湖南省邵阳市邵阳县2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

湖南省邵阳市邵阳县2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 在12、1x 、a 2、3
x+y 中分式的个数有( ) A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 2. 把分式2016x
x+y (x +y ≠0)中的分子、分母同时扩大10倍，那么分式的值( )
A. 不改变
B. 缩小10倍
C. 扩大10倍
D. 改变为原来的1
100 3. 如图，点C 、D 在线段AB 上，AC =DB ，AE//BF.添加以下条
件仍不能判定△AED≌△BFC 的是( )
A. ED =CF
B. AE =BF
C. ∠E =∠F
D. ED//CF 4. 若分式x 2−16
3x−12是的值为零，则x 等于( )
A. −4
B. 4
C. ±4
D. 0 5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上的中点，若∠BAD =35°，
则∠C 的度数为( )
A. 35°
B. 55°
C. 60°
D.
70° 6. 纳米(nm)是一种非常小的长度单位，1nm =10−9m ，如果某花粉的直径为6200nm ，那么用科
学记数法表示该花粉的直径为( )
A. 6.2×10−6m
B. 62×10−7m
C. 0.62×10−5m
D. 6.2×103m 7. 若关于x 的分式方程x x−3−2=m x−3有增根，则m 的值为( )
A. 3
B. 0
C. −3
D. 2 8. 能把一个三角形分成两个面积相等的两个三角形的是( ) A. 角平分线
B. 高
C. 中线
D. 一边的垂直平分线
9.如图，在△ABC中，直线ED垂直平分线段BC，分别交BC、AB于点D、点E，若BD=3，△AEC
的周长为20，则△ABC的周长为()
A. 23
B. 26
C. 28
D. 30
10.如图，等边△ABC的顶点A、B分别在网格图的格点上，则∠α的度数为()
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.如图，已知△ABC的边BC上有D，E两点，且BD=DE=EC=AD=AE，
则∠BAC的度数为________．
12.计算：m2−4m+4
m−1÷(3
m−1
−m−1)=______．
13.如图，已知∠AFB=∠CED，AF=CE，要使△ABF≌△CDE，应补充的
直接条件是
______ (写一个即可)
14.如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，∠EDF=70°，则∠A的度数为______．
15.如图，CD是△ABC的角平分线，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACD的度数是
__________．
16.分式3
2a2b 与2
ab2c
的最简公分母是________．
17.已知a+1
a =3，则a2+1
a2
=____．
18.如图，BC=BE，∠1=∠2，要使△ABC≌△DBE，还需添加一个的
条件是______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）
19.解方程：1
x−3=2
x
．
20.如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，
EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
(1)求证：△BCD是等腰直角三角形；
(2)若BD=8厘米，求AC的长．
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分）
21.如图，AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．
22.先化简，再求值：(x2−4
x2−4x+4−2
x−2
)÷x2+2x
x−2
，然后选取一个你喜欢的数代入求值．
23.计算下列各题：
(1)先化简，再求值：x2−2x+1
x2−1÷x−1
x2+x
，其中x=−2．
(2)(1+b
a−b )÷a
a2−b2
．
24.如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，
连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．
(1)求证：△AEG是等腰直角三角形；
(2)求证：AG+CG=√2DG．
25.某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成
任务．
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米;
(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原
计划增加百分之几⋅
26.等腰△ABC中，腰长AB=8cm，BC=5cm，∠CBD=18°，AB的垂直平分
线MN交AC于点D．
(1)求△BCD的周长；
(2)求∠A的度数．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：1x 、3x+y 是分式，
故选：A ．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 本题主要考查分式的定义，注意分母中含有字母是分式，分母中不含有字母不是分式． 2.答案：A
解析：解：分式
2016x x+y (x +y ≠0)中的分子、分母同时扩大10倍，那么分式的值不变， 故选：A ．
根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变． 3.答案：A
解析：
本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全
等三角形的判定定理.欲使△AED≌△BFC ，已知AC =DB ，AE//BF ，可根据全等三角形判定定理AAS 、
SAS 、ASA 添加条件，逐一证明即可．
解：∵AC =DB ，
∴AD =CB ，
∵AE//BF ，
∴∠A =∠B ，
A .如添加ED =CF ，不能证明△AED≌△BFC ，故A 符合题意；
