椭圆题型总结

椭圆题型总结
一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c
1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨
迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点
P 的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.线段
3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q
,使得
2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( )
A.椭圆
B.圆
C.直线
D.点
4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且
a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹.
5. 椭圆
19
252
2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。

(二) 标准方程求参数范围
1. 若方程13
522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）
2.
轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102
2=+>>( )
A.充分而不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3. 已知方程11
252
2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 .
4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .
5. 方程2
31y x -=所表示的曲线是 .
6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。

7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。

8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .
(三) 待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为
26；
（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；
（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.
2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程
为 。

3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。

4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方
形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。

5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为
354和3
5
2，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。

6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程
1、长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-；
2、在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
(四) 与椭圆相关的轨迹方程
1. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求
动圆圆心P 的轨迹方程.
2. 一动圆与定圆032422=-++y y x 内切且过定点)2,0(A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.
3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内
切，求动圆圆心P 的轨迹方程.
4. 已知)0,21(-A ，B 是圆4)2
1(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直
平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为
5. 已知ABC ∆三边AB 、BC 、AC 的长成等差数列，且,CA AB >点B 、C 的坐标
)0,1(-、)0,1(，求点A 的轨迹方程.
6. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且
2:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程.
7. 已知椭圆的焦点坐标是)25,0(±，直线023:=--y x l 被椭圆截得线段中点的横坐标
为
2
1
，求椭圆方程. 8. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积
是9
4
-
，顶点A 的轨迹方程为 。

9. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M
在'PP 上，并且错误！未找到引用源。

，求点错误！未找到引用源。

的轨迹。

10. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点错误！未找到引用源。

向错误！未找到引用源。

轴引垂线段错误！未找到引用源。

，则线段错误！未找到引用源。

的中点错误！未找到引用源。

的轨迹方程是 。

11. 已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的周长为6，
则错误！未找到引用源。

的顶点C 的轨迹方程是 。

12. 已知椭圆14
522
22=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP
中点的轨迹方程。

(五) 焦点三角形4a
1. 已知1F 、2F 为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若
1222=+B F A F ，则=AB 。

2. 已知1F 、2F 为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、
B 两点，则1ABF ∆的周长是 。

3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆13
22=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆的周长为 。

(六) 焦点三角形的面积：
1. 设M 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面
积。

2. 已知点P 是椭圆14
22
=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=∙PF PF ，求点P 到x 轴的距离。

3. 已知点P 是椭圆1
9
2522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，21=，则21F PF ∆的面积为 。

4. 椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个
交点为P = 。

5. 已知AB 为经过椭圆错误！未找到引用源。

的中心的弦，错误！未找到引用源。

为椭圆
的右焦点，则错误！未找到引用源。

的面积的最大值为 。

(七) 焦点三角形错误！未找到引用源。

1. 设椭圆14
92
2=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF ∙的最大
值，并求此时P 点的坐标。

2. 椭圆12
92
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，
则=2PF ；=∠21PF F 。

3. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的
横坐标的取值范围为 。

4. P 为椭圆116
252
2=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。

（1）若1PF 的中点是M ，求证：12
1
5PF MO -
=；（2）若︒=∠6021PF F ，求21PF PF ∙的值。

(八) 中心不在原点的椭圆
1. 椭圆的中心为点)0,1(-E ，它的一个焦点为)0,3(-F ，相应于焦点F 的准线方程为
2
7
-=x ，则这个椭圆的方程是 。

二、 椭圆的简单几何性质
（一） 已知a
、b
、c 、e
、
c
a 2求椭圆方程
1． 求下列椭圆的标准方程 （1）32,8=
=e c ； （2）3
5=e ，一条准线方程为3=x 。

2． 椭圆过（3，0）点，离心率为3
6
=
e ，求椭圆的标准方程。

3． 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标
准方程为？
4． 椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为
2
2
，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？ 5． 根据下列条件，写出椭圆的标准方程：
（1） 椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F ，其中一条准线方程是4-=x ；
（2） 椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为34，并且椭圆和直线
016372=-+y x 恰有一个公共点；
（3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到
椭圆的最近距离是3。

6． 已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，离心率为22，右准线方程为2=x 。

求椭圆的方程。

答案：12
22
=+y x 7． 根据下列条件求椭圆的方程：
（1） 两准线间的距离为5
5
18，焦距为52；答案：14922=+y x 或19422=+y x
（2） 和椭圆
120
242
2=+y x 共准线，且离心率为21； （3） 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点煌距离分别为
354和3
5
2，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

（二） 求离心率
1． 过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F2为右焦点，
若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为（ ）
2． 在平面直角坐标系中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2，以O 圆心，a 为半径
作圆，过点)0,(2
c
a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝ 。

3． 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？
4． 椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F1，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率
是？
5． 设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦
的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 。

答案：
2
1
6． 已知点),0(b A ，B 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左准线与x 轴的交点，若线段AB
的中点C 在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。

答案：
3
3
（三） 第二定义
1． 设椭圆)1(11
2
2
22>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 2 。

（四） 椭圆系
1．
椭圆
19
2522=+y x 与
)90(12592
2<<=-+-k k
y k x 的关系为（ ）
A ．相同的焦点
B 。

有相同的准线
C 。

有相等的长、短轴
D 。

有相等的焦距
三、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系
1． 当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相
离。

2． 若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围
为 。

(二)弦长问题
1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点,交椭圆于A 、B 两点,求AB 的弦长
2. .
3． 设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x
轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M 。

（1）
求椭圆的方程；
（2）
设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，
求BN F 1∆的面积。

(三)点差法
1. 已知一直线与椭圆 369422=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求
直线AB 的方程.
2. 椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5），
若PQR ∆为等腰三角形，︒=∠90PQR ，求椭圆C 的方程。

(四)向量结合 (五)对称问题
1. 已知椭圆1
34:2
2=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线
m
x y +=4对称。