高中物理竞赛辅导《量子力学初步》课件
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量子力学方程
是否存在一个
根据某种条件可求出微观粒子的
基本算符
量子力学中的
算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
算 符
劈形算符
数学运算符号
拉普拉斯算符
动量算符
动能算符
哈密顿算符
含动、势能
位矢算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
（4）
小议链接2
结束选择
请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
小议链接3
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请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
小议链接4
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请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
自由粒子的
波函数
自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布
罗意波是平面波。
不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。
对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也
不相同。
微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是
量子力学的一个基本假设。
量子化等概念。
续上求解
阱内
阱外
只有
因
及
要连续、有限，
薛定谔方程才成立，
在阱外
故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。
设质量为 的微观粒子，
处在一维无限深势阱中，
该势阱的势能函数为
阱外
阱内
建立定态薛定谔方程
一维问题
续上求解
求定态薛定谔方程的通解
阱内
即
令
得
此微分方程的通解为
其三角函数表达形式为
（2） ；
（3） ；
（4）
小议链接1
结束选择
请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。
自由粒子波函数
在量子力学中用复数表达式：
应用欧拉公式
取实部
应用德布罗意公式
即
即
即
的自由粒子的波函数为
沿 X方向匀速直线运动
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
沿 方向匀速直线运动
必须连续，可求方程中各系数的关系。
透射粒子数
入射粒子数
透射系数
透
入
为描述粒子透过势垒的概率
引入
为原设
为势垒宽度
估算表明
可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种现象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。
隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。
因
都满足薛定谔方程
即
这表明：
体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。
称为 态叠加原理
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
该势能函数称作一维无限深势阱。
应用定态薛定谔方程可求出运动粒
微观系统中，有关概率密度、能量
这是一个理想化的物理模型，
子的波函数，有助于进一步理解在
原理，并通过几个具体事例的讨论来说
明量子力学处理问题的一般方法。
波函数
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
速度为
质量为
的自由粒子
一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性
另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
积分
解得
将常量 归入 中，得
定态
波函数
此外，对
得
定态薛定谔方程
故
常量
时间的函数
空间的函数
由
对应一个可能态有一常量
定态薛定谔方程
势场只是空间函数
即
若粒子所在的
有一个能量定值
含时薛定谔方程
定态
波函数
对应于一个可能态
，则
定态薛定谔方程
其概率密度
与时间无关
所描述的状态。它的重要特点是：
的自由粒子的波函数为
续上
在量子力学中用复数表达式：
应用欧拉公式
取实部
应用德布罗意公式
即
即
即
沿 方向匀速直线运动
的自由粒子的波函数为
的自由粒子的波函数为
沿 X方向匀速直线运动
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
力学量的可能值是它的本征值
力学量的平均值由下述积分求出
薛定谔方程
1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程
算得
× 37.7 ×10 -15 eV
能量量子化是微观世界的固有现象
从能级绝对间隔
看，
从能级相对间隔
看，
则
的各种能态中，随着 值增大，逐渐向经典过渡。
一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）
能量 量子化
称
基态能
或 零点能
相邻能级的能量间隔
波函数
好比驻波
概率密度
的 称节点位置
极大的 称最概然位置
区
区
区
式中
得
上述微分方程的解为
设：一矩形势垒的
势能函数
在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程
一质量为 、能量为
的粒子
由 区向势垒运动
续上
区
区
区
入射波
反射波
透射波
区无反射，
入
入射波
反
反射波
透
透射波
根据边界条件 和 处
和
波函数的统计解释
波函数归一化
因概率密度
故在 矢端的体积元 内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件
满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数
（3） ；
（4）
第二节
Schrodinger equation
2 3 - 2
薛定谔方程引言
经典力学
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
经典质点有运动轨道概念
不考虑物质的波粒二象性
量子力学
针对物质的波粒二象性
微观粒子无运动轨道概念
运动状态
波函数
符合
不符合
不符合
不符合
算例
某粒子的波函数为
归一化波函数
概率密度
概率密度最大的位置
令
求
积分得：
得 到 归 一 化 波 函 数 ：
概率密度
得
令
求极大值的 x 坐标
解得
另外两个解
处题设
处
最大
随堂小议
结束选择
请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。
因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布状态。
波函数存在归一化问题。
波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
概率波与经典波
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
德布罗意波
经 典 波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度
概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。
增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。 很大，概率
密度趋近经典均匀分布。
势垒
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
该势能函数称作一维矩形势垒。
按经典力学观点，
在量子力学中，
能量 的粒子
不可能穿越势垒。
后才能下结论。
应求解定态薛定谔方程
23-3
隧道效应
扫描隧道显微镜
两金属的平均逸出电势垒高度
