2019年高考物理一轮复习精品学案：专题9.4 电磁感应中的动力学和能量问题(解析版)

1．受力分析与运动分析
2．应用牛顿运动定律和运动学规律解答电磁感应问题
一、电磁感应与力和运动
1．安培力的大小
由感应电动势E＝Blv、感应电流I＝E
R和安培力公式F＝BIl得F＝
B2l2v
R.
2．安培力的方向判断
(1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向．
(2)根据安培力防碍导体和磁场的相对运动判断．
3．电磁感应中的力和运动
电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变．
二、电磁感应与能量守恒
1．能量转化
导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或内能．所以，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化．2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．
高频考点一电磁感应与力和运动
1．受力分析与运动分析
对电磁感应现象中的力学问题，除了要作好受力情况和运动情况的动态分析外，还需要
注意导体受到的安培力随运动速度变化的特点，速度变化，弹力及相对应的摩擦力也随之而变，导致物体的运动状态发生变化．
2．应用牛顿运动定律和运动学规律解答电磁感应问题的基本思路
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．
(2)求回路中的电流．
(3)分析研究导体的受力情况(包含安培力，用左手定则确定其方向)．
(4)根据牛顿第二定律和运动学规律或平衡条件列方程求解．
例1、如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g.求：
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
(2)导体棒匀速运动的速度大小v；
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q.
【方法归纳】解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
(1)先作“源”的分析——分离出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；
(2)再实行“路”的分析——分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相对应部分的电流大小，以便求解安培力；
(3)然后是“力”的分析——分析研究对象(常是金属杆、导体线圈等)的受力情况，尤其注意其所受的安培力；
(4)最后实行“运动”状态的分析——根据力和运动的关系，判断准确的运动模型．
【变式探究】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻．线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直．设OO′下方磁场区域充足大，不计空气影响，则下列哪一个图象不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律( )
【答案】A．
【举一反三】(多选)如图甲所示，MN左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，现将一边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场方向垂直，且bc边与磁场边界MN重合．当t＝0时，对线框施加一水平拉力F，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当t＝t0时，线框的ad边与磁场边界MN重合．图乙为拉力F随时间t变化的图线．由以上条件可知，磁场的磁感应强度B的大小及t0时刻线框的速率v为( )
A ．
B ＝1
L
mR t 0 B ．B ＝1L
2mR
t 0
C ．v ＝F 0t 0m
D ．v ＝2F 0t 0
m
【答案】BC
高频考点二 电磁感应与能量守恒 1．电磁感应中的几个功能关系
(1)导体克服安培力做的功等于产生的电能W 安＝E 电；
(2)若电路为纯电阻电路，则电磁感应中产生的电能又完全转化为电路的焦耳热Q ＝E 电； (3)导体克服安培力做的功等于消耗的机械能W 安＝E 机械能；
(4)综合起来能够看出“电路的焦耳热”等于“电磁感应中产生的电能”等于“机械能的减小”，即Q ＝E 电＝E 机械能．这里还要特别明确“能量转化的层次性”，即E 机械能→E 电→Q ，其中第一次转化是通过克服安培力做功W 安来实现，第二次转化是通过感应电流流经电阻转化为焦耳热来实现． 2．用能量方法解决电磁感应问题的一般步骤
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定电动势的大小和方向． (2)画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率的表达式．
