．已知 a ＞b ＞0，下列选项中正确的为
A ．若 a － b ＝1，则 a －b ＜1
B ．若 a 2－b 2＝1，则 a －b ＜1
C ．若 2a －2b ＝1，则 a －b ＜1
D ．若 log 2a －log 2b ＝1，则 a －b ＜1 【答案】BC
a 2－
b 2 1
【解析】a －b ＝( a － b )( a ＋ b )＝ a ＋ b ＞ a － b ＝1，A 错误；a －b ＝ a ＋b ＝
a ＋
b 1 ＜ ，a －b ＜1，B 正确；2a －2b ＝1＝2b (2a －b －1)＞2a －
b －1，a －b ＜1，C 正确；log 2a a －b
－log 2b ＝1＝log a
，a ＝2b ，a －b 无法判断，D 错误；故选择BC.
2b 11．已知函数 f (x )＝ |sin x |＋ |cos x |，则
A ．f (x )是周期函数
B ．f (x )的图象必有对称轴
π
，k ∈Z D ．f (x )的值域为[1，4 8] C ．f (x )的增区间为[k π，k π ＋2] 【答案】ABD
【解析】A 显然正确；注意到 f (－x )＝ |sin(－x )|＋ |cos(－x )|＝ |sin x |＋ |cos x |＝f (x )， π ＝1， π ＝4
8，C 错误；f (x )＝ |sin x | 故 y 轴为 f (x )的一条对称轴，B 正确；注意到 f (0)＝f (2) f (4) k π π(k ∈Z )时，取“＝”，又 f (x )＝ ＋ |cos x |≤
(1＋1)(sin x ＋cos x )≤ 4 8，当且仅当 x ＝ ＋
2
4
|sin x |＋ |cos x |≥ |sin x |2＋ |cos x |2＝|sin x |＋|cos x |≥1，当且仅当 x ＝k π
(k ∈Z )时，取
2 “＝”，D 正确；故选择ABD.
k * k 2n －
k 12．已知 n ∈N ，n ≥2，p ，q ＞0，p ＋q ＝1．设 f (k )＝C p q ，其中 k ∈N ，k ≤2n ，则 2n
2n
A ． ∑ f (k )＝1
k =0
2n
B ． ∑ kf (k )＝2npq
k =0
n
1 n
C ．若 np =4，则 f (k )≤f (8)
D ． ∑ f (2k ) f (2k －1) ＜ ＜∑ 2 k =0
k =1 【答案】AC
2n
2n
2n 2n －1
k k － k k 2n k － 1 k 2n k －
p k q 2n －1－k ＝ 【解析】A 显然正确； ∑ kf (k )＝ ∑ kC p q ＝ ∑ 2nC p q ＝2np ∑ C 2n 2n －1
2n －1 k =0 k =0 k =1 k =0
k k 2n k －
f (k ) C p q p (2n ＋1－k ) f (k ＋1) p (2n －k ) p (2n －k ) 2n 2np ，B 错误； ＝ ＝ ， ＝ ， ≤1≤ k － qk
f (k ) f (k －1) 1 k — ＋ －
1 2n 1 k q (k ＋1) q (k ＋1) C p q 2n p (2n ＋1－k ) 1
n ，2np －p ≤k ≤2np ＋q ，8－p ≤k ≤8＋q ，k ＝8，C 正确；当 p ＝q ＝2时，∑f (2k )
qk k =0
1 n
＝ ＝∑f (2k －1)，D 错误；故选 AC. 2 k =1
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上
述要求的不同方案共有
【答案】36
▲ 种．（用数字填写答案） 【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有 C 2A 3＝6×6＝36 种.
