数字信号处理[第二章时域离散信号和系统的频域分析]

序列的共轭对称部分 对应FT的实部
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
序列的共轭反对称部 分对应FT的虚部与j
17
时域离散信号和系统的频域分析
分析实因果序列h(n)的对称性
h(n) hr (n) jhi (n)
h(n) he (n) ho (n)
H (e j ) H e (e j ) Ho (e j ) H (e j ) H R (e j ) jH I (e j )
j 2 kn j 2 mn
x(n)e N [ ake N ]e N
n0
n0 k
N 1 j 2 (k m)n
ak e N
ak N
k n0
k
19
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
ak
1
N 1 ~
j 2 kn
x(n)e N
N n0
~
令 X (k) Nak
h(n) / 2, n 0
h(n) / 2, n 0
18
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
~
周期序列不满足 x(n) n
~
傅里叶级数：x(n)
j 2 kn
ak e N
k
N 1 j 2 (km)n N, k m
eN
n0
0,
k
m
N1 ~
j 2 mn N 1
cos 0 n
1 [e 2
j0n
e
] j0n
X
(e
j
)
FT [cos 0 n]
FT [
1 2
(e
j0n
e
j0n
)]
[ ( 0 2 r) ( 0 2 r)] r
25
时域离散信号和系统的频域分析 时域离散信号与模拟信号的FT关系
Xa ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
xa
(t)
1
6
时域离散信号和系统的频域分析
三 离散时间、连续频率的序列傅里叶变换 x(nT) T
X e j 或 X (e jT )
---
---
-T 0 T 2T
t
时域信号
0
频域s信 2号T
正 : X (e jT ) 离散的x(nT )周e期jn的T
n
反 : x(nT ) 1 非s / 2周X期(e的jT )e连jn续T d的
s s / 2
7
时域离散信号和系统的频域分析
四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换
x(nT)=x(n)
Tp
1 F
Tp NT
0 T 2T
NT
t
12
N
时域信号 s
2
T
fs
1 T
离散的
频域信号 周期的
周期的 离散的 0 0 20
N 0
01 2 3
N
k
(N 1)0 (N 1)
8
时域离散信号和系统的频域分析 序列和周期序列的傅氏变换
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
采样信号：xa (t) cos(2 f0nT ) (t nT )
周期延拓X：a ( j)n[ ( 2 f0 ) ( 2 f0 )]
X a ( j) FT[xa (t)]
s 2 / T 2 fs
2
X
a
(
j)e
jt
d
xa (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa(
j)
1 T
n
Xa(
j
jks )
26
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
x(n) xa (nT )
X (e j )
x(n)e jn
n
x(n) 1 X (e j )e jnd
33
时域离散信号和系统的频域分析
Z变换的定义及收敛
若序列为x(n),则Z变换定义为：
X (z) Z[x(n)] x(n)zn n
使其Z变换收敛的所有Z值的集合
称为X（Z）的收敛域
x(n)zn
n
34
时域离散信号和系统的频域分析
四种序列的收敛域
x(n)
x(n), 0,
n1 n 其他n
16
时域离散信号和系统的频域分析
序列的傅里叶变换（FT）的性质
7.FT的对称性
预备知识
x(n) xr (n) jxi (n)
实部对应的FT具有 共轭对称性
X (e j ) X e (e j ) X o (e j ) x(n) xe (n) xo (n)
虚部与j对应的FT具 有共轭反对称性
5
时域离散信号和系统的频域分析 二 连续时间、离散频率的傅里叶级数
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
时域1信号Tp / 2 频x域(t信)e号 jk0t dt 连T续p 的Tp / 2非周期的
反 : x(t ) 周期X的( jk 离散0的)e jk0t
k
Xa(
j)e jnT d
'
2 T
r
xa (nT )
1
2
r
/T /T
Xa ( j'
j
2 T
r)e d j
('
2 T
) nT
'
28
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa (nT )
1
2
r
/T /T
Xa ( j
j
2 T
r
)e
j
(
2 T
)
nT
d
交换区间
1 2
Hh((en虚jw)部)实是部2奇h是he函e0(偶(n,数nn函)),,n数n000
,
he
h(n)
ho
((nn))21122hh[[hx(o0((0(nn,n)))n,)n,hhn((0nn0))]]0
h(0), n 0
0, n 0
he (n)
h(n) / 2, n
0
, ho (n)
h(n) / 2, n 0
e j2
f0t ]e jt dt
[ ( 2 f0 ) ( 2 f0 )]
[ ( 100 ) ( 100 )]
30
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
第二章 时域离散信号和系统 的频域分析
时域离散信号和系统的频域分析
傅里叶变换的形式
主
序列和周期序列的傅氏变换
要
内
容
Z变换与Z反变换
利用Z变换分析频域特性
2
时域离散信号和系统的频域分析 信号与系统分析方法：
时域分析方法
序列域分析方法
变换域分析方法
Z变换，傅里叶变换
拉普拉斯变换，傅里叶变换
3
时域离散信号和系统的频域分析 傅里叶变换的形式 傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”
2
序列的X(ejw)与模拟信号的X( j)有什么关系？
27
