北京海淀区中考数学二模试题及答案

海淀区九年级第二学期期末练习
数
学
1.
6 的绝对值是（
）
A.
6
B. 6
1
D.
1
C.
6
6
2. 以下运算正确的选项是（
）
A. a a 2a 2
B. a 2 a 3
a 6 C. a 3 a 3 D. ( a) 3 a 3
3. 如图， Rt
ABC 中， ACB
90 ，过点 C 的直线 DF 与
BAC 的均分线 AE 平行，
若 B 50，则 BCF （
）
A.
100
B.
80 C. 70 D. 50
D C
F
E
A
B
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2
x
1 m 1 0 有实数根，则 m 的取值范围是（
）
4
A. m 2
B. m 5
C. m 2
D. m 5
5. 在 6 张完整同样的卡片上分别画有线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形和
圆各一个图形。

从这 6 张卡片随机地抽取一张卡片， 则这张卡片上的图形是中心对称图形
的概率是（
）
1
1 C.
1 2
A.
B.
D.
3
6 3
2
6. 两个半径不等的圆相切，圆心距为 6cm ，且大圆半径是小圆半径的
2 倍，则小圆的半径
为（
）
A. 3
B. 4
C.
2或4 D. 2 或 6
7. 农科所连续四年在两块环境同样的实验田里种植甲、 乙两种不一样品种的小麦。

亩产量（单
位：公斤）统
计以下表。

设甲、乙品种四年亩产量的均匀数挨次为
x 甲 ， x 乙 ，四年亩产量的方差挨次
为 S 2 甲，S 2 乙 ，则以下关系中完整正确的选项
是（
）
品种 年份
20072008 2009 2010
22甲454457462459
，
甲乙S 甲S 乙
A. x x乙454459465458
B. x甲x乙， S2甲S2乙
C. x甲x乙， S2甲S2乙
D. x甲x乙， S2甲S2乙
8. 一个不透明的小方体的的 6 个面上分别写有数学1， 2， 3， 4，5， 6，任意两对面上所写
的两个数字之和为7。

将这样的几个小方体依据相接触的两个面上的数字之和为8 摆放
成一个几何体，这个几何体的三视图如右图所示，已知图中所注明的是部分面上所见的
数字，则★所代表的数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.一个正 n 边形的每个内角都是108 ，则n_______.
10.将抛物线 y x2向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得抛物线的分析式为
___________.
11.如图，在扇形 OAB 中，AOB 90 ，C 为 OA 的中点，点 D 在AB上，且CD OB ，
则ABD ______.
A
C
D
O B 12. 某种数字化的信息传输中，先将信息转变为数学0 和1 构成的数字串，并对数字串进行
了加密后再传输。

现采纳一种简单的加密方法：将原有的每个 1 都变为10，原有的每
个0成01。

我用A0表示没有加密的数字串。

A0行一次加密就获得一个新的数字串A1， A1再行一次加密又获得一个新的数学串A2，依此推，⋯，比方： A0：10，A1：1001。

若已知A2：，A0：______，若数字串A0共有 4 个数字，数字串A2中相两个数字相等的数最少．．有______。

13. 算：(1)12tan 6012 ( 2011)0。

3
3x2。

14. 解方程：3
x 2x 2
15. 菱形ABCD中，AE BC 于 E， AF CD 于 F，求：AE AF
16. 已知2 y3x ，求代数式 ( x y)( x 2 y) (2 y x)2的。

y
17. 如，在平面直角坐系xOy 中， O 是坐原点。

直y x b 点A（2，1），
AB x 轴于 B，连接 AO。

（1）求b的值；
（2）M是直线y x b 上异于A的一点，且在第一象限内。

过点M 作 x 轴的垂线，垂足为点 N。

若MON 的面积与AOB 面积相等，求点M 的坐标。

y
y x b
M
A
O N B
18. 某校准备组织290 名师生进行野外观察活动，行李共有100 件。

学校计划租用甲、乙两
型号的汽车共8 辆，经认识，甲种汽车每辆最多能载40 人（不含司机）和10 件行礼，乙种汽车每辆最多能载30 人（不含司机）和20 件行礼。

设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计全部可能的租车方案。

19. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ，BC 5 ， AD 3 ，对角线AC BD ，且
DBC 30 ，求梯形 ABCD 的高。