4 3 x 2 y 2
14 ．已知椭圆4 ＋ 3 ＝1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，以 A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交
于 B ，C 两点．若直线 BC 过点 F ，则 R 的值为 ▲ ． 13 【答案】
2 【解析】A (2,0), F (1,0), B ，C 两点关于 x 轴对称，即横坐标为 1，代入椭圆方程，得 B ,C 坐
3 13 3 2＝ . 标为(1， ±2） ,R ＝ (2－1)2＋(0 －2)
2 15．在四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PA ＝ 2．若点 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，则直线 EF 被四棱锥 P －ABCD 的外接球所截得的线
段长为
▲ ． 【答案】 6
【解析】注意到△PAC ，△PBC ，△PDC 均为以 PC 为斜边的直角三角形，故外接球球心 O
6 为 PC 中点，R ＝2PC ＝ 3，取 EF 中点 G ，又AC ＝OC ＝ 2 ，故 GO ⊥PC ，d ＝GO ＝ 1 P C GC
6 2 ，
l ＝2 R 2－d 2＝ 6.
16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 r 是函数 y ＝f (x )的一个零点，任意选取 x 0 作为 r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1，设 l 1 与 x 轴交点的横坐标为 x 1，并称 x 1 为 r 的 1 次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2，设 l 2 与 x 轴交点的横坐标为 x 2，并称 x 2 为 r 的 2 次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线 y ＝f (x )的切线 l n ＋ 1，记 l n ＋1 与 x 轴交点的横坐标为 x n ＋1，并称 x n ＋1 为
r 的 n ＋1 次近似值．设 f (x )＝x 3＋x －1(x 3x 3＋x n n ，n ∈N *，数列{a n }
≥0)的零点为 r ，取 x 0＝0，则 r 的 2 次近似值为
▲ ；设 a n ＝ 2x 3＋1
n 的前 n 项积为 T n ．若任意 n ∈N *，T n ＜λ 恒成立，则整数 λ 的最小值为 ▲ ．
3
【答案】4，2
【解析】(1) f '(x )＝3x 2＋1，取 x 0＝0，f (0)＝－1，f '(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1 斜率为 1，l 1 方程为 y ＝x －1,交 x 轴点横坐标为 1，即 x 1＝1，f (1)＝1，f '(1)＝4，过点
(1，1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2 斜率为 4，l 2 方程为 y ＝4x －3 交 x 轴点横坐标为3
(2)f (x 0)＝
； 4
2 x 3＋1 0
x 3＋x －1，f '(x )＝3x 2＋1，切线方程为 y ＝(3x 2
＋1)(x －x )＋x 3＋x －1,即 x ＝
,可得出
0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 x 2＋1 0
3 2 3
2x ＋1 n －1
1 3x ＋1 x n －1 n －1 3x ＋x n －1 x n －1 n －1 ,即 a ＝ ，所以 n ∈N * {x }的递推关系式为 x ＝ , ＝ , ＝ n n n －1 3x ＋1 x n 2x ＋1
2
3 x n 3
x n 2x ＋1 n －1 n －1 n －1
x 1
1 3 1
，因为 f '(x )＞0，且 f ( )＝－ ，f (1)＝1，所以 f (x )的有唯一零点 x '∈( ，1)，所以
时 T n ＝ 2 8 2 x n ＋1
1
x 1 当 n ≥1 时，x ∈(x '，x ) (2， 1)，所以 T ＝ ∈(1，2).故 λ 的最小值为 2. n ＋1 1 n x n ＋1
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)
在①b ＝ 3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题 中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin B －sin(A －C )＝ 3
sin C ，c ＝3，
?
解：因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin B ＝sin(A ＋C )，所以 sin B －sin(A －C )＝(sin A cos C ＋cos A sin C ) －(sin A cos C －cos A sin C )＝2cos A sin C ＝ 3sin C ，因为 C ∈(0，π)，所以 sin C ≠0，所以 cos A ＝
3 π 2 ，又 A ∈(0，π)，所以 A ＝6.
