高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》专项训练及答案

高考数学《坐标系与参数方程》课后练习
一、13
1．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ） A ．
12
B ．
13
C
．
10
D
【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++„
， 1sin 3
BAM ∴∠„
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+经过直角
坐标系下的伸缩变换123x x y y
⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）．
A ．直线
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．圆
【答案】D 【解析】 【分析】
先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x '
'，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程2
22123+4cos sin ρθθ
=
∴2
2
2
2
3cos 4sin 12ρθρθ+=
∴直角坐标方程为2
2
3412x y +=，即22
143
x
y +=
∴经过直角坐标系下的伸缩变换1233x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
后得到的曲线方程为22
(2)(3)14x y ''+=，
即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】
本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．
3．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中¶AE ，¶EF ，·FG
，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算»AE ，»EF
，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】
根据题意可知，»AE 的长度
2
π，»EF 的长度为π，»FG
的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
4．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2
x =
C ．2202x y x +==或
D ．2y =
【解析】
由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.
【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标
与极坐标的相互转化．
5．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离
C ．直线过圆心
D ．相交但直线不过圆
心 【答案】D 【解析】 【分析】
分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=
直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：9
25
d r =
<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
6．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点
对应的极角分别为
，则
的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出
的面积。

【详解】 依题意得：、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22
162
x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()36
π
ρθ+
=M 的极坐标方
程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2
2
11OA
OB
+
的
最大值为（ ） A ．
3
4
B ．
25
C ．
23
D ．
13
【答案】C 【解析】
分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=，设A 、B 两
点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.
详解：∵曲线C 的方程为22
162
x y +=，即2236x y +=，
∴曲线C 的极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=
设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，
联立()22
1+2sin 6
ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22
2222
12cos 111112sin 663OA OB
πθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+
1+1cos 21cos 23sin 23666
ππθθθ⎛⎫⎛
⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，即可得其最大值为2
3
，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．
8．若实数x ，y 满足()()2
2
512196x y ++-=，则2
2x y +的最大值为( )
A ．1
B ．14
C ．729
D ．27
【答案】C 【解析】 【分析】
设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得
22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.
【详解】
由2
2
2
(5)(12)19614x y ++-==，
22
51211414x y +-⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令5cos 14x t +=， 12
sin 14
y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，
因此2
2x
y +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++
140cos 336sin 365t t =-++
1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫
=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭
()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=
,12
cos 13
α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q
221729x y ∴≤+≤
因此最大值为729，故选C. 【点睛】
本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.
9．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4
l R π
θρ=
∈交于A B ，两点，则以线
段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）
A ．4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．4πρθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．4πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
D ．4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】
由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22
(4)16x y +-=，
直线():4
l R π
θρ=
∈化为直角坐标方程，可得y x =，
由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得00x y =⎧⎨=⎩或4
4x y =⎧⎨=⎩
，
所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为2
2
(2)(2)8x y -+-=，即2
2
440x y x y +--=， 又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，代入可得2
4cos 4sin 0ρρθρθ--=，
即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫
=+= ⎝
+⎪⎭
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．设椭圆C ：22
11612
x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，
则122d d +的最小值（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
设()
4P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：
1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结
论． 【详解】
解：设()
4P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：
12224841641681688
6d d cos cos sin πθθθθθ⎛
⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝
⎭．
当且仅当816sin πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．
故选：D 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于
（ ）
A ．5
B ．7
C -
D ．9-
【答案】D 【解析】 【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +„，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9- 故选：D ．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．若点P
的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ）
A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝
⎭ 【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则
2ρ=
=
，tan 1
θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A.
【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
13．
已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪
⎨=⎪⎩
其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．没有对称轴
【答案】C 【解析】 【分析】
设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】
设()x f t =，()y g t = t R ∈
()()()()()3
33cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，
()x f t ∴=是奇函数，
()()
(
(
ln ln g t g t t t -+=-+
++
((
ln ln ln10t t =-+== ,
()y g t ∴=也是奇函数，
设点()()(
)
,P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()()
,Q f t g t --，
()f t Q 和()g t 都是奇函数，
所以点Q 的坐标是()()()
,Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，
∴ 函数图象关于原点对称.
故选：C 【点睛】
本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.
14．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
2
3412x y +=得出22
143
x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求
2x y +的最大值.
【详解】
由题可得：22
143x y +
=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨
=⎪⎩
为参数）
， 有22cos x y θθ+=+
14sin 22con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4sin 6πθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为1sin 16πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 则： 44sin 46πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.
15．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，则其圆心坐标为（ ） A ．2,
4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．32,
4
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C ．2,4π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．()2,0
【答案】B 【解析】 【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，即ρθθ=-，
即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，
所以圆心坐标为(，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π
，故选B. 【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16．若,a b ∈R ，且2210a b += ，则-a b 的取值范围是( )
A ．-⎡⎣
B ．⎡-⎣
C ．⎡⎣
D ．(
【答案】A 【解析】 【分析】
利用参数方程，令,a b αα==，转化为
sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
-⎭=求解.
【详解】
令,a b αα==
则sin )4a b πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝-⎭
=
所以a b -∈-⎡⎣
故选：A
【点睛】
本题主要考查参数方程的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于基础题.
17．把曲线12cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩
：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的14，纵坐标压缩为
2C 为 A ．221241x y += B ．2
2
4413y x += C ．2
213
y x += D ．22344x y +=
【答案】B
【解析】 根据题意，曲线C 2：
12θ x cos y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（为参数）， 消去参数，化为直角坐标方程是2
2
4413
y x += 故选B ． 点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
22221cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=.不要忘了参数的范围.
18．已知点 A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点 A 到直线sin()46πρθ+
=的距离的最大值是（ ）
A ．92
B ．72
C ．52
D ．5
【答案】A
【解析】
【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离即可
【详解】
2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为222x y x +=
配方为：()2211x y -+=
可得圆心为()1,0，半径1r =
直线sin()46π
ρθ+=1sin cos 42
θρθ+=
可得直角坐标方程为：80x +-=
则点 A 到直线sin()46π
ρθ+=的距离的最大值为：
912
+= 故选：A
【点睛】 极坐标的相关问题一般是将极坐标方程转化为直角坐标方程处理.
19．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，
3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为（ ）
A B ．2 C ．1 D ．【答案】B
【解析】
【分析】
首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为()
,0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)A αα,，联立1C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论．
【详解】
曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，
因此得到A 的极坐标为)
αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以
sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝
⎭ ， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C
:12112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(t 为参数)上的点的最短距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】A
【解析】
【分析】
分别将圆1C 和直线2C 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线距离的关系从而求出最短距离．
【详解】
将1C 转化为直角坐标方程为()2211x y -+=，
所以曲线1C 是以()1,0为圆心，1为半径的圆．
将2C
转化为直角坐标方程为10x y ++=，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为2d ==，
所以圆上的点到直线的最小距离为211d r -=-=，
故选A ．
【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d r +，最小值为d r -．。