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的关系式．
例2、半径分别为r 和2r 的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为r 、质量为m 且质量分布均匀的直导体棒AB 置于圆导轨上面．BA 的延长线通过圆导轨中心O ，装置的俯视图如图所示．整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，方向竖直向下．在内圆导轨的C 点和外圆导轨的D 点之间接有一阻值为R 的电阻(图中未画出)．直导体棒在水平外力作用下以角
速度ω绕O 逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触．设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒和导轨的电阻均可忽略．重力加速度大小为g ，求：
(1)通过电阻R 的感应电流的方向和大小； (2)外力的功率．
(2)在竖直方向上有mg －2F N ＝0
⑤
式中，因为质量分布均匀，内、外圆导轨对导体棒的正压力大小相等，其值为F N .两导轨对运行的导体棒的滑动摩擦力均为F f ＝μF N
⑥
在Δt 时间内，导体棒在内、外圆导轨上扫过的弧长分别为 l 1＝rωΔt ⑦ l 2＝2rωΔt
⑧
克服摩擦力做的总功为W f ＝F f (l 1＋l 2)
⑨
在Δt 时间内，消耗在电阻R 上的功为W R ＝I 2R Δt
⑩
根据能量转化和守恒定律知，外力在Δt 时间内做的功为W ＝W f ＋W R ⑪
外力的功率为P ＝W
Δt
⑫
由④至⑫式得P ＝32μmgωr ＋9ω2B 2r 4
4R ⑬ 【答案】(1)3ωBr 2
2R 方向由C 端到D 端
(2)32μmg ωr ＋9ω2B 2r 44R
【归纳总结】(1)电磁感应中通过导体横截面的电荷量q ＝n ΔΦ
R ，式中ΔΦ为闭合电路中磁通量的变化量，n 为线圈匝数，R 为闭合电路的总电阻．不论电流恒定还是变化，上述公式都适用． (2)电能在电路中的作用：一般电路中并不储存电能，在绝大部分情况下，虽然持续有能量转化为电能，但这些电能立即通过电流做功转化为焦耳热，所以电能往往仅仅一种“过渡”能量． 【变式探究】(多选)如图所示，固定在同一水平面上的两平行金属导轨AB 、CD ，两端接有阻值相同的两个定值电阻．质量为m 的导体棒垂直放在导轨上，轻弹簧左端固定，右端连接导体棒，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中．当导体棒静止在OO ′位置时，弹簧处于原长状态．此时给导体棒一个水平向右的初速度v 0，它能向右运动的最远距离为d ，且能再次经过OO ′位置．已知导体棒所受的摩擦力大小恒为f ，导体棒向右运动过程中左侧电阻产生的热量为Q ，不计导轨和导体棒的电阻．则( )
A ．弹簧的弹性势能最大为12mv 20－Q －fd
B ．弹簧的弹性势能最大为12mv 20－2Q －fd
C ．导体棒再次回到OO ′位置时的动能等于12mv 20－4Q －2fd
D ．导体棒再次回到OO ′位置时的动能大于12mv 20－4Q －2fd
【答案】BD
【举一反三】如图甲所示，在虚线mn 的上方存有垂直纸面向里的匀强磁场，mn 的下方存有竖直向下的匀强磁场，mn 上下两侧磁场的磁感应强度大小相等．将两根充足长的直导轨平行
放置在磁场中，且贯穿虚线的上下两侧．取两根等长的金属棒a 、b ，两端分别套上金属环，然后将两金属棒套在长直导轨上，其中a 棒置于虚线上侧，b 棒置于虚线下侧．从t ＝0时刻开始在a 棒上加一竖直向上的外力F ，使a 棒由静止开始向上做匀加速直线运动，外力随时间的变化规律如图乙所示，同时b 棒在t ＝0时刻由静止释放．已知两导轨的间距为L ＝1.5 m ，a 、b 棒的质量分别为m 1＝1 kg 、m 2＝0.27 kg ，两金属棒的总电阻为R ＝1.8 Ω，忽略导轨的电阻，b 棒与导轨的动摩擦因数为μ＝0.75，不计a 棒与导轨之间的摩擦，取g ＝10 m/s 2.
甲 乙
(1)求虚线上下两侧的磁感应强度大小以及a 棒匀加速运动的加速度大小；
(2)如果在0～2 s 的时间内外力F 对a 棒做功为40 J ，则该过程中整个电路产生的焦耳热为多少？
(3)经过多长时间b 棒的速度最大？
(2)在2 s 末金属棒a 的速率v t ＝at ′＝2 m/s ，所发生的位移x ＝1
2at ′2＝2 m 由动能定理得W F －m 1gx －W 安＝1
2m 1v 2t ，又Q ＝W 安 解得Q ＝18 J.
(3)b 棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当b 棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．假设经t 0时间金属棒b 的速度达到最大，
当b 棒速度达到最大时，有m 2g ＝μF N 又F N ＝F 安＝BI 1L ，I 1＝E 1R ＝BLv 1
R ，v 1＝at 0 联立解得t 0＝2 s.
