2018年浙江高考模拟试卷数学卷(可编辑修改word版)

S 1S 2
n n 2018 年浙江省高考模拟试卷数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共 40 分）
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答
题纸上。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么棱柱的体积公式
P (A+B)=P (A)+P (B) V =Sh
如果事件A ，B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高
P (A ⋅B)=P (A)⋅P (B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么棱锥的体积公式V =
1
Sh
3
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高P (k )=C k p k(1 -k )n -k ,(k = 0,1, 2, , n) 棱台的体积公式
球的表面积公式S = 4R2V =1
h (S ++S )
3 1 2
球的体积公式V =4
R3
3
其中S
1
, S
2
分别表示棱台的上底、下底面积，
其中R 表示球的半径h 表示棱台的高
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

）
1、（原创）已知集合U =R ，集合M = {y y = 2x, x ∈R} ，集合N = {x y = lg(3 -x)}，
则(C U M ) N =（）
A.{y y ≥3}
B.{y y ≤0}
C. {y 0 <y < 3}
D. ∅
2、（原创）已知实数x, y, 则“xy ≥ 2 ”是“x 2+y 2≥ 4 ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3、（引用十二校联考题）某几何体的三视图如图所示，
其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）
A．3π
+ 2
C．3π
2
B．π +
D．
5π
+
2
3 3
3
2 3 6
2
⎩
-=
5 5 5 5
1n-1
4、（改编）袋中标号为1，2，3，4 的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1 号球，乙不取2 号球，丙不取3 号球，丁不取4 号球的概率为（）
1 3 11 23
A. B. C. D.
4 8 2424
⎧x -y ≥-1
⎪
5、（15 年海宁月考改编）设变量x, y 满足约束条件⎨x +y ≤ 4
⎪y ≥a
，目标函数z = 3x - 2 y 的
最小值为- 4 ，则a 的值是( )
1
A.-1
B.0 C．1 D．2
6、（改编）单位向量a i，（i=1,2,3,4）满足a i ⋅a i+1 = 0 ,则a1+a2+a3+a4可能值有
( )
A．2 个B．3 个C．4 个D．.5 个
x2
7、（改编）如图，F1,F2分别是双曲线C :
a2
y2
b2
1 （a,b＞0）
的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线 F1B 与C 的两条渐近线分别
交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若
|MF2|=|F1F2|,则C 的离心率是( )
A. B. C. D.
3 2
8、（引用余高月考卷）如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，A，B，C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过（）
A.点A
B.点B
C.点C，但不过点D
D.点C 和点D
9、若正实数x，y 满足x + 2 y + 4 = 4xy ，且不等式(x + 2 y)a2+ 2a + 2xy - 34 ≥ 0 恒成立，
则实数a 的取值范围是（）
A．[-3, ]
2
B．(-∞,-3] [
2
,+∞) C．(-3, ]
2
D．(-∞,-3] (
2
,+∞) 10、（改编）已知f (x) =x2- 2x +c, f (x) = f (x), f n (x) = f ( f (x))(n ≥ 2, n ∈N * ) ，若
函数y = f n (x) -x 不存在零点，则c 的取值范围是( )
3
ln 3
- 2
⎨ 0 1 2 5 3 4
A. c < 1
4
B. c ≥ 3
4
C. c > 9
4
D. c ≤ 9
4
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：（ 本大题共 7 小题, 单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分。

） 11、（原创） e
+ (0.125) 3
=
． log 2.5 6.25 + ln -
1
- (0.064) 3
=
．
12、（原创）已知离散型随机变量 的分布列为
1
2
则变量 的数学期望
，方差 .
⎧ 2
, x ≥ 2
13、（原创）函数 f (x ) = ⎪ x
⎪⎩
-x 2 + 2x +1, x < 2 则 f ( f (2))
=
；方程 f ( f ( x ))
= 2 解是
14、（ 原创） 已知函数f(x) = x - 2lnx ,则曲线 y = f (x ) 在点 A (1, f (1)) 处的切线方程是
,函数 f (x ) 的极值 。

