13.6_数系的扩充与复数的引入

(3)z 是纯虚数； 1 (4) z＝ ＋4i. 2 思维启迪：若 z＝a＋bi (a，b∈R )，则 b＝0 时，z∈R ；b≠0 时， 1 z 是虚数；a＝0 且 b≠0 时，z 是纯虚数； z＝a－bi＝ ＋4i. 2
解
m 2＋2m －3＝0， (1)由z∈R ，得 m －1≠0，
数系的扩充与复数的引入
自主复习指导
1. 理解复数的基本概念． P51概念掌握：复数，实部，虚部，虚数单位；特别 注意复数a+bi什么情况下为实数，虚数，纯虚数；课 本例1. 2．理解复数相等的充要条件．P52上方 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． P52概念掌握：复平面，实轴，虚轴;复数的几何意义： 点表示，向量表示；P53概念：模，共轭复数.课本例3 4．会进行复数代数形式的四则运算． 复数运算的加，减，乘同于常规四则运算；只重点复 习P60复数的除法. 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． P65巩固与提高第4题 在复平面上表示的图形.
解得m ＝－3.
(2)由z是虚数，得m 2＋2m －3≠0，且m －1≠0， 解得m ≠1且m ≠－3. m m ＋2＝0， (3)由z是纯虚数，得m －1≠0， m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.
m m ＋2 1 1 2 (4)由 z ＝ ＋4i，得 －(m ＋2m －3) i＝ ＋4i， 2 2 m －1 m m ＋2 1 ＝ ， 2 m －1 ∴ －m 2＋2m －3＝4， 解得 m ＝－1. 2m 2＋3m ＋1＝0， 即m ≠1， m 2＋2m ＋1＝0，
§ 13.6
要点梳理
数系的扩充与复数的引入 基础知识 自主学习
1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a＋bi (a，b∈R )的数叫做复数，其中 a，b 分别是 它的 实部 和 虚部 .若 b＝0 ， a＋bi为实数， b≠0 ， 则 若 则 a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0 ，则 a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi ＝c＋di a＝c且b＝d (a，b，c， ⇔ d∈R )．
变式训练 2 A．－2－3i C．2－3i
5－i (1)设 i为虚数单位，则 等于( C ) 1＋i B．－2＋3i D．2＋3i
5－i 5－i1－i 5－1－5i－i 解析 ＝ ＝ ＝2－3i. 2 1＋i 1＋i1－i
3＋2i 3－2i (2)复数 － 等于( D ) 2－3i 2＋3i A．0 B．2 C．－2i D．2i
，
题型二
复数的代数运算 2＋2i4 例 2 计算：(1) ； 1－ 3i5 －2 3＋i 2 2 010 (2) ＋ ； 1＋2 3i 1－i 1＋i 2＋ 3i 6 (3) ＋ . 1－i 3－ 2i
思维启迪 利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质 求解．
探究提高
(1)本题考查复数集中各数集的分类，题中
给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为 代数形式，再依据概念求解． (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式 的一般表达式．如：对应点在直线 x＝1 上，则 z＝1 ＋bi (b∈R )； 对应点在直线 y＝x上， z＝a＋ai (a∈R )， 则 在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点．
解析
3＋2i 3＋2i 3＋2i ∵ ＝ ＝ 2 2－3i －2i －3i －i 3＋2i
＝
1 － ＝i， i 3－2i －3i2－2i －i 2＋3i ＝ ＝ ＝－i， 2＋3i 2＋3i 2＋3i 3＋2i 3－2i ∴ － ＝i－(－i)＝2i. 2－3i 2＋3i
题型三 例3
复数的几何意义
探究提高
复数代数形式的行计算． 复数的加减运算类似 于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除 运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意 i 的幂的性 质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2 与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； 在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘 以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2 ＋b2 与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复 数运算混淆，造成计算失误．
BC ＝ AO ，∴ BC 所表示的复数为－3－2i.
(2) CA ＝ OA － OC ，∴ CA 所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3) OB ＝ OA ＋ AB ＝ OA ＋ OC ，
OB 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即 B 点对应的复数为 1＋6i.
③乘法：z1·2＝(a＋bi)· z (c＋di)＝ (ac-bd)＋(ad＋bc)i；
z1
z1 a＋bi a＋bic－di ac＋bd bc－ad ④除法： ＝ ＝ ＝ ＋ 2 i(c＋di≠0)． 2 2 2 c ＋d z2 c＋di c＋dic－di c ＋d (2)复数加法的运算定律 ＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
思想与方法 23．用待定系数法解决复数问题 试题：(14 分)已知 x，y 为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4 －6i，求 x，y.