B .如添AE =BF ，根据SAS ，能证明△AED≌△BF
C ，故B 不合题意；
C .如添∠E =∠F ，利用AAS 即可证明△AED≌△BFC ，故C 不合题意；
D .如添ED//CF ，得出∠EDA =∠FCB ，利用ASA 即可证明△AED≌△BFC ，故D 不合题意． 故选：A ．
4.答案：A
解析：解：依题意得：x 2−16=0且3x −12≠0．
解得x =−4．
故选：A ．
根据分式的值为0的条件求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，即分子等于零且分母不等于零．
5.答案：B
解析：
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
(180°−70°)=55°．
∴∠C=1
2
故选B．
6.答案：A
解析：
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，属于基础题．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：∵1nm=10−9m，
∴6200nm=6200×10−9m，
=6.2×103×10−9m，
=6.2×10−6m，
故选A．
7.答案：A
解析：解：方程两边都乘x−3，
得x−2(x−3)=m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x−3=0，
解得x=3，
当x=3时，m=3
故m的值是3．
故选：A．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8.答案：C
解析：
本题考查了三角形的面积，熟知等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键.根据等底等高的两个三角形的面积相等解答．
解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，面积相等．
故选C．
9.答案：B
解析：[分析]
根据线段的垂直平分线的性质得到EC=EB，BC=2BD=6，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
[详解]
解：∵ED垂直平分线段BC，
∴EC=EB，BC=2BD=6，
∵△AEC的周长为20，
∴AE+EC+AC=AE+BE+AC=AB+AC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+6=26，
故选B．
10.答案：A
解析：解：如图：
由图可知：∠BOE=∠OBE=45°，
∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠OFB=180°−45°−60°=75°，
∴∠BFG=∠α=90°−75°=15°，
故选：A．
根据等边三角形的性质和三角形内角和解答即可．
此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和三角形内角和解答．
11.答案：120°
解析：
本题主要考查等边三角形的性质与判定及三角形外角的性质，
由AD=AE=DE，可得△ADE是等边三角形，即可得∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，又由AD=BD，AE=EC，即可求得∠BAD与∠CAE的度数，继而求得答案．
解：∵AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∵AD=BD，AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=120°.
故答案为120°．
12.答案：2−m
2+m
解析：解：m2−4m+4
m−1÷(3
m−1
−m−1)
=
(m−2)2
m−1
÷
3−(m+1)(m−1)
m−1
=(m−2)2
m−1
⋅
m−1
3−m2+1
=(m−2)2
m−1
⋅
m−1
(2+m)(2−m)
=2−m
2+m
，
故答案为：2−m
2+m
．
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，本题得以解决．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．13.答案：∠C=∠A或∠B=∠D或FB=DE
解析：解：添加∠C=∠A，
在△ABF和△CDE中，
{∠AFB=∠CED AF=CE
∠A=∠C
，
∴△ABF≌△CDE(ASA)．
故答案为：∠C=∠A．
添加∠C=∠A，可利用ASA定理判定△ABF≌△CDE．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14.答案：40°
解析：
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练运用全等三角形的性质是解本题的关键．
由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由“SAS”可证△BED≌△CDF，可得∠CDF=∠BED，由三角形外角的性质可得∠EDF=∠B=70°，即可求∠A的度数．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵BE=CD，BD=CF，
∴△BED≌△CDF(SAS)，
∴∠CDF=∠BED，
∵∠EDC=∠B+∠BED=∠CDF+∠EDF，
∴∠B=∠EDF=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∴∠A=180°−70°−70°=40°．
故答案为40°．
15.答案：35°
解析：
本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义计算即可．
解：∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=70°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠ACB=35°，
故答案为35°．
16.答案：2a2b2c
解析：
本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此即可解答．
解：3
2a2b ，2
ab2c
的分母分别是2a2b、ab2c，故最简公分母是2a2b2c.
故答案为2a2b2c.