3 若选①，由正弦定理，sin B ＝ 3sin A ＝ π 2π 2 ，所以 B ＝3或 3 ，
π π 3 3 若 B ＝3，则 C ＝π－A －B ＝2，所以 b ＝c cos A ＝ ， 2
1 1 3 3 1 9 3 S △ABC ＝2bc sin A ＝2× ×3×2＝ ;
2 8 2π π
若 B ＝ 3 ，则 C ＝π－A －B ＝6，所以 a ＝c ＝3， 1 1 3
9 3 S △ABC ＝2ac sin B ＝2×3×3× 2 ＝ .
4 若选②，因为 c ＝3，由正弦定理，sin A ＝sin C cos B ，又因为 A ＋B ＋C ＝π， 所以 sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以 cos C sin B ＝0，又 B ∈(0，π)，所以 sin B ≠0，
π
3 3，
所以 cos C ＝0，C ＝2，所以 b ＝c cos A ＝ 2
1 1 3 3 1 9 3
S △ABC ＝2bc sin A ＝2× ×3×2＝ .
2 8 1
若选③，由正弦定理 c sin A ＝a sin C ＝1，由 c ＝3，sin A ＝2，矛盾，所以这样的三角形不存在 . 18．(本小题满分 12 分)
已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ＋r ，其中 r 为常数． (1)求 r 的值；
(2)设 b n ＝2(1＋log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列 {c n }，求 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100 的值． 解:(1)n ＝1 时，a 1＝S 1＝2＋r ，
－1
n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以 a 2＝2，a 3＝4，
a 2 2
＝1，即 2＋r ＝1，所以 r ＝－1，
因为{a n }为等比数列，所以 a 1＝ a 3
a n
此时，对任意 n ∈N ，a ＝2 ，所以 n ≥2 时，a *
n 1
－ ≠0， ＝2，故{a }为等比数列，所 n n －1 n
a n －1
以 r ＝－1．
(2)b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ，
b n ＋1－b n ＝2，所以{b n }是首项为 2，公差为 2 的等差数列．
数列{b n }前 100 项为 2，4，6，8，…，200，其中 2，4，8，16，32，64，128 为数列{a n } 中的项，所以{c n }前 100 项为{b n }中前 107 项去除 2，4，8，16，32，64，128 后按原来顺 序构成的数列．
故 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 107)－(a 2＋a 3＋…＋a 8) 107(2＋214) ＝ －2(2 －1)＝11556－256＋2＝11302． 7 2 19．(本小题满分 12 分)
某公司对项目 A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
(1)请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；
(2)该公司计划用 7 百万元对 A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百 万元所获得的利润 y 近似满足：y ＝0.16x －0.49
＋0.49，求对 A ，B 两个项目投资金额分别
x ＋1 为多少时，获得的总利润最大？
附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，···，(x n ，y n )，其回归直线方程^y ＝b ^x ＋a
^的斜率和 项目 A 投资金额 x
（单位：x 百万元）
1
2
3
4
5
所获利润 y
（单位：y 百万元）
0.3
0.3
0.5
0.9
1
n
∑ x i y i －nx · y — －
i =截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^
＝ n
∑ x 2－n －
x 2 i
i =1
n
∑ x i y i －nx · y i =1 — －
②线性相关系数 r ＝
．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以
n ( n
∑ x i －nx ) ( ∑ y i －ny 2
－2 2 －2 )
i =1
i =1
上(含 0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