A x D
B C
20. 已知AB是O的直径， C 是O 上一点（不与A、 B 重合），过点 C 作O 的切线
CD，过 A 作 CD 的垂线，垂足是M 点。

（1）如图左，若CD AB ，求证：AM是O的切线。

（2）如图右，若AB6， AM 4 ，求 AC 的长。

B
D D
B O
C O
C
A
A M
M
21.某学校从 2007 年以来，向来坚持展开用眼健康方面的教育，并进行了追踪治疗。

为了
检查全校学生的视图变化状况，从中抽取部分学生近几年视图检查的结果做了统计（如图 1），并统计了2010 年这部分学生的视力分布状况（如表 1 和图 2）。

图 1
图 2
表 1
（1）依据以上图表中供给的信息写出：a_________ ，b________，x y________.（2）由统计图中的信息可知，近几年学生视力为 5.0 的学生人数和每年与上一年对比，增
加最多的是 _____年；若全校有3000 名学生，请你预计2010 年全校学生中视力达到 5.0 及5.0 以上的约有 ______人。

22. 如图，在AOB 中， OA OB8， AOB90 ，矩形 CDEF 的极点 C、D、F 分
别在边 AO、 OB、 AB 上。

（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF 的面积；
（2）若
tanCDO 4
，求矩形 CDEF 面积的最大值。

3
A
F
C
E
O D B
23. 已知关于x 的方程mx2(3 2m)x ( m 3) 0 ，此中m0 。

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1， x2，此中 x1x2
x21
，若 y，求 y 与 m 的函数
3x1
关系式；
（3）在（ 2）的条件下，请依据函数图象，直接写出使不等式y m 成立的m的取值范围。

24. 在平面直角坐标系xOy 中， O 是坐标原点，等边三角形OAB 的一个极点为A（2，0），另一个极点 B 在第一象限内。

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的分析式；
（2）假如一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边
形为“筝形”。

点Q
在（ 1）的抛物线上，且以
O
、
A B Q
为极点的四边形是“筝形，求点
、、
Q的坐标；
（3）设OAB 的外接圆M ，试判断（2）中的点 Q 与M 的地点关系，并经过计算说明原由。

北京海淀区中考数学二模试题及答案
25. 已知ABC ，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD ，此中 AC AD 。

(1)如图 1 ，若，，四边形 ABCD是平行四边形，则
DAC 2 ABC AC BC
ABC______；
(2) 如图 2，若ABC30 ，ACD 是等边三角形，AB 3， BC4。

