公平的席位分配

• 最大余数法
• 按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的席
位分给余数较大的各党。
• 党名 代表选民数 整数席 余 数
• A
199,000
1
99,000
• B
127,500
1
27,500
• C
124,000
1
24,000
• D
49,500
0
49,500
余额席 总席数
1
2
0
1
0
1
1
1
公平席位分配
P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm
(自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
公平的席位分配
• 份额分配法(Quota Method)
• 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于著
名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。
• 美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，
议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65
席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年，议会增
41,333
16,500
• 4 49,750
31,875
－
－
总席位 3
1
1
0
公平的席位分配
• 北欧折衷方案
• 作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、
3、5、7、…
• A党
B党
C党
D党
• 2
2
1
0
• 三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余
数法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大
的
党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利 。
公平的席位分配
• 一. 比例代表制
• 例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，
各政党的选民数为：
•
A党：199,000
B党：127,500
•
C党：124,000
D党： 49,500
• 要选出5名代表：
•
A党：2席
B党：1席
•
C党：1席
D党：0席
• 缺少1席，如何分配这最后一席呢？
公平的席位分配
加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因
此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最
大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议
席，而当总席位增加为300席时，它却只能分得7个席位。
这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。
公平的席位分配
问
题
一
比
例
加
惯
例
三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表
20
21席的分配
对
比例 结果
丙
10.815 11
系
6.615
7 公
平
3.570
3
吗
21.000 21
公平的席位分配
问
题
二
比
例
加
惯
例
各州人口有所增长, 增长率大的反而减少了名额, 以三个州
中三个席位的分配为例.
州 人数
名
人数
比例
A人数
分配
1
430
人数
比例
1.17
名额 人口的
分配 增长率
但后者对A的不公平
程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量
法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
1 Τ1 − 2 Τ2
= (1 , 2 )
2 Τ2
类似地定义 rB(n1,n2)
~ 对A的相对不公平度
公平分配方案应
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 若
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15
p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对
不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105
p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
• 这是美国华盛顿时代的财政部长亚历山大·哈密尔顿于1790年
提出来的。此方法看起来十分合理，且符合几何上的对称美，
是一种高维空间中的“四舍五入”.
公平的席位分配
• 洪德(dHondt)规则
• 分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、…除，
按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。基于每位
rA, rB的定义
22
12
<
2 (2 + 1) 1 (1 + 1)
该席给A
否则, 该席给B
定义
2
=
, = 1,2,
( + 1)
推广到m方
分配席位
计算
该席给Q值较大的一方
2
=
, = 1,2 ⋯ ,
( + 1)
该席给Q值最大的一方
Q 值方法
• 其具体操作过程如下：

= /(෍ )
=1
• (1)先让各州取得份额的整数部分 .
• (2)让
按照从大到小的顺序排列，将余下的议员名
= −
额逐个分配给各相应的州。即小数部分最大的州优先获得余下
名额的第一个，次大的取得余下名额中的第二个，以此类推，
直到名额分配完毕。
分配
人数
人数
比例
名额
分配
A
623 2.492
2
623
2.595
3
B
377 1.508
2
377
1.57
1
200
0.835
1
1200
5
5
C
总和 1000
4
4
对
B
州
公
平
吗
“公平”分配方 衡量公平分配的数量指标
法 人数 席位
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
A方
p1
n1
B方
p2
n2
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则：
记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整；
[qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1, … , m)
会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配？
若增加为21席，又如何分配？
系别 学生 比例
20席的分配
人数 （%） 比例
结果
甲
103 51.5
10.3
10
乙
63
31.5
6.3
6
丙
34
17.0
3.4
4
总和 200 100.0
20.0
即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不一定满足 2）
Q值方法满足 2）, 但不一定满足 1）。令人遗憾！
3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1)
问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？
否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A
若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A
A, B已分别有n1, n2席，若增加1席，问应分给A,
还是B？不妨假设在分配开始时对A不公平，即
p1/n1> p2/n2 。
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2)
= 96.3
10 × 11
6×7
3×4
103 2
1 =
= 80.4, 2 , 3
11 × 12
Q1最大，第20席给甲系
Q3最大，第
同上
21席给丙系
甲系11席，乙系6席，丙系4
席
公平吗？
比较、讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？
席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为
，
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10
乙系：p2= 63, n2= 6
丙系：p3= 34, n3= 3
第20席
第21席
Q值方法
分配结果
用Q值方法分配
第20席和第21席
103 2
63 2
34 2
1 =
= 96.4, 2 =
= 94.5, 3 =
议员代表选民的人数考虑，若A党的人数比D党的人数多，
那么给A党3席、给D党0席也是合理的。
• 除数 A党
B党
C党
D党
• 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500
• 2
99,500 (4) 63,750
62,000
24,750
• 3 66,333 (5)
42,500
1
B
455
1.365
1
520
1.42
2
C
125
0.375
1
150
0.41
0
3
3
1100
3
3
和 1000
2.38%
对
14.29% C
州
20%
公
平
吗
公平的席位分配
问
题
三
比
例
加
惯
例
增加新州, 原有各州人口不变, 席位增加的情况下, 原有州
中,有的州增加一个名额, 有的州减少一个名额.
州名 人数
人数
比例
名额