n n
参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中∑ x y ＝11， ∑ y ＝2.24， 4.4≈2.1．
2
i i i i =1 i =1
解(1)由已知数据得：￣x ＝(1＋2＋3＋4＋5)÷5＝3， ￣
y ＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6， 5
∑ x i y i －5￣x ·￣
y ＝11－5×3×0.6＝2， i ＝1 5
∑ x i -5￣x ＝(1＋4＋9＋16＋25)－5×9＝10，
2 2 i =1 5
∑ y i －5￣y ＝2.24－5×0.36＝0.44，
2 2 i =1
5
∑ x i y i －5 x · y — － i =1 则b ^ ＝ ^－ ^ ^ － ＝0.2，a ＝ y －bx ＝0.6－0.2×3＝0，则有y ＝0.2x ，
5 ∑ x 2
－5－x 2
i i =1
5
∑ x i y i －5 x · y
— －
2 2 ＝ ＝ ≈0.9524＞0.95， i ＝1 r ＝
2.1 5 5 10×0.44 ∑ x i －5 x ) ( ∑ y i －5 y 2 －2 2
－2 ( )
i ＝1
i ＝1
答：线性回归方程为：^y ＝0.2x ；y 与 x 线性相关性较强．
(2)由于对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元，则对项目 A 投资(7－x )百万元，
则总利润为：y ＝0.16x －0.49
＋0.49＋0.2(7－x )，(1≤x ≤6)
x ＋1 y ＝1.89－0.04x －
0.49 ＝1.93－[0.04(x ＋1)＋0.49
] x ＋1 ≤1.93－0.28＝1.65
x ＋1
当且仅当 x ＋1＝3.5，即 x ＝2.5 时，取到最大值 1.65 百万元，
答：投资 A 项目 4.5 百万元，B 项目 2.5 百万元，利润最大值为 1.65 百万元． 20．(本小题满分 12 分)
如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，B 1C ＝ 6，且 AB ⊥B 1C ． （1）求证：平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；
4
（2）若点 P 在棱 BB 1 上且直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值为 ，求 BP 的长．
5
z C 1
C 1
B 1
B 1
A 1
A 1
P
x
C
B C
B
O
A
y （第 20 题图）
A
（第 20 题图）
解(1)证明：取 AB 中点 O ，连结 B 1O ，CO ，在正三角形 ABC 中，
CO ⊥AB ，且 CO ＝ 3，因为 AB ⊥B 1C ，CO ∩B 1C ＝C ， 所以 AB ⊥平面 B 1CO ，所以 AB ⊥B 1O ，
因为 BO ＝1，BB 1＝2，所以 B 1O ＝ 3，因为 B 1O 2＋CO 2＝6＝B 1C 2，所以 B 1O ⊥CO ， 因为 CO ∩AB ＝O ，所以 B 1O 垂直平面 ABC ，又 B 1O ⊆平面 ABB 1A 1，所以平面 ABB 1A 1⊥平 面 ABC ；
(2)由(1)，OC ，OA ，OB 1 两两垂直，故可分别以 OC ，OA ，OB 1 方向为 x ，y ，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系，
所以 A (0，1，0)，C( 3，0，0)，B (0，－1，0)，B 1(0，0， 3)，
→ → - → - →
所以AC ＝( 3，－1，0)，CB ＝(－ 3，－1，0)，AA 1＝BB 1＝(0，1， 3)，设BP ＝λBB 1＝(0， - →
→ λ， 3λ) ，则CP ＝ CB ＋ BP ＝ (－ 3，λ－1， 3λ).
设平面 ABB 1A 1 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，
⎧⎪→ ⎧y ＝ 3 则⎨ AC ·n ＝ 3x －y ＝0
，取 x ＝1，得⎨ ， ⎪ → ⎩z ＝－1 ⎩ AA 1·n ＝y ＋ 3z ＝0
所以 n ＝(1， 3，－1)，
设直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的大小为 θ， →
则 sin θ＝|cos<n ， CP >|
＝ (1， 3，－1)·(－ 3，λ－1， 3λ)
|
|
12＋( 3)2＋(－1)2× (－ 3)2＋(λ－1)2＋( 3λ)2
＝ 2 3 1 1 4 ＝ ，得 4λ －2λ＋ ＝0，解得 λ＝ ， 2 4 4 5
5× 4λ2－2λ＋4
1 1
所以 BP ＝ BB 1＝ .
