2018届广东省揭阳市第一学期高三学业水平1(期末)考试试卷与答案

{正文}
2018届广东省揭阳市第一学期高三学业水平（期末）考试
数学（理）试题
本试卷共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}4,3,2,1{=A ，}2|{2x x x B ≥=，则A ⋂B=
A ．}2{
B ．}3,2{
C ．}4,2{
D ．}4,3,2{
2．已知复数(12)()z i a i =++（a 为实数，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则
||z =
A ．5 B
． C
． D ．50
3．已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q 若22lg lg a b <，则a b <，下列命题为假命题的是
A ．p q ∨
B ．p q ∨⌝
C ．p q ⌝∨
D ．p q ⌝∨⌝
4
24
sin
π
=
24
cos π
=，且、的夹角为
12π
，则a ·b = A ．116
B ．18
C
D ．
14
5．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥+-≤-1040x y x y x ，则y x z --=的最小值为
A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．0
6．函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是
A ．222()()f x x x π=-
B ．()cos f x x x π=+
C ．()sin f x x x =
D ．2()cos 1f x x x =+-
7．图程序框图是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯ 的常用对数值，那么在空白判断框中，应该填入
A ．99≤k
B ．100≤k
C ．99≥k
D ．100≥k
8．某几何体三视图如图所示，则此几何体的体积为
A ．π48640+
B ．π176
C ．π16640+
D ．704
9．已知10<<<b a ，则
A ．
1ln ln <b
a
B ．
b
b
a a ln ln >
C ．b b a a ln ln <
D ．b a b a >
10．已知抛物线x y 42=，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |=10，以线段AB 为直径的圆与y 轴相交于M 、N 两点，则|MN |=
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为A 、B 、C ，已知△ABC 的面积为
4153，2=a ，3=b ，则=A
a
sin A ．36
4 B ．
15
15
16
C ．
3
15
4
D ．
3
64或151516
12．已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2|41|y x x =-+与()y f x =图像的交点为112233(,),(,),(,),
,(,),n n x y x y x y x y 则1n
i i x ==∑
A ．0
B ．n
C ．2n
D ．4n
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（23）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．7)1(+ax 的展开式中3x 的系数为280-，则实数a 的值为________。

14
．记函数()f x =的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率是 。

15．设函数()cos()3
f x x π
=-，则以下结论：
①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图像关于直线43
x π
=
对称 ③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(,)2
π
π单调递减
其中正确的是 。

（请将你认为正确的结论的代号都填上）
16．已知双曲线1222
=-b
y x 的离心率为25
，左焦点为1F ，当点P 在双曲线右支上
运动、点Q 在圆1)1(22=-+y x 上运动时，||||1PF PQ +的最小值为________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知等差数列}{n a 满足258,a a +=633a a -= （Ⅰ）求数列}{n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）若21
32n n n
b S -=
+⋅，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

18．（本小题满分12分）
如图（1）所示，平面多边形ABCDE 中，AE=ED ，AB=BD ，且5AB =，
2AD =，2AE =，1CD =，AD CD ⊥，现沿直线AD 将ADE ∆折起，得到四棱
锥P ABCD -，如图（2）示．
图（1） （2）
（Ⅰ）求证：PB AD ⊥；
（Ⅱ）图（2）中，若5PB =PD 与平面PAB 所成角的正弦值。

19．（本小题满分12分）
从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），得到如图的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27．1mm 的茎为27，叶为1。

（Ⅰ）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小；（只需写出估计的结论，不需说明理由）
（Ⅱ）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级，分级标准如下表： 等级 七 六
五
四
三
二
一 长度（mm ）
小于26.0
[26.0,27.0） [27.0,28.0） [28.0,29.0） [29.0,30.0） [30.0,31.0）
不小于31.0
（Ⅲ）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标，现从甲种棉花中随机抽取4根，记
ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数，求ξ的分布列和数学期望。