审题视角(1)x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表 示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问 题．
m 2－m －6 变式训练 1 当实数 m 为何值时，z＝ ＋(m 2＋5m ＋ m ＋3 6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数 z 对应 的点在复平面内的第二象限．
m 2＋5m ＋6＝0 (1)若 z 为实数，则 m ＋3≠0
解
，解得 m ＝－2.
m 2＋5m ＋6≠0 (2)若 z 为虚数，则 m ＋3≠0
，解得 m ≠－2 且 m ≠－3.
m 2＋5m ＋6≠0 (3)若 z 为纯虚数，则m 2－m －6 ＝0 m ＋3
，解得 m ＝3.
m 2－m －6 <0 (4)若 z 对应的点在第二象限，则 m ＋3 m 2＋5m ＋6>0 m <－3或－2<m <3 即 m <－3或m >－2 ∴m <－3 或－2<m <3. ，
(3)共轭复数： a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ b，c，d∈R )． (4)复平面
a＝c，b＝－d
(a，
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面． x轴 叫做
实轴， y轴 叫做虚轴．实轴上的点都表示 实数 ；除原点外， 虚轴上的点都表示 纯虚数；各象限内的点都表示 非纯虚数 ． (5)复数的模 向量 OZ 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或 |a＋bi| ， 即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
探究提高
根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是
一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向 量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．
变式训练 3 复数 z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝ －1－2i，它们在复平面上的对应点是一个 正方形的三个顶点(如图)， 求这个正方形的 第四个顶点对应的复数． 解 由图形知，z1，z2，z3 分别对应点 A 、B 、C .
161＋i4 解 (1)原式＝ 1－ 3 i41－ 3 i －64 162i2 ＝ ＝ 2 －2－2 3i 1－ 3i 41＋ 3i21－ 3i －16 －4 ＝ ＝ ＝－1＋ 3i. 1＋ 3i×4 1＋ 3i i1＋2 3i 2 21 005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 ＝i＋－2i1 005＝i＋i1 005 ＝i＋i4×251＋1＝i＋i＝2i.
基础自测 1．若复数 z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中 i 是虚数单位，则
－20 复数(z1－z2) i 的实部为__________．
解析 ∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2) i
＝(－2＋20i) i＝－20－2i，∴复数(z1－z2) i 的实部为－20.
2i 2． （2010·北京）在复平面内，复数 对应 1－i
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， b∈R )．
一一对应
一一对应 平面向量 OZ (2)复数 z＝a＋bi (a，b∈R )
.
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R )，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a-c)＋(b-d)i ；
(3)方法一
6
1＋i2 6 原式＝ ＋ 2
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
6＋2i＋3i－ 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 5 方法二 (技巧解法) 1＋i2 6 2＋ 3ii 原式＝ ＋ 2 3－ 2ii 2＋ 3ii 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 2＋ 3i
A．i B ．－i C ．－2i D ．2i a 1＋i 解析 由 ＝ i 1－i 1＋i1－i 2 得：a＝ ＝ ＝－2i i i
题型分类
题型一 例1 复数的分类
深度剖析
m m ＋2 已知 m ∈R ，复数 z＝ ＋(m 2＋2m －3) i，当 m 为 m －1
何值时， (1)z∈R ； (2)z 是虚数；
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C ，有 z1＋z2
[难点正本
疑点清源]
1．对于复数 z＝a＋bi 必须满足 a、b 均为实数，才能得出实 部为 a， 虚部为 b.对于复数相等必须先化为代数形式才能比 较实部与虚部． 2．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的 方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及 性质．应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数 解、求复平面上动点的轨迹等问题．
4．若复数(1＋bi)· (2－i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)， 则 b 等于( A ) 1 1 A．－2 B．－ C. D．2 2 2 解析 ∵(1＋bi)· (2－i)＝2＋b＋(2b－1) i 是纯虚数，
∴2＋b＝0，即 b＝－2 a 1＋i 5．i 为虚数单位，若 ＝ ，则 a 的值为 ( C ) i 1－i
(－1,1) 的点的坐标为________．
2i 2i1＋i 解析 ∵ ＝ ＝i＋i2＝－1＋i， 2 1－i 2i ∴复数 对应的点的坐标为(－1,1)． 1－i
3． （2010·上海）若复数 z＝1－2i (i 为虚数单位)，则 z· z＋z＝________. 6－2i
解析
∵z＝1－2i，∴z· z＝|z|2＝5.∴z· z＋z＝6－2i.
AB ＝ OB － OA ，
AB 所对应的复数为 z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，
在正方形 A B C D 中， DC = AB ，
DC 所对应的复数为－3－i，
又 DC ＝ OC － OD ，
OD ＝ OC － DC 所对应的复数为
z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i， ∴第四个顶点对应的复数为 2－i.
如图所示，平行四边形 O A B C ，顶点 O ，A ，
C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i，试求： (1) AO 、 BC 所表示的复数； (2)对角线 CA 所表示的复数； (3)求 B 点对应的复数．
思维启迪结合图形和已知点对应的复数， 根据加减法的几 何意义，即可求解．
解
(1) AO ＝－ OA ，∴ AO 所表示的复数为－3－2i.