4 2
21.已知直线 l :y ＝x ＋m 交抛物线 C :y 2＝4x 于 A ，B 两点． - →
(1)设直线 l 与 x 轴的交点为 T ，若AT ＝2 TB ，求实数 m 的值；
(2)若点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，求证:A ，B ，M ，N 四点共圆． 解:(1)在 y ＝x ＋m 中令 y ＝0，可得 T (－m ，0)， 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
- → - →
→ 因为AT ＝2 TB ，所以OA ＝3 OT －2OB ，
即(x 1，y 1)＝(－3m －2x 2，－2y 2)，所以 y 1＝－2y 2， 将 y ＝x ＋m 代入 y 2＝4x 可得 y 2－4y ＋4m ＝0， 所以 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ， 所以 y 1＝8，y 2＝－4，m ＝－8， 所以实数 m 的值为－8．
(2)证法 1：设 M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，
所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，代入 y 2＝4x 得 y 2＋4y ＋4n ＝0， 所以 y 3＋y 4＝－4，y 3y 4＝4n ， x ＋x 3 4 所以 MN 中点为 ( ，－2)， 2
y 2＋y 2 x 3＋x 4 3 4＝ (y 3＋y 4)2－2y 3y 4 因为 ＝ ＝2－n ，
2 8 8
所以 MN 中点为(2－n ，－2)， 所以－2＝2－n ＋m ，即 m －n ＝－4，
y 3－y 4 4(y 3－y 4) 4 因为 k MN ＝ ＝ ＝ ，
y 2－y 2 x 3－x 4 3 4
y 3＋y 4 4 16 所以 k AM ·k BM ＝
4 · ＝ ，
y 2＋(y 1＋y 2)y 3＋y 1y 2
y 3＋y 1 y 3＋y 2 3
因为 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，
16 4 所以 k AM ·k BM ＝ 16 ＝ ＝ ＝－1， y 2＋4y 3＋4m 4x 3＋4y 3＋4m m －n
3 所以∠AMB ＝90º，同理∠ANB ＝90º，
所以 A ，B ，M ，N 都在以 AB 为直径的圆上，
所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．
证法 2：因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，
所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，
所以 A ，B ，M ，N 满足方程(x －y ＋m )(x ＋y ＋n )＋2(y 2－4x )＝0，
即 x 2＋y 2＋(m ＋n －8)x ＋(m －n )y ＋mn ＝0，
所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．
注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高 中数学－解析几何系统解析》.
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ∈[0，π]，a ∈R ． 1 (1)当 a
＝2 时，求证：f (x )≥0； (2)若函数 f (x )有两个零点，求 a 的取值范围．
1 1 解：(1)当 a f (x )=e x －2x sin x －x －1， ＝2时，
1 f'(x )＝e x －2(sin x ＋x cos x )－1，
1 1 f'(x )＝e x －2(cos x ＋cos x －x sin x )＝(e x －1)＋(1－cos x ) ＋2x sin x ≥0(因为 x ∈[0，π])，
所以 f'(x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f'(x )≥f ’(0)＝0，
所以 f (x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f (x )≥f (0)＝0．
1 1 ≤2时，f (x )≥e x －2x sin x (2)由(1)知，当 a －x －1≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号，
此时函数 f (x )仅有 1 个零点．
1
当a＞2时，因为f(x)＝e x－ax sin x－x－1，
所以f′(x)＝e x－a(x cos x＋sin x)－1，f′′(x)＝e x＋a(x sin x－2cos x)．
当x∈ π
[2，π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．
π
时，f′′′(x)＝e x＋a(3sin x＋x cos x)．
当x∈[0，2]
因为e x＞0，a(3sin x＋x cos x)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调递增．
π
ππ
又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，
ππ
因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0∈(0，)．
2
当x∈(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；
2
π
当x∈(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．
2
又f′(0)＝0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，
因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1∈(x0，π)．
当x∈(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；
当x∈(x1，π)时，f′(x)＞0，所以f (x)单调递增．
又f (0)＝0，f (x1)＜f (0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，
所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．
综上，a 的取值范围是1 (2，＋。