20．（本小题满分12分）
在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为A ，点Q 在线段AP 上，且2AP AQ ，当点P 在圆上运动时， （Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线m kx y l +=:与上述轨迹C 相交于M 、N 两点，且MN 的中点在直线
1=x 上，求实数k 的取值范围。

21．（本小题满分12分）
已知函数1ln )1()(--+=ex x ax x f （A 为实数）。

（Ⅰ）若1--=ex y 是曲线)(x f 的条切线，求A 的值；
（Ⅱ）当e a ≤<0时，试判断函数)(x f 的零点个数。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin 2cos 2y x （α为参数，
],0[πα∈）；现以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方
程为ρ=
，
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求MON ∠的值。

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数||||)(a x a x x f --+=， （Ⅰ）设3)2(>f ，求A 的取值范围；
（Ⅱ）当1||<a 时，试比较)1
(a
f 与|)(|x f 的大小。

{答案}
2018届广东省揭阳市第一学期高三学业水平（期末）考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题
2|41|y x x =-+的图像也关于直线2x =对称，则两个函数图像的交点两两关于直线
2x =对称，故1
n
i i x ==∑2n 。

二、填空题
解析：（16）依题意可知1=a ，2
=
b ，设)1,0(B ，由12||||2PF PF -=得 12||||=||||+2PQ PF PQ PF ++2||2F Q ≥+，问题转化为求点2F 到B 上点的最小
值，即2min 231||||1122F Q F B =-=-=,故1min 15(||||)222
PQ PF +=+=。

三、解答题
17．解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差63
13
a a d -==，-------------------------2分
由258,a a +=得1258a d +=，解得13
2
a = ----------------------------------------------4分 ∴1(1)(2)
22
n n n n n S na d -+=+
=
；--------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211
(2)2
n S n n n n ==-++；-----------------------------------------------7分
∴n n b b b b T ++++= 321
1111
113
(1)()()(122)324
22
n n n -=-+-+
+-+++++-----------------8分
11111111321
(1)()2334
12221
n n n n n -=+++
+-++++++⨯++-------10分 3113(21)2122
n n n =
--+⨯-++ 111
3212
n n n -=⋅-
-
++.-----------------------------------------12分 18．证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------1分
∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =，
∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，-----------------------------------3分
又OB OP O =，∴AD ⊥平面BOP ，------------------5分 而PB ⊂平面BOP ，
∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------6分
（Ⅱ）解法1：在图（2）中，∵OP=1，OB=2，
2225OP OB PB +==，∴PO OB ⊥,-------------------------------------7分 ∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，
以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示，
则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,
()1,1,0-=，()1,1,0=，()1,0,2-= 设()c b a m ,,=为平面PAB 的一个法向量，则
由⎩⎨
⎧=+-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0200
0c a c b m m AP 令1,a =则得2,2c b ==-，∴()22,1 -=m ，---------------------------10分 设PD 与平面PAB 所成角为θ，
则
3
2
2
3
2
4
sin=
⨯
=
=
=
θ，-------------------11分
故sinθ=PD与平面PAB。

--------------------12分【解法2：在图（2）中，∵OP=1，OB=2，
222
5
OP OB PB
+==，∴PO OB
⊥,-------------------7分
又OP⊥OD，OB⋂OD=O
∴OP⊥平面ABD，----------------------------------------------------------8分
设点D到平面PAB的距离为h，由
D PAB P ABD
V V
--
=得
PAB ABD
S h S PO
∆∆
⋅=⋅,
∵
1
2,
2
ABD
S AD OB
∆
=⋅
=
13
22
APB
S AP
∆
==,
∴
214
33
2
h
⨯
==，-----------------------------------------------------10分
设PD与平面PAB所成角为θ
，则sin
3
h
PD
θ===,
即PD与平面PAB
.----------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；
乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小。