金属1
金属2
逸出电势垒高
金属1
逸出电势垒高
金属2
金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关。
若两块金属表面相距 很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压 （操作电压），则会有微弱的电流 （隧道电流） 从一金属流向另一金属，并可表示为
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
若已知势能函数 ，应用定态薛定谔方程
可求解出 ，并得到定态波函数
续上
态跌加原理
为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。
设
为它们的线性叠加
即
为复常数
将上式两边对时间
求偏导数并乘以
所谓“定态”，就是波函数具有 形式
定态
波函数
中的 称为 振幅函数
（有时直称 为波函数）。
的函数形式也应满足统计的条件
连续、单值、有限的标准条件；
归一化条件；
对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
量子力学初步
本章内容
Contents
chapter 23
波函数及其统计解释
wave function and its statistical explanation
薛定谔方程
Schrodinger equation
隧道效应
tunnel effect
不确定关系
uncertainty relation
实验表明， 只要改变 0.1 n m(原子直径线度）， 就会引起 变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。
式中 和 为待定常数
根据标准条件确定常数
和
并求能量 的可能取值
以及
在边界 和
处
又因
得
的取值应与阱外 连续，
边界处的
故
得
及
时阱内 不合理 舍去
的负值和正值概率密度相同。
同一
取
得
续求解
求归一化定态波函数
由上述结果
第一节
wave function and its statistical explanation
2 3 - 1
引言
量子力学是描述微观粒子运动规律
的学科。它是现代物理学的理论支柱
之一，被广泛地应用于化学、生物学、
电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
波函数标准条件
波函数的三个标准条件：
连续
因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；
单值
因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；
有限
因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
Байду номын сангаас
获1933年诺贝尔物理学奖
当其运动速度远小于光速时
它的波函数 所满足的方程为
质量为 的粒子
在势能函数为 的势场中运动
它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。
式中， 为哈密顿算符，
可分离变量，写成
解释：
若
则
阱外
阱内
及
得
应满足归一化条件
得
积分
归一化定态波函数
概率密度
势阱问题小结
能量量子化极不明显，可视为经典连续。
间距太小
在微观粒子可能取
如，电子
9.1×10 – 31 kg
处在宽度 10 - 10 m ( 原子线度)的势阱中
算得
× 37.7 eV
能量量子化明显
处在宽度 10 – 2 m ( 宏观尺度)的势阱中
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数为 ，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与 的模的平方成正比。
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
取比例系数为1，即
1926 年提出了对
是否存在一个
根据某种条件可求出微观粒子的
基本算符
量子力学中的
算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
算 符
劈形算符
数学运算符号
拉普拉斯算符
动量算符
动能算符
哈密顿算符
含动、势能
位矢算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
（4）
小议链接2
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下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
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下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
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下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
自由粒子的
波函数
自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布
罗意波是平面波。
不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。
对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量
外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也
不相同。
微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是
量子力学的一个基本假设。
量子化等概念。
续上求解
阱内
阱外
只有
因
及
要连续、有限，
薛定谔方程才成立，
在阱外
故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。
设质量为 的微观粒子，
处在一维无限深势阱中，
该势阱的势能函数为
阱外
阱内
建立定态薛定谔方程
一维问题
续上求解
求定态薛定谔方程的通解
阱内
即
令
得
此微分方程的通解为
其三角函数表达形式为
（2） ；
（3） ；
（4）
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下列波函数中合理的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。
自由粒子波函数
在量子力学中用复数表达式：
应用欧拉公式
取实部
应用德布罗意公式
即
即
即
的自由粒子的波函数为
沿 X方向匀速直线运动
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
沿 方向匀速直线运动
必须连续，可求方程中各系数的关系。
透射粒子数
入射粒子数
透射系数
透
入
为描述粒子透过势垒的概率
引入
为原设
为势垒宽度
估算表明
可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种现象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。
隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。
因
都满足薛定谔方程
即
这表明：
体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。
称为 态叠加原理
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
该势能函数称作一维无限深势阱。
应用定态薛定谔方程可求出运动粒
微观系统中，有关概率密度、能量
这是一个理想化的物理模型，
子的波函数，有助于进一步理解在
原理，并通过几个具体事例的讨论来说
明量子力学处理问题的一般方法。
波函数
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
速度为
质量为
的自由粒子
一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性