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa
(t)
1
2
t nT
X
a
(
j)e
jt
d
x(n) 1
2
X (e j )e jn d
xa
(nT
)
1
2
X
a
(
j)e
jnT
d
区间不同
1
2 r
(2r 1) /T (2r 1) /T
~
X
(k)
N 1
~
x(n)e
j 2 N
kn，称为
~
x(n)的离散傅里叶级数，为DFS
n0
~
x(n)
1
N
1
~
X
(k
)e
j
2 N
kn，称为
~
X
(k
)的反离散傅里叶级数，为IDFS
N k0
20
时域离散信号和系统的频域分析
~
[例] 设 x(n) R4(n) ，求 x8 (n) 的DFS。
～
解：X (k)
x(n)的FT。
序列的傅里叶变换，将
/T
f
代入即可：
s
X (e j )
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)
T
[
k
(
fs
2
f0
k 2
fs
)
(
fs
2
f0
k 2
fs )]
T
[
k
(
/
2
k 2
)
(
/
20
k 2
)]
32
时域离散信号和系统的频域分析 Z变换与Z反变换
Z变换的定义及收敛 Z反变换/逆Z变换 Z变换的基本性质和定理 利用Z变换解差分方程
当xa (t) e j0t : Xa ( j)
e
e j0t
jt dt
2
(
0 )
当x(n) e j0n e j(0 2r)n : X (e j ) 2 ( 0 2 r)
r
X (e j ) FT ( 1
N 1 ~
j 2 kn
X (k)e N )
1
N 1 ~
j 2 kn
X (k)FT (e N )
N k0
N k0
1 N 1 ~ X (k)
2 ( 2 k 2 r)
N k0
r
N
22
时域离散信号和系统的频域分析 周期序列的傅里叶变换（FT）
X (e j ) 2
~
X
(k )
(
2
k)
N k
N
~
N 1 ~
j 2 kn
X (k) x(n)e N
n0
23
时域离散信号和系统的频域分析
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
模拟信号的傅里叶变换：X a ( j) FT[xa (t)]
X a ( j)
cos 2
f0te jt dt
1 2
[e
j
2
f0t
与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系
4
时域离散信号和系统的频域分析 一 连续时间、连续频率的傅里叶变换
x(t) 正: X ( j) x(t)e jtdt
0
t 反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
X ( j)
2
时域信号 频域信号
0
连续的 非周期的 非周期的 连续的
~
[例] 设 x(n) R4(n) ，求 x8 (n) 的FT。
解：已知
～
X
(k
)
1
j k4
e4
j k
1e 4
X (e j ) 2
~
X (k) (
2
k)
N k
N
4
k
j k4
1e 4
j k
1e 4
(
4
k)
24
时域离散信号和系统的频域分析
[例]
设
~
x(n)
cos
0n，求其FT。
~
解：x(n)
/T /T
r
Xa(
j xj(n2T)r)e 1 jnT d
2
X (e j )e jn d
＝T
1
2
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)e jnd
X (e j )
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)
序列的FT是模拟信号 FT的周期延拓
29
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
y(n) x(n)h(n)
Y (e j ) 1 X (e j ) H (e j )
2
1
X (e j )H (e j( ) )d
2
15
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
6.帕斯维尔定理
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
n
2
信号时域的总能量等于频域的总能量
序列的傅里叶变换（FT）
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jnd
2
x(n)
n
9
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 x(n) RN (n) ，求 x(n)的FT。
解：X (e j ) RN (n)e jn n
N 1
e jn
FT e j0n x(n) X (e j(0 ) )
13
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质 4.FT的时域卷积定理
y(n) x(n) h(n) Y (e j ) X (e j )H (e j )
14
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
5.FT的频域卷积定理
N 1 ~
j 2 kn
x8 (n)e N
7
~
j 2 kn
x8 (n)e 8
n0
n0
3 j kn
e4
n0
j k4
1
e
4
j
k
1e 4
21
时域离散信号和系统的频域分析 周期序列的傅里叶变换（FT）
~
x(n)
1
N 1 ~
j 2 kn
X (k)e N
N n0
模拟信号的傅里叶变换: X ( j) x(t)e jtdt
X1(e j ) FT x1(n) X 2 (e j ) FT x2 (n) FT ax1(n) bx2 (n) aX1(e j ) bX 2 (e j )
12
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质 3.FT的时移与频移
X (e j ) FT x(n) FT x(n n0 ) e jn0 X (e j )
n0
1 e jN 1 e j
10
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
1.FT的周期性
X (e j(2 M ) )
x(n)e j(2 M )n
n
x(n)e jne j 2 Mn
n
x(n)e jn X (e j )
n
11