2005年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第I 卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33
4R V π=
次的概率k n k k
n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合⋃--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{2}
D ．{0，1，2} 2．已知==αα
cos ,32
tan 则
（ ） A ．
54 B ．－
5
4 C ．
15
4 D ．－
5
3
3．12
3)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有
（ ）
A ．4项
B ．3项
C ．2项
D ．1项
I
4．函数)
34(log 1
)(22-+-=
x x x f 的定义域为
（ ）
A ．（1，2）∪（2，3）
B ．),3()1,(+∞⋃-∞
C ．（1，3）
D ．[1，3]
5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为
（ ）
A ．周期函数，最小正周期为
3
2π
B ．周期函数，最小正周期为3
π
C ．周期函数，数小正周期为π2
D ．非周期函数
6．已知向量与则若,2
5
)(,5||),4,2(),2,1(=
⋅+=--= （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :
A
c
C b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体
ABCD 的外接球的体积为 （ ）
A ．
π12
125
B ．
π9125 C ．π6125
D ．
π3
125
10．已知实数a 、b 满足等式,)3
1
()21(b a =下列五个关系式：
①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b 其中不可能成立的关系式有
（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2
,
0(),1,(sin ),cos ,1(π
θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值
时，=θ
（ ）
A ．
6π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π
12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽
查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b
的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83
C ．2.7,78
D ．2.7,83
第Ⅱ卷
注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上. 13．若函数)2(log )(22a x x x f a ++
=是奇函数，则a = .
14．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0
320420
2⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->-+≤-- .
15．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ， 且2
π
=
∠BAC ，则PA 与底面ABC 所成角为
.
16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(2
1
+=则动点P 的轨迹为椭圆；
③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
135
192522
22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）设k>1，解关于x 的不等式；x
k
x k x f --+<2)1()(.
18．（本小题满分12分）
已知向量x f x x x x
⋅=-+=+
=)()),4
2tan(),42sin(2()),42
tan(,2cos 2(令π
ππ
. 求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.
19．（本小题满分12分）
A 、
B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D;
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC －D 的大小为
4
. 21．（本小题满分12分）
如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；
（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程. 22．（本小题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2
3
,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．A 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题 13．
22 14．23 15．3
π
16．③④ 三、解答题
17．解：（1）将0124,32
21=+-+==x b
ax x x x 分别代入方程
得 ).2(2)(,218416939
2≠-=⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+x x x x f b a b
a b
a 所以解得 （2）不等式即为
02)1(,2)1(222<-++---+<-x
k
x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x
①当1<k<2时，解集（1，k ）∪（2，+∞）；
②当);,2()2,1(0)1()2(,22
+∞⋃∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞⋃∈>k x k 解集为时当.
18．解：)4
2tan()42tan()42
sin(2cos 22)(π
ππ
--++
=⋅=x x x x
b a x f 12cos 22cos 2sin 22
tan
11
2tan 2tan 12tan 1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x x x x x x x
x x cos sin +==)4
sin(2π
+x .
所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为]4,0[)(,2π
π在x f 上单调增加，]4
,0[π
上单调减少.
19．解：（1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，
设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤=+=-715||ξξn m n m ，可得：
.
7,5:;7,6,11,6;5,5,00,5的取值为所以时或当时或当ξξξ==========n m n m n m n m
.64
9645322)21(2)21(2)7()5()7(7
155=+=+⨯==+==≤C P P P ξξξ
20．解法（一）
（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴D 1E ⊥A 1D
（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2
1,231==
∆∆ACE C AD S S 而 .31,23121,3
1
31111=∴⨯=⨯∴⋅=⋅=
∴∆∆-h h h S DD S V C AD AEC AEC D
（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x
,
,,1,.
1,4
,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =∆∴+=∆=∴=
∠∆中在中在中在 π
.
4
,32.
32543.54,3122π
的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆
解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）
（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为即DA 1⊥D 1E.
（2）因为E 为AB 的中点，则)0,2,1(),1,1,1(),0,1,1(1--=AC E D E 从而.
⎩⎨
⎧=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=-=002,00
),,,().1,0,1(111c a b a AD c b a ACD AD 也即则的法向量为设平面, )2,1,2(,2=⎩⎨⎧==n c
a b
a 从而得，所以点E 到平面AD 1C 的距离为 .3
1
32121=-+=
=
h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x
由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(0
2,
0,01x b a c b D 令b=1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x -= 依题意.2
25
)2(22
2
|
|||4
cos
211=
+-⇒=
⋅=
x DD n π
∴321+=x （不合，舍去），.322-=x
∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为
4
π
. 21．解：（1）设M （y 2
0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为－k ，
).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线
⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴x
y y x k y y 2
2
00)(由消0)1(002
=-+-ky y y ky x 得 2
200)1(,1k ky x k ky y F F -=∴-=解得
).(2142
)1()1(110
202
2
022000定值y k ky k k
ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF
-=-=+---+-
-=--=∴
所以直线EF 的斜率为定值
（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当
).(2
00y x k y y ME -=-∴的方程为直线
).1,)1((,02022
00y y E x
y y x y y --⎪⎩⎪⎨⎧=-=-得由 同理可得)).1(,)1((02
0y y F +-+
设重心G （x , y ），则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(300002
0202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M
).3
2(2729120>-=
x x y y 得消去参数 22．解：方法一：先考虑偶数项有：1212222)2
1(3)2
1
(3---⋅-=-⋅=-n n n n S S 32324222)2
1(3)21(3----⋅-=-⋅=-n n n n S S ………
.)2
1(3)21(23324⋅-=-⋅=-S S
).
1()2
1
(2]
)41
(2121[4411)
41(21213]
21)21()21()21[(3]
)21
()21()21[(312332123321222≥+-=⋅--=--⋅-=++++-=+++-=∴-----n S S n n n n n n n n
同理考虑奇数项有：.)21
(3)21(3221212n n n n S S ⋅=-=---
22223212)2
1
(3)21(3----⋅=-⋅=-n n n n S S
………
.)2
1
(3)21(32213⋅=-⋅=-S S
.
1).
1()2
1
(34))21(2()21(2).
1()2
1
(34))21(2()21(2).
1()2
1
(2])21()21()21[(31112122122221222121222222112==≥⋅+-=--+-=-=≥⋅-=+---=-=∴≥-=++++=∴----++-+S a n S S a n S S a n S S n n n n n n n n n n n n n n n n
综合可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.
,)21(34,,)2
1(3411为偶数为奇数n n a n n n
方法二：因为),3()2
1
(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以
两边同乘以n
)1(-，可得：
.)2
1
(3)
2
1
()1(3)
1()1(11
11
----⋅-=-⋅-⋅=---n n n
n n n n a a
令).3()2
1(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n n n 所以,)2
1(311---⋅-=-n n n b b
,)2
1
(3221----⋅-=-n n n b b
………
,)2
1
(3223-⋅-=-b b
2
11)
21(41413])2
1()2
1
()21[(32
22
2
12-⋅-⨯-=+++-=∴---n n n n b b b ).3()2
1
(32312≥⋅+-
=-n b n
第 11 页 共 11 页 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=⋅-⋅+--=-=∴≥⋅+-=⋅+--=∴-=-=-=-=∴-=--=-===-----.
,)21
(34,,
)21(34)21()1(3)1(4)1().1()2
1(34)21(32325.2
5)1(,1)1(,2
5123,1131
1122211112211为偶数为奇数又n n b a n b a b a b S S a S a n n n n n n n n n n n。