欧拉积分及其应用

欧拉积分及其简单应用
引言：我们知道无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它我们可以构造出处处连续而处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线（参见常庚哲、史济怀著《数学分析教程》第三册第17章§17.8）
含参量积分是构造新函数的另一重要工具，欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表示的函数。

它虽身为含参量积分的一种特例，被教科书编用于加深对含参量积分所表示的函数的分析方法的理解。

但本身也是许多积分的抽象概括，能为相关积分的计算带来方便。

欧拉积分包括：
伽马（Gamma ）函数：Γ(s)=⎰+∞--01dx e x x s , s>0.-----------（1）
贝塔（Beta ）函数：B(p ，q)= ⎰---1011)1(dx x x q p ， p>0, q>0-------------（2）
下面我们分别讨论这两个函数的性质：
一、B 函数…………………Euler 第一积分
1、 定义域：
B(p ，q)=⎰---1011)1(dx x x q p =⎰---21011)1(dx x x q p +⎰---1
2111)1(dx x x q p = 1I + 2I
对
1I = ⎰---2
1
011)1(dx x x q p
当x →0时.
1I =⎰-2
1
01dx x p = ⎰-21011dx x p 其收敛须p>0 对2I =⎰---12
111)1(dx x x q p
. 当x →1时 ， 2I =⎰--1
211)1(dx x q ,令.1-x=t =⎰-2101dx t
q = ⎰-21011dx t q 其收敛须.q>0. ∴B(p ，q) 定义域为p>0,q>0.
2、 连续性 因为对∀p 。

>0，q 。

>0有11)1(---q p x x ≤1100)1(---q p x x p ≥p 。

,q ≥q 。

而⎰---1
01100)1(dx x x q p 收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法知B(p ，q)在p 。

≤p<+∞,q 。

≤q<+∞，上一致收敛，因而推得B(p ，q)在p>0,q>0内连续。

3、 对称性B(p ，q)=B(p ，q)
作变换 x=1-y , 得
B(p ，q)= ⎰---1
011)1(dx x x q p =⎰---1
011)1(dy y y q p = B(q ，p) 4、 递推公式
B(p ，q)=1
1-+-q p q B(p ，q-1)(p>0,q>1)……………(1) B(p ，q)=1
1-+-q p p B(p-1 ，q)(p>1,q>0)……..(2) B(p ，q)=
)2)(1()1)(1(-+-+--q p q p q p B(p-1，q-1)(p>1,q>1)............(3) B(p ，q)=B(p+1，q)+ B(p ，q+1)(p>-1,q>-1). (4)
下面只证明(1)；(2)可由对称性及公式(1)推出；(3 )、(4)可由公式(1).、(2.推得；
当P>0,q>1时，有B(p ，q)=⎰---1011)1(dx x x q p =⎰--101)1(1p q dx x p
=101|)1(p
x x q p --+⎰---102)1(1dx x x p q q p =⎰-------10211)1)](1([1dx x x x x p
q q p p =⎰----1021)1(1dx x x p q q p −⎰----10
11)1(1dx x x p q q p =p q 1- B(p ，q −1) −p
q 1-B(p ，q) 移项并整理得(1)
5、 B(p ，q)的其他形式
a,令x=t 2cos
则B(p ，q)=2⎰--20
1212cos sin π
tdt t p q 特别的当p=q=21, B(p ，q) =B(21，2
1)=π
b.令x=t
+11 当 x:0→1 有 t :+∞→0 B(p ，q)=
⎰∞++-+01)1(dt t t q p q =⎰∞++-+01)1(dt t t q p p =⎰+-+101)1(dt t t q p p +⎰∞++-+11)1(dt t t q p p 考察⎰
∞++-+01)1(dt t t q p q ,令t=y 1, 则有⎰
∞++-+11)1(dt t t q p p =−⎰+-+011)1(dt t t q
p q =⎰+-+101
)1(dt t t q p q . ∴B(p ，q) =⎰+--++1
01
1)1(dt t t t q p q p 二、Γ函数………………Euler 第二积分
1、定义域
Γ(s)=⎰+∞--01dx e x x s =⎰--101dx e x x s +⎰+∞
--11dx e x x s = 1I + 2I 其中
1I = ⎰--1
01dx e x x s ,当s ≥1时是正常积分；
当0<s<1时是收敛的无界函数反常积分（可用柯西判别法推得）
2I =⎰+∞
--11dx e x x s ,当s>0时是收敛的无穷限反常积分（也可用柯西判别法推得）； 所以，Γ函数在s>0时收敛，即定义域为s>0.
2、连续性
在任何闭区间[a ，b](a>0)上，
对1I ，当0<x ≤1时有x s e x --1≤x a e x --1
由于⎰--1
01dx e x x a 收敛，从而1I 在[a ，b]上一致收敛; 对于 2I ，当1≤x<+∞时，有x s e x --1≤x b e x --1,由于⎰+∞
--11dx e x x s 收敛， 从而 2I 在[a ，b]上也一致收敛，于是Γ(s)在s>0上连续
3、可微性
⎰+∞--∂∂01)(dx e x s x s =⎰+∞--01ln xdx e x x s =⎰+∞--01)ln (dx e x x x s （利用狄利克雷判别法）它
在任何闭区间[a ，b](a>0)上一致收敛.
∴Γ(s)在[a ，b]上可导.
由a ，b 的任意性，Γ(s)在s>0上可导，且
Γ’(s)=⎰+∞
--01ln xdx e x x s s>0. 依照上面的方法，还可推得Γ(s) 在s>0上存在任意阶导数： )(n Γ(s)=⎰+∞
--01)(ln dx x e x n x s .s>0. 4、递推公式 Γ(s+1)=s Γ(s)
证：分部积分法
⎰-A
x s dx e x 0=A x s e x 0|--+⎰--A x s dx e x s 01=A s e A --+⎰--A
x s dx e x s 01 设A →+∞，就得到Γ(s)的递推公式：
Γ(s+1)=s Γ(s)
设n<s ≤n+1，即0<s −n ≤1，应用递推公式n 次可得到Γ(s+1)=s Γ(s)=s(s-1)Γ(s-1)=………….=s(s-1)(s-2)……(s-n)Γ(s-n)
因Γ（1）=⎰+∞
-0dx e x =1 若s 为正整数n+1，则Γ(n+2)=(n+1)n ……..2Γ(1)=(n+1)！
从上可以看出：
（2） . Γ函数是阶乘的推广（x ）！
（2）．如果已知Γ（s ）在0<s ≤1上的值，那么在其他范围内的函数值可由它计算出来，即可做出一个Γ函数值表
三、Γ函数与Β函数之间的关系
当m ，n 为正整数时，反复应用Β函数的递推公式可得：
Β(m,n)=11-+-n m n Β(m,n-1)=1
1......2211+⋅-+-⋅-+-m n m n n m n Β(m,1)
又由于Β(m,1)=⎰=-1011m
dx x m ， 所以Β(m,n)= 11......2211+⋅-+-⋅-+-m n m n n m n )!
1()!1(1--⋅⋅m m m =)!1()!1()!1(-+--n m m n 即Β(m ，n)=
)()()(m n m n +ΓΓΓ 一般地，对于任何正实数p 、q 也有相同的关系：
Β(p,q)= )
()()(q p q p +ΓΓΓ 证：对于Γ函数，令x=2u ，则udu dx 2=，于是
⎰⎰+∞--+∞--==Γ012012
2)(du e u dx e x p u p x p ，从而
=ΓΓ)()(q p 4⎰+∞--0122dx e x x p ⎰+∞--0122dy e y y q =lim +∞→R 4⎰--R x p dx e x 0122⎰--R y q dy e y 0
122
令],0[],0[R R D R ⨯=，由二重积分化为累次积分计算公式有
⎰⎰+---R
D y x q p d e y x σ)(121222=⎰--R x p dx e x 0122⎰--R y q dy e y 01
22, 所以
=ΓΓ)()(q p lim +∞→R 4⎰⎰+---R
D y x q p d e y x σ)(121222
=4⎰⎰+---D
y x q p d e y x σ)(121222 (4)
这里D 为平面上第一象限部分。