求 BD 的长；
如图，若
A C D 为锐角，作
A H
于
H
222
(3)3。

当 BD 4 AHBC时，B C
DA C 2 A B 是C否成立？若不成立，请说明你的原由；若成立，证明你的结论。

D
A D D
A
A
B C B
C B H C
海淀区九年级第二学期期末练习
数学
参考答案及评分标准
明：合理答案均可酌情分，但不得超原分数
一、（本共32 分，每小 4 分）
号12345678
答案A D C B C D D C 二、填空（本共16 分，每小 4 分）
号9101112
答案5y ( x3)2230°1014
注：第 12 答一个 2 分，答两个 4 分
三、解答（本共30 分，每小 5 分）
13.解：原式 3 23+2 31
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分4
2.
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分5
14.解：方程两同乘以( x 2)( x 2) 方程可化：
3x(x 2) 2( x 2) 3( x 2)( x 2) ，
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2.分.
即
22
3x 6 x 2x 4 3x 12 .
∴x 4 .
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分4
： x 4 是原方程的解.∴原方程的解是x 4 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯..5分
15.明：∵ AE⊥BC 于 E， AF⊥ CD 于 F，
∴AEBAFD 90 ,
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分1
∵菱形 ABCD ,
∴AB =AD,B D .
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分3
在 Rt△ EBA 和 Rt△ FDA 中,
AEB AFD ,
B D ,
AB AD.
∴△ EBA≌△ FDA .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分4
∴AE =AF.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分5
16.解：∵ ( x y)( x 2y)(2 y x)2 = ( x 2 y)(x y x 2 y)
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分1
y( x 2 y) ,
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分2
又∵ 2 y 3
∴ x
3 x , 2 y.
y y
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..3 分
将 x 2 y 3 代入上式，得
y( x 2 y) 3. y
∴当 2y 3
y)( x 2 y)(2 y2 x ，代数式 ( x x) 的 3. y
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5.分.
17．解：（ 1）∵ 直 y x b 点A(2,1) ，
∴ 1 2 b .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1.分.
∴b 3 .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2.分.
y
（2）∵ M 是直 y x 3 上异于 A 的点，且在第一象限内．y x b
∴M（ a ，a 3 ），且 0 a 3 .
M 由 MN⊥ x ，AB x 得,
A
O N B x
MN= a 3 ，ON= a， AB =1， OB 2 .∵△MON 的面和△ AOB 的面相等，
∴1
a a 31 2 1 .
22
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3.分.
解得： a11， a2 2 （不合意，舍）.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4.分.
∴M（1，2）.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5.分.
18 ．解：（ 1 ）由租用甲种汽x，租用乙种汽( 8x ).
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分1
40x 30(8 x)≥
290,
由意得：
10x 20(8 x)
≥100.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分3
解得： 5≤ x ≤ 6 .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..4
分
即共有 2 种租方案：第一种是租用甲种汽 5 ，乙种汽 3 ；
第二种是租用甲种汽6，乙种汽2．⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..5 分
19．解：作 DE //AC,交 BC 的延于点E,作 DF ⊥BE,垂足 F.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1.分.
∵ AD //BC ,
∴四形 ACED 平行四形 .
∴ AD=CE= 3， BE=BC+CE= 8.
A D
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2.分.
∵ AC⊥ BD，
∴DE⊥BD.
B C F E
∴△ BDE 直角三角形，BDE90 .
∵∠ DBC =30°， BE=8,
∴ DE 4,BD 4 3.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4.分.
在直角三角形BDF 中∠ DBC=30°,
∴DF 23.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5.分. 20．（ 1）明：OC.
∵CD 是⊙O的切，
∴ OC⊥CD.
∴OCM 90 .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分1
∵CD //AB,
∴OCMCOA 180 .
∵AM⊥ CD,
∴AMC 90 .
∴在四形OAMC 中OAM 90 .
∵OA⊙O的半径,
∴ AM 是⊙O的切.
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分2
（2） OC,BC.
∵CD 是⊙O的切，
∴OC⊥CD .
B
D O
C
A
M
图 1
B
D
O1C
∵AM⊥CD ,
3
2
A
M
∴AMC 90 .
∴OC// AM .
∴12 .
∵OA= OC ,
∴32.即 BACCAM.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分3
图 2
易知ACB 90 ，∴ △BAC∽△CAM.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分4
∴AB AC
.即 AC2AB AM24 .∴AC 2 6 . AC AM
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分5
21．解：（ 1） 800， 400， 40；
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3.分.
（2） 2010， 1800.
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分5
注：本一空一分
22．解：（ 1）如，当C、 D 是 AO,OB 的中点，
A
点 E、F 都在 AB 上，且CF AB.
F
∵OA=OB=8，
C
∴ OC=AC=OD= 4.
E ∵AOB 90 ,
