韦达定理及其应用

韦达定理及其应用
内容综述
设一元二次方程有二实数根,则, ;
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理;其逆命题也成立;韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用;本讲重点介绍它在五个方面的应用;
要点讲解
1．求代数式的值
应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值;
★★例1若a,b为实数,且,,求的值;
思路注意a,b为方程的二实根；隐含;
说明此题易漏解a=b的情况;根的对称多项式,,等都可以用方程的系数表达出来;一般地,设,为方程的二根,,则有递推关系;
其中n为自然数;由此关系可解一批竞赛题;
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值,但计算量较大;
★★★例2若,且,试求代数式的值;
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解,也可以借助于代数变形来完成;
2．构造一元二次方程
如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程;
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和;
1试求以和为根的一元二次方程；
2若以和为根的一元二次方程仍为;求所有这样的一元二次方程;
3．证明等式或不等式
根据韦达定理或逆定理及判别式,可以证明某些恒等式或不等式;
★★★例4已知a,b,c为实数,且满足条件：,,求证a=b;
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧;另外在求得c=0后,由恒等式可得,即a=b;此方法较第一种烦琐,且需一定的跳跃性思维;
4．研究方程根的情况
将韦达定理和判别式定理相结合,可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等;关于方程的实根符号判定有下述定理：
⑴方程有二正根,ab<0,ac>0；
⑵方程有二负根,ab>0,ac>0；
⑶方程有异号二根,ac<0；
⑷方程两根均为“0”,b=c=0,；
★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件,试求实数a 的范围;
⑴二根均大于1；
⑵一根大于1,另一根小于1;
思路设方程二根分别为,,则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于和异号;
说明此例属于二次方程实根的分布问题,注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法,请参照后继相关内容;此例若用二次函数知识求解,则解题过程极为简便;
5．求参数的值与解方程
韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着许多巧妙的应用;
★★★例6解方程;
强化训练
A 级
★★1.若k为正整数,且方程有两个不等的正整数根,则k的值为________________;
★★2.若,,则_______________;
★★★3 .已知和是方程的二实根,则_____________;
★★★4.已知方程m为整数有两个不等的正整数根,求m的值;
Ｂ级
★★★★5.已知：和为方程及方程的实根,其中n为正奇数,且;
求证：,是方程的实根;
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足,试求k的值;。