15、（原创）已知(1- 2x )5 = a + a (1+ x ) + a (1+ x )2 + + a (1+ x )5 ，则 a + a =
16、（改编）抛物线 y 2＝2x 的焦点为 F ，过 F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |
的最小值为 ．
2x -1, x ≥ 1 ⎛
1 ⎫ 1
17. 已知 f ( x ) = { ， 若不等式 f cos 2+ sin -
⎪ + ≥ 0 对任意的 3x - 2, x < 1 ⎝ ∈ ⎡0,⎤
恒成立，则整数的最小值为
．
4 ⎭ 2
⎣⎢ 2 ⎥⎦
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18、（改编）（本题满分 14 分）设函数 f (x ) = cos(2x + ) + sin 2 x
2
4
(I) 求函数 f (x ) 的最小正周期.
(II) 设 函 数 g (x ) 对 任 意 x ∈ R ,有 g (x + ) = g (x ) ,且 当 2 x ∈[0, ] 时 ,
2
e 2
g (x ) = 1
- f (x ) ,求函数 g (x ) 在[-
, 0] 上的解析式.
2
19、（东阳市模拟卷 17 题改编）（本题满分 15 分）如图所示，已知圆O 的直径 AB 长度为 4，
1
点 D 为线段 AB 上一点，且 AD = DB ，点C 为圆O 上一点，且 BC = 3
3AC ．点 P 在
圆O 所在平面上的正投影为点 D ， PD = BD ． （Ⅰ）求证： CD ⊥ 平面 PAB 。

（Ⅱ）求 PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值。

P
20、（2016 海宁市月考 18 题改编）（本题满分 15 分）设函数 f ( x ) = ( x -1) e x - kx 2 (其中
k ∈ R ).
(Ⅰ) 当 k = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间。

(Ⅱ) 当 k ∈⎛ 1 ,1⎤
时,求函数 f ( x ) 在[0, k ] 上的最大值 M .
2 ⎥ ⎝ ⎦
A
D
O
B
C
2 n
1
21、（ 改 编 ）（ 本 题 满 分 15 分 ） 已 知 点
A (1,
2) 是 离 心 率 为
2 的 椭 圆 C ：
2
x 2 y 2
b 2 + a 2
= 1(a > b > 0) 上的一点．斜率为 的直线 BD 交椭圆C 于 B 、 D 两点，且 A 、 B 、 D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求证：直线 AB 、 AD 的斜率之和为定值． （Ⅲ） ∆ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？
22、（衢州市 2017 年 4 月高三教学质量检测理科改编）（本题满分 15 分）已知数列{a n }满足
1
a 2 ⎧ a ⎫ * a = ， a = a - n ，数列⎨ n +1 ⎬ 的前n 项和为 S ，证明：当 n ∈ N 时， 1 2 n +1 n n (n +1) ⎩ a n ⎭
（1） 0 < a n +1 < a n ；
（2） a n ≤
3n -1
； （3） S n > n - 2
.
n
2018 年高考模拟试卷数学卷
答题卷
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。

在每小题给出的四个选项中, 只有
一项是符合题目要求的。

二、填空题:共 7 小题,
第 9,10,11,12 题每空 3 分，其余每题 4 分，共 36 分。

11、 ,
, 12 , , 13.
,
,
14. ,
,
15
,
16
,
17
,
三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．（本小题 14 分）
19（本小题共 15 分）
学校
班级
姓名 考号
20. （本小题共15 分）21（本小题共15 分）22（本小题共15 分）
)
) ) 2018 年高考模拟试卷 数学
参考答案及评分标准
一、选择题:每小题 4 分, 满分 40 分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
B
A
C
A
B
B
D
C
D
二、填空题：第 11, 12，13，14 题每空 3 分，其余每题 4 分，共 36 分。

11、7 0 1 12、1 2
13、2
0，2
14、 y = -x + 2
2 - 2 ln 2
15、-240 9
16、
2
17、1
三、解答题（共 74 分） 18、 （本题满分 14 分）
f (x ) = cos(2x + + sin 2 x = 1 cos 2x - 1 sin 2x + 1 (1- cos 2x ) = 1 - 1 sin 2x 2 4 2 2 2 2 2 .............(4 分)
2
(I)函数 f (x ) 的最小正周期T = = 2
.............(6 分)
1 1
(2)当 x ∈[0, ] 时, g (x ) = - f (x ) = sin 2x .............(8 分)
2 2 2
当 x ∈[- , 0] 时, (x + 2
) ∈[0, ]
2 2 g (x ) = g (x + = 1 sin 2(x + = - 1 sin 2x
.............(10 分)
2 2 2 2
当 x ∈[-, - ) 时, (x +) ∈[0, )
2 2
g (x ) = g (x +) = 1 sin 2(x +) = 1
sin 2x 2 2
.............(12 分)
⎧- 1
sin 2x (
x ≤ 0) - ≤ ⎪ 2
2 得:函数 g (x ) 在[-, 0] 上的解析式为 g (x ) = ⎨
⎪
sin 2x (-≤ x < ........(14 分) ⎩⎪ 2 2
2 1 )
3 2 3 DB 2 + DC 2 3 3 19、（Ⅰ）连接CO ，由3AD = DB 知，点 D 为 AO 的中点，
又∵ AB 为圆O 的直径，∴ AC ⊥ CB ，
P
由 3AC = BC 知 ， ∠CAB = 60 ，
∴ ∆ACO 为等边三角形，从而CD ⊥ AO ----- （3 分） ∵点 P 在圆O 所在平面上的正投影为点 D ， ∴ PD ⊥ 平面 ABC ，又CD ⊂ 平面 ABC ， A D O
B
∴ PD ⊥ CD ， ---------------------------------------- （5 分） 由 PD AO = D 得， CD ⊥ 平面 PAB ． ---------（6 分） C
（注：证明CD ⊥ 平面 PAB 时，也可以由平面 PAB ⊥ 平面 ACB 得到，酌情给分．） （Ⅱ）法 1：
过 D 作 DH ⊥ 平面 PBC 交平面于点 H ，连接 PH ，则∠DPH 即为所求的线面角。