-----------------------------------------2分（Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：
51
255
=，--------------3分；
3
0.12
25
=，---------------------------------------------------4分
故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为
1
5
（或0．2）和
3
25
（或0．12）-----5分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为1
5
，
不是二级的概率为14155
-
=， 依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4
又44256(0)()5625P ξ===（或0．4096），1
3414256(1)()55625
P C ξ==⨯⨯=
（或0．4096），2
2241496(2)()()55625
P C ξ==⨯⨯=
（或0.1536），3
341416(3)=55625P C ξ==⨯⨯（）（或0．0256），411(4)=
5625
P ξ==（）（或0．0016）---------------------------------------10分 故ξ的分布列为：
455
E ξ=⨯=（或0.8）-------------------------------------------------12分
20．解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)Q x y ，------------------------------------------1分
由AP AQ =得
则00,x x y ==，--------------------------------------------------------------------------2分
∵点P 在圆224x y +=上，即220
04x y +=， ∴2
2
)4x +=，即12
42
2=+y x ， ∴点Q 的轨迹C 方程为12
42
2=+y x （2±≠x ）--------------------------------------5分 （Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，
则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分
把m kx y +=代入12
42
2=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分 则)42)(12(4162222-+-=∆m k m k )48(822m k -+=，
由0>∆，得22)12(4m k >+，-------------------------------------------------------8分 由11
222221=+-=+k km x x ，得1222+=-k km ，---------------------------------9分 所以222222)12(4)12(16+=>+k m k k k ，解得1142>k ，
所以k 的取值范围是),14
14()1414,(∞+--∞ 。

--------------------------------12分 21．解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(∞+，
e x ax x a x
f -++=1ln )('e a x
x a -++=1ln ，----------------------------------1分 设切线与曲线)(x f 的切点为),(00y x P ，则切线的斜率为)('0x f ， 即e e a x x a -=-++0
01ln ，化简得1)1(ln 00-=+x ax （*），-----------------2分 又1ln )1(0000--+=ex x ax y 且100--=ex y ，
得0ln )1(00=+x ax ，----------------------------------------------------------------------3分 ∴0ln 0=x 或010=+ax ，
联立（*）式，解得1-=a ；---------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）设e a x
x a x f x g -++
==1ln )(')(， 由01)('2>-=x ax x g 得a x 1>， ∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a 上单调递增，在)1,0(a
上单调递减， 得e a a a a
f x f -+-==2ln )1(')('min ，其中e a ≤<0，-------------------------6分 设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0），
由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，
∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ，
∴0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”），-------------------------------------------------7分 ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，
∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2=--+=e ae e f ，
∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；--------------------------------------------------------8分
②当e a <<0时，0)1(')('min <=a f x f ， 又0)('>+=-a e a e e
a e f ， ∴存在11x a
>，使1'()0f x =，----------------------9分 又0)1('=-++-=e a e a e f ，而a
e 11<， ∴当)1,0(e x ∈1(,)x +∞时，0)('>x
f ，当11(,)x x e
∈时，0)('<x f ， ∴函数)(x f 在)1,0(e 和1(,)x +∞上单调递增，在11(,)x e
上单调递减，-----10分 又03)1(<--=e a e f ，01)(>-=a e e f a e
，---------------------------------------11分 ∴函数)(x f 仅有一个零点，
综上所述，函数)(x f 仅有一个零点．---------------------------------------------------12分
选做题
22．解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O 为半径的圆
的上半圆，----2分
其极坐标方程为[])0,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分
（Ⅱ）联立方程[])0,ρθπ=∈，ρ=
,得sin 2cos20θθ-=，-----5分
于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24π
θ=或524
πθ=，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分 所以2||π
θθ=-=∠M N MON --------------------------------------------------------10分
23．解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f -------------------------------------------------------1分
①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分 ②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以22
3<<a ；--------3分 ③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；---------------------------------------------4分
综上知，A 的取值范围为),2
3(∞+。

----------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）|
||1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，------------------------------------------6分
当1||<a 时，012
>-a ，||2||2||1||1)1(2
22a a a a a a a a f ==--+=，----------------7分 |2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，------------------------------------9分 所以|)(|)1(x f a
f ≥。

------------------------------------------------------------------------------10分。