初三圆的证明专题训练(答案)

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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
(扫描二维码可查看试题解析)
一．解答题（共17小题）
1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB
于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
4．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，
C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
5．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA
的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
6．（2013•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足
为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
7．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过
点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．
8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的
切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC是⊙O的切线．
9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B
作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
10．（2012•黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，
∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=，求AD的长．
11．（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、
BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
12．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，
过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：BD2=AB•BE．
13．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O
上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
14．（2011•凉山州）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．
15．（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．
16．（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上
一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．
17．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点
A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=，求PC的长．
2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共17小题）
1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题．
分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
解答：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，
∴sin∠2===，cos∠2===，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF==
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．
解答：（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵△EOC≌△DOC，
∴CE=CD=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．
3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
考点：切线的判定与性质．
专题：几何图形问题．
分析：（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
解答：解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，
则（4+x）2=x2+（5+3）2，
解得：x=6，
即BE=6．
点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
4．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．
（1）求AD的长；
（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．
专题：计算题．
分析：（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，
由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；
（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．
解答：解：（1）连接BD，∵DE是直径∴∠DBE=90°，
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC=AD=1，
则AD=2；
（2）是，理由如下：
如图，连接OB．∵BC∥OD，BC=OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
5．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．
考点：切线的判定与性质；解直角三角形．
分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；
（2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4．
解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP==，
∴∠P=30°．
∴∠AOP=60°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴AC==2，
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，
∴CD===4．
点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值．
6．（2013•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．
考点：切线的判定与性质；菱形的判定．
专题：压轴题．
分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
解答：证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×4=2，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=（x﹣2）2+（2）2，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD==4，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形FADC是菱形；
（2）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．
考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题：几何综合题．
分析：（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由
△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
解答：证明：（1）连接OC，
∵OD⊥BC，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
∵OB是⊙O半径，
∴BE与⊙O相切．
（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，
∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴==
又∵sin∠ABC=，OB=9，
∴OD=6，
易得∠ABC=∠ODH，
∴sin∠ODH=，即=，
∴OH=4，
∴DH==2，
又∵△ADH∽△AFB，
∴=，=，
∴FB=．
点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用．
8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．
（2）求证：PC是⊙O的切线．
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理．
分析：（1）根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=BC；
（2）连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可等证．
解答：
（1）猜想：OD∥BC，OD=BC．
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=BC
（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，
，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题；几何综合题；压轴题．
分析：（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可；
（2）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可；
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可．
解答：（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴=，
∴AE•FD=AF•EC．
（2）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴=，=，
∴==，
∵CE=EH（E为CH中点），
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即CF=BF．
（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
∵GBA是⊙O割线，AB=BG（已证），
FB=FE=2，
∴由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2，
∴FG2﹣4FG﹣12=0，
解得：FG=6，FG=﹣2（舍去），
由勾股定理得：
AB=BG==4，
∴⊙O的半径是2．
点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
10．（2012•黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=，求AD的长．
考点：切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
分析：（1）先连接CO，根据AB是⊙O直径，得出∠1+∠OCB=90°，再根据AO=CO，得出∠1=∠A，最后根据∠4=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD为⊙O的切线；
（2）根据OC⊥CD，得出∠3+∠D=90°，再根据CE⊥AB，得出∠3+∠2=90°，从而得出
cos∠2=cosD，再在△OCD中根据余弦定理得出CO的值，最后根据⊙O的半径为，即可
得出AD的长．
解答：证明：（1）连接CO，
∵AB是⊙O直径
∴∠1+∠OCB=90°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠4=∠A，
∴∠4+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线．
（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD，
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=，
∵cosD=，CE=2，
∴=，tanD==，
∴CO=，
∴⊙O的半径为．
∴OD===，
AD=．
点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，同时考查了三角函数的知识．
11．（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线．
（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
考点：切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．
（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，
求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．
（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．
解答：解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
又C点在直径上，
∴直线CP是⊙O的切线．
（2）如右图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2，sin∠BCP=，
∴sin∠BCP=sin∠DBC===，
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．
（3）如右图，连接AN，
∵AC为直径，
∴∠ANC=90°，
∴Rt△ACN中，AC==5，
又CD=2，
∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．
∵BD∥CP，
∴，
∴CP=．
在Rt△ACP中，AP==，
AC+CP+AP=5++=20，
∴△ACP的周长为20．
点评：本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．
12．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D 作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：BD2=AB•BE．
考点：切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，继而得出点D是AC中点，判断出OD是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论．
（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论．
解答：证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，
∴CD=AD（三线合一），
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
故可得DE为⊙O的切线；
（2）∵∠EBD=∠DBC，∠DEB=∠CDB，
∴△BED∽△BDC，
∴=，
又∵AB=BC，
∴=，
故BD2=AB•BE．
点评：此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，解答本题的关键是得出点D是AC中点，求出∠ODE是直角，有一定难度．
13．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．
专题：几何综合题．
分析：（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6﹣x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，
化简得x2﹣11x+18=0，
解得x1=2，x2=9．
∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5﹣2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
14．（2011•凉山州）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为
的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接EC，AD为△ABC的角平分线，得∠1=∠2，又AD⊥BE，可证∠3=∠4，由对顶角相等得∠4=∠5，即∠3=∠5，由E为的中点，得∠6=∠7，由BC为直径得∠E=90°，
即∠5+∠6=90°，由AD∥CE可证∠2=∠6，从而有∠3+∠7=90°，证明结论；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC=5，由∠3=∠4得AM=AB=3，则CM=AC﹣AM=2，由（1）可证△CME∽△BCE，利用相似比可得EB=2EC，在Rt△BCE中，根据BE2+CE2=BC2，得BE2+（）2=42，可求BE．
解答：（1）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4（1分）
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，（2分）
又∵E为的中点，
∴=，
∴∠6=∠7，（3分），
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；（4分）
（2）解：∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC===5（5分）
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2（6分）
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME∽△BCE，得===，（7分）
∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE2+CE2=BC2，
即BE2+（）2=42，
解得BE=．（8分）
点评：本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理的运用．关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线，利用相等角推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解．
15．（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．
考点：切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到
tan∠CDA=tan∠OEB==，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到===，求得CD，
然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．
解答：（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=，
∴tan∠OEB==，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴===，
∴CD=×6=4，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+4）2=x2+62，
解得x=．
即BE的长为．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．
16．（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°即可；
（2）根据相似三角形的判定定理AA证明△QAO∽△QBP，然后由相似三角形的对应边成比例求得=，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）在Rt△OAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得QB=27，利用（1）的结论求得PQ=45，即PA=36，又由勾股定理知OP=12；然后由切线的性质求AB的长．解答：（1）证明：连接OP，与AB交于点C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴=，即AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）连OP并交AB于点C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，
∴OA=12，AQ=9，
∴QB=27；
∵=，
∴PQ=45，即PA=36，
∴OP=12；
∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA，
∴=，
∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12•AC，
∴AC=，故AB=．
点评：本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理．图形中的线段的求法，可以通过特殊角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解．
17．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O 的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=，求PC的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质
得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．
（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PC得长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圆的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴
∵CO=OA=，AF=1，
∴PC=PA，
设PA=x，则PC=．
在Rt△PCO中，由勾股定理得：，
解得：，
∴PC=2×=．
点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度．。