-----
（8 分） 由（Ⅰ）可知CD = ， PD = DB = 3 ，
∴V
= 1 S ⋅ PD = 1 ⋅ 1 DB ⋅ DC ⋅ PD = 1 ⨯ 1 ⨯ 3⨯ 3 ⨯ 3 = 3 3
． --- （10 分） P - B DC
3 ∆BDC 3 2 3 2 2
又
PB = = 3 ， PC = = 2 ，
BC = = 2 ，
∴ ∆PBC 为等腰三角形，则 S
∆PBC
= 1 ⨯ 3 2 ⨯ 2 = 3 15 ．
2
由V P - BDC = V D - PBC 得， DH =
分）
∴ sin ∠DPH =
DH =
5
PD
5
------（13
----（15 分）
法 2：由（Ⅰ）可知CD = ， PD = DB = 3 ，
过点 D 作 DE ⊥ CB ，垂足为 E ，连接 PE ，再过点 D 作 DF ⊥ PE ，垂足为 F ．-------------- ---8 分
∵ PD ⊥ 平面 ABC ，又CB ⊂ 平面 ABC ， ∴ PD ⊥ CB ，又 PD DE = D ， ∴ CB ⊥ 平面 PDE ，又 DF ⊂ 平面 PDE ， ∴ CB ⊥ DF ，又CB PE = E ，
∴ DF ⊥ 平面 PBC ，故∠DPF 为所求的线面角 ------- 10 分
在Rt ∆DEB 中， DE = DB ⋅sin 30 = 3
， PE = 2
= 3 5 ，
2
PD 2 + DB 2 PD 2 + DC 2 12 - 9 2
3 5
5
PD 2 + DE 2
e 1 2 2 2 8 ⎥ sin ∠DPF = sin ∠DPE =
DE = 5 PE 5
20、（本题满分 15 分）
k = 1 时, f ( x ) = ( x -1) e x - x 2 , f '( x ) = e x + ( x -1) e x - 2x = xe x - 2x = x (e x - 2) （2 分）
令 f '( x ) = 0 ,得 x 1 = 0 , x 2 = ln 2
可知,函数 f ( x ) 的递减区间为(0, ln 2) ,递增区间为(-∞, 0) , (ln 2, +∞) . （5 分）
(Ⅱ) f '( x ) = e x + ( x -1) e x - 2kx = xe x - 2kx = x (e x - 2k )
,令 f '( x ) = 0 ,得 x = 0 , x 2 = ln (2k ) ,
令 g (k ) = ln (2k ) - k ,则 g '(k ) = 1 -1 = 1- k > 0 ,
k k
所以 g (k ) 在⎛ 1 ,1⎤
上递增,. ............ (7 分） 2 ⎥ ⎝ ⎦ 所以 g (k ) ≤ ln 2 -1 = ln 2 - ln e < 0 ,从而ln (2k ) < k ,所以ln (2k )∈[0, k ] 所以当 x ∈(0, ln (2k ))时, f '( x ) < 0 ;当 x ∈(ln (2k ), +∞) 时, f '( x ) > 0 ;
所以 M = max { f (0), f (k )} = max {-1, (k -1) e k - k 3} ...............(10 分）
令
h (k ) = (k -1) e k - k 3 +1 ,则 h '(k ) = k (e k - 3k ),令
(k ) = e k - 3k ,则 '(k ) = e k - 3 < e - 3 < 0
所以(k ) 在⎛ 1
,1⎤ 上递减,而⎛ 1 ⎫ ⋅(1) = ⎛ - 3 ⎫(e - 3) < 0 2 ⎥ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
所以存在 x ∈⎛ 1 ,1⎤ 使得( x ) = 0 ,且当 k ∈⎛ 1 , x ⎫ 时,(k ) > 0 ,当 k ∈(
x ,1) 时, 0 2 ⎥ 0 2 0 ⎪ 0 ⎝ ⎦ ⎝ ⎭ (k ) < 0 , ............. (13 分)
所以
(k ) 在⎛ 1 , x ⎫ 上单调递增,在( x ,1) 上单调递减. 2 0 ⎪ 0 ⎝ ⎭
因为 h ⎛ 1 ⎫ = - 1 e + 7 > 0 , h (1) = 0 ,所以 h (k ) ≥ 0 在⎛ 1 ,1⎤ 上恒成立,当且仅当
⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎦
2 2 2 =
= ⎩ k = 1 时取得“ = ”.
综上,函数 f ( x ) 在[0, k ] 上的最大值 M = (k -1) e k - k 3
........................... (15 分)
21、(本题满分 15 分)
c 解：（Ⅰ） e ， 1 + 2
= 1， a 2 = b 2 + c 2 2 a b 2 a 2 ∴ a = 2 ， b = ， c =
∴ x 2 + y
2 =
