2013年考研数学二试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、设cos x 1 x sin (x) ，(x) ，当x 0 时，(x)（）
2
（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小
（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小
【答案】（C）
【考点】同阶无穷小
【难易度】★★
【详解】cos x 1 x sin ( x) ，
1
2 cos x 1 x
2
1
2
x sin ( x) x ，即
2
1 sin (x) x
2
当x 0 时，(x) 0 ，sin (x) (x)
1
(x) x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.
2
2、已知y f (x)由方程cos( xy) ln y x 1确定，则
（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2
【答案】（A）
2
lim n[ f ( ) 1]
n
n
（）
【考点】导数的概念；隐函数的导数
【难易度】★★
【详解】当x 0 时，y 1.
2
f ( n) 1 f x f x f
2 (2 ) 1 (2 ) (0)
lim n[ f ( ) 1] lim lim 2lim 2f (0)
1 2
n n n x 0 x x 0 x
n
方程cos( xy) ln y x 1两边同时对x求导，得
1
sin( xy)( y xy ) y 1 0
y
将x 0 ，y 1代入计算，得y (0) f (0) 1
1
所以，
2
lim n[ f ( ) 1] 2
n
n
，选（A）.
3、设
sin x [0, )
f ( x) ，
2 [ ,2 ]
x
F (x) f (t)dt ，则（）
（A）x为F (x)的跳跃间断点（B）x为F (x)的可去间断点（C）F ( x) 在x处连续不可导（D）F ( x) 在x处可导
【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念
【难易度】★★
【详解】 F ( 0) sin tdt 2 sin tdt sin tdt 2 ，F(0) 2，
0 0
2
F ( 0) F ( 0) ，F (x) 在x处连续.
F
x
f ( t)dt f (t)dt
0 0
( ) lim 0
x
x
，F
x
f (t)dt f (t )dt
0 0
( ) lim 2
x
x
，
F ( ) F ( )，故F ( x)在x 处不可导. 选（C）.
4、设函数 f (x)
1
1
( x 1)
1
1
xln x
1 x e
x e
，若反常积分
1
f ( x)dx收敛，则（）
（A） 2 （B） 2 （C） 2 0 （D）0 2 【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分
【难易度】★★★
【详解】
e
f ( x)dx f ( x)dx f (x)dx
1 1 e
由
1 f ( x)dx收敛可知，
e
1
f ( x)dx与 f (x)dx均收敛.
e
1
e e
f ( x)dx dx
1
1 1 ，x 1是瑕点，因为
e
1
1
(x1) 1
收敛，所以 1 1 2
dx
(x 1)
2
1 1
f ( x)dx dx (ln x)
1
e e x x
ln e
，要使其收敛，则0
所以，0 2 ，选 D.
y
5、设( )
z f xy
x ，其中函数 f 可微，则
x z z
y x y
（）
（A）2yf (xy) （B）2yf (xy ) （C）【答案】（A）2
x
f (xy) （D）
2
x
f (xy )
【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★
【详解】
2
z y y
2 f ( xy) f ( xy)
x x x
，
z 1
y x
f (xy ) yf (xy )
2
x z z x y y 1
[ f (xy) f ( xy)] [ f ( xy) yf ( xy)]
2
y x y y x x x
1 1
f ( xy) yf ( xy) f ( xy) yf ( xy) 2yf ( xy)
x x
，故选（A）.
6、设D 是圆域
k
2 2
D (x, y) x y 1 位于第k 象限的部分，记
I ( y x)dxdy (k 1,2,3, 4) ，则（）
k
D
k
（A）I1 0 （B）I2 0 （C）I3 0 （D）I4 0 【答案】（B）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算
【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，I1 I3 0 .
I y x dxdy （y x 0），
2 ( ) 0 I y x dxdy （y x 0 ）
4 ( ) 0
D
2 D
4
因此，选 B.
7、设A、B、C均为n 阶矩阵，若AB=C，且 B 可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
3
（C）矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
（D）矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
【答案】（B）
【考点】等价向量组
【难易度】★★
【详解】将矩阵 A 、C 按列分块， A ( , , n) ，C ( 1, , n)
1
b b
11 1n
由于AB C ，故( , , ) ( , , )
1 n 1 n
b b
n1 nn
即1b11 1 b n1 n, , n b1n 1 b nn n
即C的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.