O D B ∴CD 42.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分1
在 Rt△ACF 中，
∵A45 ,∴CF2 2 .
∴ S矩形CDEF 4 2 2216 .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分2
（2） CD x,CF y . F 作FH AO 于H.在 Rt△COD 中，
∵ tan CDO 4
,∴ sin CDO
4
,cos CDO 3 . 355
∴
CO 4
A x .
5
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分3H F
∵FCH OCD90,C
∴FCH CDO .
E
O D B
∴ HC
y cos
FCH
3
y.
5
∴
FH
2
2
4 .
CF CH
y
5
∵ △ AHF 是等腰直角三角形 ,
∴
AH FH
4
y .∴ AO AH HC CO .∴
7 y 4 x
8 .
5
5
5
1
∴
y(40 4 x) . 7
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分4
易知 S
xy
1
(40 x
4 x 2 )
4 [( x 5)2 25] ,
矩形 CDEF
7
7
∴当 x
5 ，矩形 CDEF 面 的最大
100 .
7
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分5
23．解：（ 1）由 意可知 ,∵
(3 2m) 4m(m
3) 9 0 ，
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
..分1
即0.
∴方程 有两个不相等的 数根
.
⋯⋯
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分2
（ 2）由求根公式，得
x
(3 2m) 3 ． 2m
∴ x 1
3
或 x 1 ．
m
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3.分.
∵ m ＞ 0，
∴ 11 3
． m
∵ x 1 x 2 ，
3
∴ x 1 1， x 2 1 ．
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4.分.
∴ y
x 2 1
1 .
3 x 1 m
即 y
1
0) 所求． y
(m
m
1
O
1
1
m
y
(m 0)
m
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. 5 分（3）在同一平面直角坐系中
分画出 y 1
( m 0) m
与 ym ( m0) 的象 .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6.分.
由象可得，由象可得
当 0 m ≤ 1，y≤m．
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7.分. 24．解： B 作 BC⊥x 于 C.
∵等三角形 OAB的一个点A(2,0) ，∴OB=OA =2， AC=OC=1，∠ BOC =60°.
∴ BC= OC tan 60 3 .
∴B(1, 3).
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分1
O、 A、 B 三点的抛物的
分析式：y a(x 1)2 3 .
将 A（ 2， 0）代入得：a(2 1)2 3 0 ，
解得 a 3 .
∴ O、 A、 B 三点的抛物的分析式
y3( x 1)2 3 .
即 y3x2 2 3x .
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分2
（2）依意分三种状况：
（ⅰ）当以 OA、OB ，∵
OA=OB ，
∴O 作 OQ⊥AB 交抛物于 Q.
四形 OAQB 是筝形，且∠ QOA= 30°.y
B
O C A x
y
B
Q
O C D A x
作 QD ⊥ x 于 D ，QD=OD tan QOD ,
Q x, 3x 2 2 3x ， 3x 2 2 3x
xtan30 .
5
解得： x
.
∴ Q 5,53
.
3 9
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
..分3
（ⅱ）
当以 OA 、AB ，由 称性可知 Q
1 5 3
,
.
3 9
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分4
（ⅲ）
当以 OB 、AB ，抛物 上不存在 的点
Q 使 BOQA 筝形 .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯ ..5分
∴Q 5,53或1,53
.
3 9 3
9
（3）点 Q 在 M 内 .
由等 三角形性 可知
△OAB 的外接 心
M 是（ 2）中 BC 与 OQ 的交点，
y 当 Q
5 5
3 ，
B ,
9
3
Q
∵MC ∥QD,
M
∴△ OMC ∽△ OQD .
∴
MC OC . QD OD
OC QD
∴
MC
OD
∴ M1,3
. 3
O
C
D A
x
3 . 3
2
2
5 5 3
4
3
∴ MQ
3 1
3
= .
3
9
9
2 3
又 BM ,
3
∵
4 3<2 3
,
93
∴Q
5,5 3在M内.
39
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6.分.
当 Q 1
,5
3 ，由称性可知点
Q 在M 内. 39
述，点Q在M 内.
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分7 25．解：
（ 1） 45；
⋯⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分2
（2）如 2，以 A 点 AB 在△ABC外作BAE =60°，并在AE上取AE=AB，BE 和 CE.
∵△ ACD 是等三角形,
∴ AD=AC，DAC =60°.
E
∵BAE =60°,
DAC +BAC =BAE + BAC .A D
∴
即EAC =BAD .
B C ∴△EAC ≌△BAD .2
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分3
∴EC=BD.
∵BAE =60°，AE =AB= 3,
∴△AEB 是等三角形，
∴EBA=60°, EB= 3，
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..分4
∵ABC 30 ,
∴EBC 90 .
∵EBC 90 ，EB=3，BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分5
（ 3）DAC =2ABC 成立.
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分6
以下明：
如３，点 B 作 BE ∥ AH，并在 BE 上取 BE=2AH， EA，EC. 并取 BE 的中点 K ，
D AK.
E
∵AH BC于H，
∴ AHC 90.
K
A ∵BE∥ AH,
∴EBC 90.B H C
3∵EBC 90 ，BE=2AH ,
∴ EC2EB2BC24AH 2BC 2.
∵ BD24AH 2BC2 ,
∴EC=BD.
∵KBE 的中点， BE=2 AH,
∴BK =AH.
∵BK ∥ AH，
∴四形AKBH 平行四形.
又∵EBC 90 ,
∴四形AKBH 矩形 .
∴AKB 90 .
∴AK 是 BE 的垂直均分 .
∴AB=AE.
∵AB=AE， EC=BD ， AC=AD,
∴△EAC ≌△BAD .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分7
∴EAC BAD .
∴EAC EAD BAD EAD .
即 EAB DAC .
∵EBC 90 ， ABC 角,
∴ABC 90EBA .
∵AB=AE,
∴EBABEA.
∴EAB 180 2 EBA .
∴EAB =2ABC .
∴DAC =2 ABC .
⋯⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..分8。