1 ............................................................................ ( 6 分)
2 4
（Ⅲ）设 D (x 1, y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，直线 AB 、 AD 的斜率分别为： k AB 、 k AD ，则
k + k = y 1 - 2 + y 2 - 2 = 2x 1 + b - 2 + 2x 2 + b - 2 AD AB x 1 - 1 x 2 - 1 x 1 - 1 x 2 - 1
= 2 + b [ x 1 + x 2 - 2 ] x 1x 2 - (x 1 + x 2 ) + 1
------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得
2 + b [ x 1 + x 2 - 2 x 1x 2 - (x 1 + x 2 ) + 1
] =0， ........................................................... ( 8 分)
即 k AD + k AB = 0
（3）设直线 BD 的方程为 y = 2x + b
∴ ⎧ y = 2x + b ⇒ 4x 2 + 2 2bx + b 2 - 4 = 0 ⎨2x 2 + y 2 = 4 ∴ ∆ = -8b 2 + 64 > 0 ⇒ -2
< b < 2
x 1 + x 2 = - 2 b , 2 ----① x 1x 2 = b 2 - 4 4
-----② ................................ (10 分) 2
2 2
1 + ( 2)
2
3 ∆
4 64 - 8b 2 3 4 6 2 8 - b 2 2 2 ( )
1
1 1 1 ⎝ ⎭ BD = x 1 - x
2 = = = ，
设 d 为点 A 到直线 BD ： y = 2x + b 的距离， ∴ d = ……………………( 12 分)
∴ S ∆ABD =
BD d = ≤ ，当且仅当b = ±2 时取等号.
因为±2 ∈ (-2 2,2 2) ，所以当b = ±2 时， ∆ABD 的面积最大，最大值为 ---(15 分)
22、（本题满分 15 分）
a 2 解：证明：（1）由于 a n +1 - a n = - n ≤ 0 ，则 a n +1 ≤ a n . n n +1 若 a n +1 = a n ，则 a n = 0 ，与 a 1 = 2
矛盾，从而 a n +1 < a n ， a 1 = 2 > a 2 > a 3 > > a n ， 又 a n +1 = 1- a n > 1- 1 > 0 ， a 与 a 同号， a n n (n +1)
2n (n +1) n +1 n
又 a 1 = 2
> 0 ，则 a n +1 > 0 ，即0 < a n +1 < a n ............................................... (4 分) （2）由于0 < a n +1 < a n ，则 a n +1 = a n - a n n (n +1) < a n - a n a n +1 . n (n +1)
即
1 - 1 < - 1 = 1 - 1 ， 1 - 1 > 1 - 1 ， ......................... (16 分)
a n a n +1 n (n +1) n +1 n a n +1 a n n n +1 当 n ≥ 2 时， 1 = ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + + ⎛ 1 - 1 ⎫ + 1 a a a ⎪ a a ⎪ a a ⎪ a n ⎝ n n -1 ⎭ ⎝ n -1 n -2 ⎭
⎝ 2 1 ⎭ 1
1 1 1 1 1 1 1 3n -1 > n - - + - + +1- + = 3 - = > 0 ...................... (8 分) 1 n n -
2 n -1 2 a 1 n n
n 从而 a n < 3n -1
当 n = 1 时， a = ，从而 a < n ……………….(10 分) 1 2 （3） a n +1 = 1- a n n ≥ 1- 3n -1 a 1 = 1- 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ， ......................... (12 分)
a n n (n +1) n (n +1) 2 n n +1 ⎪ b
3 1 2 2
4 (8 - b 2 )b 2
1 叠加： S = a
2 + a
3 + + a n +1 ≥ n - 1 ⎛1- 1 ⎫ > n - ............................ (15 分) n a a a 2 n +1 ⎪ 2 1 2 n ⎝ ⎭。