另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
积分
解得
将常量 归入 中，得
定态
波函数
此外，对
得
定态薛定谔方程
故
常量
时间的函数
空间的函数
由
对应一个可能态有一常量
定态薛定谔方程
势场只是空间函数
即
若粒子所在的
有一个能量定值
含时薛定谔方程
定态
波函数
对应于一个可能态
，则
定态薛定谔方程
其概率密度
与时间无关
所描述的状态。它的重要特点是：
的自由粒子的波函数为
续上
在量子力学中用复数表达式：
应用欧拉公式
取实部
应用德布罗意公式
即
即
即
沿 方向匀速直线运动
的自由粒子的波函数为
的自由粒子的波函数为
沿 X方向匀速直线运动
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数
一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
力学量的可能值是它的本征值
力学量的平均值由下述积分求出
薛定谔方程
1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程
算得
× 37.7 ×10 -15 eV
能量量子化是微观世界的固有现象
从能级绝对间隔
看，
从能级相对间隔
看，
则
的各种能态中，随着 值增大，逐渐向经典过渡。
一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）
能量 量子化
称
基态能
或 零点能
相邻能级的能量间隔
波函数
好比驻波
概率密度
的 称节点位置
极大的 称最概然位置
区
区
区
式中
得
上述微分方程的解为
设：一矩形势垒的
势能函数
在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程
一质量为 、能量为
的粒子
由 区向势垒运动
续上
区
区
区
入射波
反射波
透射波
区无反射，
入
入射波
反
反射波
透
透射波
根据边界条件 和 处
和
波函数的统计解释
波函数归一化
因概率密度
故在 矢端的体积元 内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件
满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数
（3） ；
（4）
第二节
Schrodinger equation
2 3 - 2
薛定谔方程引言
经典力学
牛顿力学方程
根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
经典质点有运动轨道概念
不考虑物质的波粒二象性
量子力学
针对物质的波粒二象性
微观粒子无运动轨道概念
运动状态
波函数
符合
不符合
不符合
不符合
算例
某粒子的波函数为
归一化波函数
概率密度
概率密度最大的位置
令
求
积分得：
得 到 归 一 化 波 函 数 ：
概率密度
得
令
求极大值的 x 坐标
解得
另外两个解
处题设
处
最大
随堂小议
结束选择
请在放映状态下点击你认为是对的答案
下列波函数中合理的是
（1） ；
能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。
因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布状态。
波函数存在归一化问题。
波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：
概率波与经典波
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
德布罗意波
经 典 波
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度
概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。
增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。 很大，概率
密度趋近经典均匀分布。
势垒
粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式
该势能函数称作一维矩形势垒。
按经典力学观点，
在量子力学中，
能量 的粒子
不可能穿越势垒。
后才能下结论。
应求解定态薛定谔方程
23-3
隧道效应
扫描隧道显微镜
两金属的平均逸出电势垒高度
金属1
金属2
逸出电势垒高
金属1
逸出电势垒高
金属2
金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关。
若两块金属表面相距 很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压 （操作电压），则会有微弱的电流 （隧道电流） 从一金属流向另一金属，并可表示为
定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。
若已知势能函数 ，应用定态薛定谔方程
可求解出 ，并得到定态波函数
续上
态跌加原理
为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。
设
为它们的线性叠加
即
为复常数
将上式两边对时间
求偏导数并乘以
所谓“定态”，就是波函数具有 形式
定态
波函数
中的 称为 振幅函数
（有时直称 为波函数）。
的函数形式也应满足统计的条件
连续、单值、有限的标准条件；
归一化条件；
对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
量子力学初步
本章内容
Contents
chapter 23
波函数及其统计解释
wave function and its statistical explanation
薛定谔方程
Schrodinger equation
隧道效应
tunnel effect
不确定关系
uncertainty relation
实验表明， 只要改变 0.1 n m(原子直径线度）， 就会引起 变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。
式中 和 为待定常数
根据标准条件确定常数
和
并求能量 的可能取值
以及
在边界 和
处
又因
得
的取值应与阱外 连续，
边界处的
故
得
及
时阱内 不合理 舍去
的负值和正值概率密度相同。
同一
取
得
续求解
求归一化定态波函数
由上述结果
第一节
wave function and its statistical explanation
2 3 - 1
引言
量子力学是描述微观粒子运动规律
的学科。它是现代物理学的理论支柱
之一，被广泛地应用于化学、生物学、
电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
波函数标准条件
波函数的三个标准条件：
连续
因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；
单值
因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；
有限
因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
Байду номын сангаас
获1933年诺贝尔物理学奖
当其运动速度远小于光速时
它的波函数 所满足的方程为
质量为 的粒子
在势能函数为 的势场中运动
它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。
式中， 为哈密顿算符，
可分离变量，写成
解释：
若
则
阱外
阱内
及
得
应满足归一化条件
得
积分
归一化定态波函数
概率密度
势阱问题小结
能量量子化极不明显，可视为经典连续。
间距太小
在微观粒子可能取
如，电子
9.1×10 – 31 kg
处在宽度 10 - 10 m ( 原子线度)的势阱中
算得
× 37.7 eV
能量量子化明显
处在宽度 10 – 2 m ( 宏观尺度)的势阱中
概率密度
设描述粒子运动状态的波函数为 ，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与 的模的平方成正比。
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
取比例系数为1，即
1926 年提出了对