【精选】辽宁省大连市普兰店区高三数学上学期竞赛期中试题文

2017-2018学年上学期竞赛试卷
高三数学（文）
总分：150分时间：120分钟
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合）1．已知集合，，则= ( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（）
A.-3
B.-3或1
C.3或-1
D.1
3.在中，已知向量,则= （）
A. B. C. D.
4.直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
5. 实数，，满足，若恒成立，则实数的
取值范围（）
A. B. C. D.
6．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的
值为（）
A．3 B．5 C．7 D．10
7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方
形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体
的体积是（）
A．B．C．D．
8.已知斜三棱柱的体积为，在斜三棱柱内任取一点，则三棱锥
的体积大于的概率为（）
A. B. C. D.
9.已知p：函数在上是减函数。

q：恒成立，则
是q的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像，只需将的图像（）
A．向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
11.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，
过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）
A．1 B．C．D．
12.设函数是函数（）的导函数，，函数
的零点为1和-2，则不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在中，分别表示角A,B,C的对边，若，则的值是
____________
14.设双曲线的左右焦点分别是,过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值为 __________
15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：
（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．
可以判断丙参加的比赛项目是．
16．对函数满足，设，数列的前15项和为，则=_________
三、解答题：（本大题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在中，角A的对边长等于2，向量,向量. （1）求取得最大值时的角A；
（2）在（1）的条件下，求面积的最大值。

18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．
（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？
（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．
参考公式：．
附表：
19. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，. （1）求证：平面；
（2）求到平面的距离.
20．已知椭圆（）的焦距2，且过点，其长轴的左右两个端点分别为，，直线交椭圆于两点，.
（1）求椭圆标准的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，若求的值.
21. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α
为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．
（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C3的普通方程；
（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，
（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．
答案
一．B D D B A C C B A A B B
二．13. 14.11 15.跑步 16.
三．
17.（1）A=（2）
18．解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下：
计算，
对照临界值表得，有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；…（6分）
（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；
幸福感强的孩子3人，记作：b1，b2，b3；
“抽取2人”包含的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），
（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），
（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个；…（8分）
事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），
（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6个；…（10分）
故所求的概率为．…（12分）
19：（1）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点
3分
6分
（2）解法一：设点到平面的距离为h
在中，
为
8分
过D作于H
又为直棱柱
且10分
即
解得12分
解法二：由①可知
点到平面的距离等于点C到平面的距离 8分
为
10分
设点C到面的距离为h
即
解得12分
20．解：（1）由题意得：，解得，，，椭圆由题意标准方程为.
（2），，联立方程，得，
由得：
,，
由题意知，,，，
，即，得①,
又，，同理,
代入①式，解得,即，
解得或，
又，(舍去),.
21.解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）
即y=2x﹣2．
（II）．
令h（x）=px2﹣2x+p，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．
∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；
当0＜p＜1时，由，所以．
又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴，不合题意；
当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得
综上所述，实数p的取值范围是．
选修4-4：极坐标系与参数方程]
22．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，
可得普通方程为x﹣y+2=0，
，
由曲线C2的参数方程为（α为参数），
可得，
即有C3的普通方程为x2+y2=9．…
（2）C1的标准参数方程为（t为参数），
与C3联立可得t2+2t﹣5=0，
令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，
则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，
则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=
==2…（10分）
．
选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，
（1）若关于x 的不等式f （x ）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若关于t 的一元二次方程
有实根，求实数m 的取值范围．
解：（1）因为f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4，
所以|1﹣3a|＜4，即，
所以实数a 的取值范围为
．…
（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m ﹣3|）≥0， 即|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，
所以不等式等价于
或
或
所以，或，或，
所以实数m 的取值范围是． …（10分）。