17.答案：7
解析：
本题主要考查的是完全平方公式，代数式求值，运用了整体代入法，此题的关键是要把a2+1
a2
当成一个整体来计算．
把已知条件平方，然后求出所要求式子的值．
解：∵a+1
a
=3，
∴(a+1
a
)2=9，
∴a2+2+1
a2
=9，
∴a2+1
a2
=7．
故答案为7．
18.答案：AB =BD(答案不唯一)
解析：
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．
由∠1=∠2可求得∠ABC =∠DBE ，结合BC =BE ，要使△ABC≌△DBE ，可再加一边利用SAS 来证明全等．
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC =∠2+∠DBC ，即∠ABC =∠DBE ，
∵BC =BE ，
∴可添加AB =BD ，
此时两三角形满足“SAS ”，可证明其全等，
故答案可以为AB =BD.(答案不唯一)
19.答案：解：原方程可化为：x =2(x −3)，
解得：x =6，
经检验：x =6是原方程的根．
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.答案：(1)证明：如图所示，
∵∠DBC =90°，EF ⊥AB ，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∵∠ACB =∠DBC =90°，
∴AC//BD ．
∴∠A =∠2．
∴∠A =∠3．
在△ACB 和△EBD 中，
{∠A =∠DEB ∠ACB =∠EBD =90°AB =DE
,
∴△ACB≌△EBD(AAS)．
∴BC=DB．
∴△BCD是等腰直角三角形．
(2)解：由△ACB≌△EBD，
∴AC=EB，
∵BD=8cm，
∴BC=BD=8cm．
∵E是BC中点，
∴BE=1
2
BC=4cm，
∴AC=4(cm)．
解析：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
(1)要证△BCD是等腰直角三角形，只需证BC=DB，由已知∠DBC=90°，EF⊥AB，可证∠2=∠3，由已知∠ACB=∠DBC=90°，可证AC//BD，得∠A=∠2，即可证得∠A=∠3，又已知∠ACB=∠EBD= 90°，AB=DE，符合三角形全等的判定定理AAS，即可证得△ACB≌△EBD，所以BC=DB，即证△BCD是等腰直角三角形．
(2)由(1)知△ACB≌△EBD，得到AC=EB，又因为BD=8cm，即BC=8cm.又因为E是BC中点，故BE=4，即可求AC=4cm．
21.答案：证明：如图，连接BC，
在△ABC和△DCB中，{AB=CD AC=BD BC=CB
，
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠A=∠D．
解析：连接BC，利用“边边边”证明△ABC和△DCB全等，根据全等三角形对应角相等证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22.答案：解：原式=(x+2
x−2−2
x−2
)⋅x−2
x(x+2)
=
x
x−2
⋅
x−2
x(x+2)
=1
x+2
，
∵x≠±2、0，
∴取x=1，
则原式=1
3
．
解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值，代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23.答案：解：(1)x2−2x+1
x−1÷x−1
x+x
=
(x−1)2
(x+1)(x−1)
×
x(x+1)
x−1
=x，
把x=−2代入原式=x=−2；
(2)(1+
b
a−b
)÷
a
a2−b2
=a−b+b
×
(a+b)(a−b)
=a+b．
解析：本题考查了分式的化简求值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式，特别注意运算顺序及符号的处理．
(1)分子、分母分别有理化，再约分即可，把x的值代入即可；
(2)根据运算顺序，先算括号里面的，再约分即可．
24.答案：(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠AFD=∠PAE，
∵AG平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP．
∵∠AFD+∠FAE=90°，
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°，
∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE为等腰直角三角形；
(2)证明：作CH⊥DP，交DP于H点，
∴∠DHC=90°．
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC．
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH．
∵在△ADE和△DCH中，
{∠AED=∠DHC ∠ADE=∠DCH AD=DC
，
∴△ADE≌△DCH(AAS)，
∴CH=DE，DH=AE=EG．
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH．
∴CG=√2GH．
∵AG=√2EG，
∴AG=√2DH，
∴CG+AG=√2GH+√2HD，
∴CG+AG=√2(GH+HD)，
即CG+AG=√2DG．
解析：本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
(2)作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH(AAS)，得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=√2GH，AG=√2DH，计算即可．
25.答案：解：(1)设原计划每天修建道路x 米，
可得：1200x =12001.5x +4，
解得：x =100，
经检验，x =100是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天修建道路100米；
(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，
可得：1200100=1200
100(1+y ％)+2，
解得：y =20，
经检验，y =20是原方程的解，且符合题意．
答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%．
解析：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
(1)设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路1.5x 米，根据题意，列方程解答即可；
(2)由(1)的结论列出方程解答即可．
26.答案：解：(1)∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，
∴AD =BD ，
∵AB =AC =8cm ，BC =5cm ，
∴△BCD 的周长为BC +BD +CD =BC +AD +DC =BC +AC =8cm +5cm =13cm ；
(2)设∠A =x°，
∵AD =BD ，
∴∠ABD =∠A =x°，
∵AB =AC ，∠DBC =18°，
∴∠ABC =∠C =(x +18)°，
∵∠A +∠ABC +∠C =180°，
∴x +x +18+x +18=180，
∴x =48，
即∠A =48°．
解析：本题考查了解一元一次方程，等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，能求出AD =BD 和得出关于x 的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
(1)根据线段垂直平分线性质求出AD =BD ，即可求出△BCD 的周长=AC +BC ，代入求出即可；
(2)设∠A=x°，根据等腰三角形性质推出∠ABD=∠A=x°，∠ABC=∠C=(x+18)°，得出关于x 的方程，求出方程的解即可．。