由于 B 可逆，故 1
A C
B ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选
（B）.
1 a 1
2 0 0
8、矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是（）
与
1 a 1 0 0 0
（A）a 0,b 2
（B）a 0,b 为任意常数
（C）a 2,b 0
（D）a 2,b 为任意常数
【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件
【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
2 0 0 1 a 1
由0 0
A a b a 的特征值也是2，b ，0.
b 的特征值为2，b ，0 可知，矩阵
0 0 0 1 a 1
1 a 1 1 a 1
因此， 2 2
2E A a 2 b a 0 2 b a 2a 4a 0 a0
1 a 1 0 2a 0
4
1 0 1
将a 0代入可知，矩阵 A b 的特征值为2，b ，0.
0 0
1 0 1
此时，两矩阵相似，与 b 的取值无关，故选（B）.
二、填空题：9～14小题, 每小题4分, 共24分. 请将答案写在答题．纸．．指定位置上.
9、
1
ln(1 x)
lim(2 ) x
x 0
x
. 1
【答案】 2
e
【考点】两个重要极限
【难易度】★★
【详解】
1
1 ln(1 x ) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x )
ln(1 x) ln(1 x) 1 (1 ) (1 ) lim (1 ) x x x x x x x x lim(2 ) lim[1 (1 ) ] lim e e
x 0
x 0 x 0 x 0
x x
其中，
1
1
1 ln(1 x) x ln(1 x) 1 x x 1 lim (1 ) lim lim lim
2
x x x 2 x 2 (1 ) 2
0 0 0 0
x x x x x x 1
故原式=e
2
10、设函数
x
t
f (x) 1 e dt ，则y f (x) 的反函数
1
x f y 在y 0处的导
数1( )
1( )
dx
dy
y 0
.
1 【答案】
1
1 e
【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★
【详解】由题意可知， f ( 1) 0
5
dy dx 1 dx dx 1
x
f (x) 1 e
dx dy e x dy dy e
1 1
y 0 x 1 1 .
11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为r cos3 ( ) ，则L 所围平面图形的面积
6 6
是.
【答案】
12
【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积
【难易度】★★
【详解】面积
1 1 cos6 1 sin 6
6
2 2
6 6 6
S r ( )d cos 3 d d ( )
2 0 0 2 2 6 12
6 0
12、曲线
x arctan t,
y ln 1 t 2 上对应于t 1点处的法线方程为.
【答案】ln 2 0
y x
4
【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★
1 1
2 2 dy dy / dt 1 t
dx dx / dt
1
1
2 2
(1 t ) 2t
1
2
t
t ，故
dy
dx t 1
【详解】由题意可知， 1
曲线对应于t 1点处的法线斜率为
1
k 1.
1
当t 1时，x ，y ln 2 .
4
法线方程为ln 2 ( )
y x ，即y x ln 2 0 .
4 4
13、已知3x 2 x
y e xe ，
1
x 2x
y e xe ，
2
2x
y xe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3
3
个解，则该方程满足条件y，
0 0
x y 0 1的解为y .
x
【答案】3x x 2 x
y e e xe
6
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】3x x x
y y e e ，y2 y3 e 是对应齐次微分方程的解.
1 2
由分析知，* 2x
y xe 是非齐次微分方程的特解.
故原方程的通解为3x x x 2x
y C1(e e ) C2e xe ，C1,C2 为任意常数.
由y0 0，
x y 可得C1 1，C2 0 .
0 1
x
通解为3x x 2x
y e e xe .
14、设A (a )是3 阶非零矩阵， A 为A的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若
ij
a A 0(i , j 1,2,3) ，则A .
ij ij
【答案】-1
【考点】伴随矩阵
【难易度】★★★
【详解】* T * T
a A 0 A a A A AA AA A E
ij ij ij ij
等式两边取行列式得
2 3
A A A 0或A
1
T
当A 0时，0 0
AA A （与已知矛盾）
所以A 1.
三、解答题：15～23 小题, 共94 分. 请将解答写在答题．纸．．指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10 分）
当x 0 时，1 cos x cos 2x cos3 x与ax n 为等价无穷小，求n 和a的值.