下面讨论（4）式右边的反常二重积分。

记}0,0,|),{(222≥≥≤+=y x r y x y x D r
于是有=ΓΓ)()(q p 4⎰⎰+---D y x q p d e y x σ)(121222=
lim +∞→r 4⎰⎰+---r
D y x q p d e y x σ)(121222，， 对上式右边积分应用极坐标变换，则可得
=ΓΓ)()(q p lim +∞→r 4⎰⎰----+20012122)(22
)(sin )(cos π
θθθr r q p q p rdr e r d
=lim +∞→r 2⎰--201212)(sin )(cos π
θθθd q p ⎰--+⋅r r q p dr e r 01)(222
=2⎰--201
212)(sin )(cos π
θθθd q p ·Γ(p+q)
再由Β函数其他形式（a ）就得到
=ΓΓ)()(q p Β(p,q)Γ(p+q)
四、在计算积分之中的应用
1、积分值计算：
例1、⎰-102
dx x x
解：原式=⎰-1021
21)1(dx x x =⎰ΓΓ=B =---102123123)3()]23([)23,23()1(dx x x =824!2)]21(21
[2
π
π=⨯=Γ
参考文献：
【1】、华东师范大学数学系，《数学分析》[M]，(上，下册)：高等教育出版社2007 【2】、李铁木编著《分析提纲与命题证明》[M]，（第二册）：宇航出版社，1986
【3】、费定辉，周学圣等，吉米多维奇数学分析习题集题解（五）[M]，：山东科学技术出版社，1999
【4】裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M ]. : 高等教育出版社, 1993.
【5】Γ.Μ. 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程[M] . :高等教育出版社,1986. Solving definite integral calculation by using Euler integral
Wang Qing–Guo
Abstract : In this paper, aiming at solving some very difficult definite integral calculation problems ,these problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first ,then these problems are solved easily by using some of properties of Euler integral,so it provides an effective method of solving some special types of definite integral calculation to us
Key words: Euler integral; Г–function; В–function;。