【考点】等价无穷小；洛必达法则
【难易度】★★★
【详解】
cos6x cos4 x cos2x 1
1
1 cosx cos2x cos3x 4
lim lim
n n
ax ax
x 0 x 0
3 cos 6x cos
4 x cos 2x 6sin 6x4sin 4x 2sin 2x lim lim
n n 1
x 0 4ax x 0 4 a nx
7
lim x 0 36cos6 x 16cos 4x 4cos 2x
n
4an (n 1)x
2
故n 2 0，即n 2时，上式极限存在.
当n 2时，由题意得
1 cos x cos 2x cos3 x 36cos 6x 16cos 4x 4cos 2x 36 16 4
lim lim 1
n
x 0 ax x 0 a a
8 8
a 7
n 2,a 7
16、（本题满分10 分）
1
设D是由曲线y x3 ，直线x a (a 0) 及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D绕x 轴，y
轴旋转一周所得旋转体的体积，若V 10V ，求a的值.
y x
【考点】旋转体的体积
【难易度】★★
【详解】根据题意，
a
1 5 5
a 3 3
2
3 3 3 V ( x ) dx x a x
0 5 5
a
1 7 7
6 6 a
V 2 x x dx x a .
3 3 3
y
7 7
因
V 10V ，故
y x
7 5
6 3
3 3
a 10 a a 7 7 .
7 5
17、（本题满分10 分）
设平面区域D由直线x 3y ，y 3x ，x y 8围成，求 2
x dxdy
D
【考点】利用直角坐标计算二重积分
【难易度】★★
【详解】根据题意y 3x x 2
x y 8 y 6
，
1 6
y x x
3
y 2
x y 8
故
D
2 3x 6 8 x
2 2 2
x dxdy dx x dy dx x dy
x x
0 2
3 3
2 6
2 8 1 32 416
4 3 4
x ( x x ) 128
3 3 3 3 3
0 2
8
18、（本题满分10 分）
设奇函数 f (x) 在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1，证明：
（Ⅰ）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；
（Ⅱ）存在( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) 1.
【考点】罗尔定理
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由于 f (x) 在[ 1,1]上为奇函数，故 f (0) 0
令 F (x) f (x) x ，则F (x) 在[0,1] 上连续，在( 0,1)上可导，且F (1) f (1) 1 ，0 F (0) f (0) 0 0. 由罗尔定理，存在(0,1) ，使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) 1.
x x x x （Ⅱ）考虑 f (x) f (x) 1 e ( f
(x) f (x)) e (e f (x)) e
x x
[e f (x) e ] 0
x x
令g( x) e f ( x) e ，由于f ( x) 是奇函数，所以 f ( x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，
f ( ) f ( ) 1，g( ) g( ) 0 . 由罗尔定理可知，存在( 1,1)，使得
g ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1.
19、（本题满分10 分）
求曲线 3 3 1( 0, 0)
x xy y x y 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
【考点】拉格朗日乘数法
【难易度】★★★
【详解】设M ( x, y) 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为 2 2
d x y
构造拉格朗日函数 2 2 ( 3 3 1)
F x y x xy y
由
2
F 2x (3x y) 0
x
2
F 2y (3y x) 0
y
3 3
F x xy y 1 0
得
x
y
1
1
9
点(1,1)到原点的距离为 2 2
d 1 1 2 ，然后考虑边界点，即(1,0) ，(0,1) ，它们到原点的距离都是 1. 因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 2 ，最短距离为 1.
20 、（本题满分11 分）
设函数 f (x) ln x 1 x
（Ⅰ）求 f (x) 的最小值；
（Ⅱ）设数列x 满足
n
1
ln x n 1，证明lim x n 存在，并求此极限.
x n
n 1
【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由题意， f ( x) ln x 1
x
，x 0 f (x)
1 1 x 1
2 2
x x x
令 f (x) 0，得唯一驻点x 1
当0 x 1时， f (x) 0 ；当x 1时， f (x) 0 .
所以x 1是 f (x) 的极小值点，即最小值点，最小值为 f (1) 1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
ln x n 1
x
n
，又由已知
1
ln x n 1
，可知
x
n 1
1 1
x x
n n
1
，即x n 1 x n
故数列x单调递增.
n
又由
1
ln x n 1
，故ln x n 1 0 x n e，所以数列x n 有上界.
x
n 1
所以lim
n x 存在，设为 A. n
在
1
ln x n 1
两边取极限得
x
n 1
1
ln A 1
A
在
1
ln x n 1
两边取极限得
x
n
1
ln A 1
A
10
所以
1
ln A 1 A 1即lim x n 1 .
A
n
21、（本题满分11 分）
设曲线L 的方程为 1 2 1 ln (1 )
y x x x e 满足
4 2
（Ⅰ）求L 的弧长；
（Ⅱ）设D是由曲线L ，直线x 1，x e及x 轴所围平面图形，求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得
1 1 1 1 1 1 e e
e e
2 2 2 2
S 1 ( y ) dx 1 ( x ) dx 1 ( x ) dx ( x ) dx
1 1 1 1
2 2x 2 2x 2 2x
e
2
e 1 1 1 1 1 e
2
( x )dx ( x ln x)
1 2 2x 4 2 4
1
（Ⅱ）由形心的计算公式，得
x D
D
1 1 1 1
e
xdxdy 1dx x ln x xdy x x2 x dx
2
( ln )
4 2
1
4 2
0 0
1 1 1 1
2 e
dxdy 1 dx x ln x dy x2 x dx
( ln )
4 2
4 2
1
0 0
1 1 1 1 1
4 2 2
e (e e )
16 16 4 2 2
4 2
3(e 2e 3)
1 1 1 4( 3 7)
e
.
3
e
12 12 2 22、（本题满分11 分）
设
1 a
A ，
1 0
B
0 1
1 b
，当a,b 为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ，并求所有矩
阵
C.
【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★
【详解】由题意可知矩阵C为2 阶矩阵，故可设
C x x
1 2
x x
3 4
. 由AC CA B 可得
11
x ax
2 3
1 a x x x x 0 1 0 1
1 2 1 2
1 0 x x x x 1 b 1 b
3 4 3 4 整理后可得方程组
ax a ax
1 2 4
x x x
1 3 4
1
1
①
x ax b
2 3
由于矩阵C存在，故方程组①有解. 对①的增广矩阵进行初等行变换：
0 1 a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
a 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 1 a 0 0
1 0 1 1 1 0 1 a 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 1 a 0 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 方程组有解，故 a 1 0 ，b 0，即a 1，b 0 .
1 0 1 1 1
当a 1，b 0时，增广矩阵变为0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x3, x4 为自由变量，令x3 1, x4 0，代入相应齐次方程组，得x2 1, x1 1 令x3 0, x4 1，代入相应齐次方程组，得x2 0, x1 1
故 1 (1, 1,1,0) T T
， 2 (1,0,0,1)
T ，令x3 0, x4 0，得特解(1,0,0,0)
T
方程组的通解为x k1 1 k2 2 (k1 k2 1, k1,k1 ,k2) （k1,k2 为任意常数）
所以C k k 1 k
1 2 1
k k
1 2
.
23、（本题满分11 分）
a 1
b 1
设二次型 2
f (x , x ,x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x ) ，记
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a
2
，b
2 a
3
b
3
（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；
（Ⅱ）若, 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 2
2y y
1 2
【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩
12
【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）证明：
2
f (x ,x , x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x )
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
a x
b x
1 1 1 1 2( x , x , x ) a (a , a , a ) x (x , x , x ) b (b ,b ,b ) x
1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2
a x
b x
3 3 3 3
x
1
T T T (x , x , x )(2 ) x x Ax
1 2 3 2 ，其中A 2
T T
x
3
所以二次型 f 对应的矩阵为2 T T .
T T （Ⅱ）由于, 正交，故
T T T
因, 均为单位向量，故 1
，即1. 同理 1
T T T T T T
A 2 A (2 ) 2 2
由于0 ，故A有特征值 1
2 .
T T
A (2 ) ，由于0 ，故A有特征值 2 1
T T T T T T
又因为r( A) r (2 ) r(2 ) r( ) r( ) r( ) 1 1 2 3 ，
所以A 0，故 3
0 .
三阶矩阵A的特征值为2，1，0. 因此，f 在正交变换下的标准形为 2 2
2y y .
1 2
13。