【答案】(1)1.2 T 1 m/s 2 (2)18 J (3)2 s 高频考点三、微元法在电磁学中的应用
微元法是将研究对象无限细分，从中抽取出微小单元实行研究，找出被研究对象变化规律，因为这些微元遵循的规律相同，再将这些微元实行必要的数学运算(累计求和)，从而顺利解决问题．用该方法能够将一些复杂的物理过程，用我们熟悉的规律加以解决，是物理学中常用的思想方法之一．
例3、如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L .导轨上端接有一平行板电容器，电容为C ．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面向下．在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g .忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
【解析】(1)设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为E ＝BLv ①
平行板电容器两极板之间的电势差为U ＝E
②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有C ＝Q U
③
联立①②③式得Q ＝CBLv
④
【答案】(1)Q ＝CBLv (2)v ＝m
θ－μcos θ
m ＋B 2L 2C
gt
【方法技巧】
1．本题用微元法可判断金属杆沿导轨匀加速下滑，从而得出速度随时间均匀变化的关系，这与常见的导体棒在恒力作用下运动是不同的．
2．对于电容器的充电过程，因为金属杆的速度均匀增加，感应电动势也均匀变大，所以金属棒一直给电容器充电，且充电的电流恒定，认为电容器是断路，没有电流是错误的．
1．【2019·全国卷Ⅰ】如图1-，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab (仅标出a 端)和cd (仅标出c 端)长度均为L ，质量分别为2m 和m ；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca ，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存有匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R ，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g ，已知金属棒ab 匀速下滑．求：( ) (1)作用在金属棒ab 上的安培力的大小； (2)金属棒运动速度的大小．
图1-
【答案】(1)mg (sin θ－3μcos θ) (2)(sin θ－3μcos θ)mgR
B 2L 2
(2)由安培力公式得 F ＝BIL ⑥
这里I 是回路abdca 中的感应电流，ab 棒上的感应电动势为 ε＝BLv ⑦
式中，v 是ab 棒下滑速度的大小，由欧姆定律得 I ＝εR ⑧
联立⑤⑥⑦⑧式得
v ＝(sin θ－3μcos θ)mgR
B 2L 2 ⑨
2．【2019·全国卷Ⅱ】如图1-所示，水平面(纸面)内间距为l 的平行金属导轨间接一电阻，质量为m 、长度为l 的金属杆置于导轨上．t ＝0时，金属杆在水平向右、大小为F 的恒定拉力作用下由静止开始运动．t 0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动．杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为g .求： (1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小； (2)电阻的阻值．
图1-
【答案】(1)Blt 0⎝⎛⎭
⎫F m －μg (2)B 2l 2
t 0
m
(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I ，根据欧姆定律 I ＝E
R ⑤
式中R 为电阻的阻值．金属杆所受的安培力为 f ＝BIl ⑥
因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得 F －μmg －f ＝0 ⑦ 联立④⑤⑥⑦式得 R ＝B 2l 2t 0
m ⑧
3．【2019·四川卷】如图1-所示，电阻不计、间距为l 的光滑平行金属导轨水平放置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻R .质量为m 、电阻为r 的金属棒MN 置于导轨上，受到垂直于金属棒的水平外力F 的作用由静止开始运动，外力F 与金属棒速度v 的关系是F ＝F 0＋kv (F 0、k 是常量)，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．金属棒中感应电流为i ，受到的安培力大小为F A ，电阻R 两端的电压为U R ，感应电流的功率为P ，它们随时间t 变化图像可能准确的有( )
图1-
图1-
分析金属棒运动情况，由牛顿第二定律可得F 合＝F －F A ＝F 0＋kv －B 2l 2R ＋r v ＝F 0＋⎝⎛⎭⎫k －B 2l 2R ＋r v ，而
加速度a ＝F 合
m .因为金属棒从静止出发，所以F 0>0，且F 合>0，即a >0，加速度方向水平向右． (1)若k ＝B 2l 2R ＋r ，F 合＝F 0，即a ＝F 0
m ，金属棒水平向右做匀加速直线运动，有v ＝at ，说明v ∝t ，
即I ∝t ，F A ∝t ，U R ∝t ，P ∝t 2，所以在此情况下没有选项符合；
(2)若k >B 2l 2
R ＋r ，F 合随v 增大而增大，即a 随v 增大而增大，说明金属棒在做加速度增大的加速
运动，根据四个物理量与速度的关系可知B 选项符合；
(3)若k <B 2l 2
R ＋r ，F 合随v 增大而减小，即a 随v 增大而减小，说明金属棒在做加速度减小的加速
运动，直到加速度减小为0后金属棒做匀速直线运动，根据四个物理量与速度关系可知C 选项符合；
综上所述，B 、C 选项符合题意．
4．【2019·浙江卷】小明设计的电磁健身器的简化装置如图1-10所示，两根平行金属导轨相距l ＝0.50 m ，倾角θ＝53°，导轨上端串接一个R ＝0.05 Ω的电阻．在导轨间长d ＝0.56 m 的区域内，存有方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝2.0 T ．质量m ＝4.0 kg 的金属棒CD 水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH 相连．CD 棒的初始位置与磁场区域的下边界相距s ＝0.24 m ．一位健身者用恒力F ＝80 N 拉动GH 杆，CD 棒由静止开始运动，上升过程中CD 棒始终保持与导轨垂直．当CD 棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD 棒回到初始位置(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 53°＝0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)．求：
(1)CD 棒进入磁场时速度v 的大小；
(2)CD 棒进入磁场时所受的安培力F A 的大小；
(3)在拉升CD 棒的过程中，健身者所做的功W 和电阻产生的焦耳热Q .
图1-10
【答案】(1)2.4 m/s (2)48 N (3)64 J 26.88 J
代入得F A ＝（Bl ）2v
R ＝48 N ⑥ (3)健身者做功W ＝F (s ＋d )＝64 J ⑦ 由牛顿定律F －mg sin θ－F A ＝0 ⑧ CD 棒在磁场区做匀速运动 在磁场中运动时间t ＝d
v ⑨ 焦耳热Q ＝I 2Rt ＝26.88 J ⑩
5．【2019·全国卷Ⅲ】如图1-所示，两条相距l 的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R 的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S 的区域，区域中存有垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B 1随时间t 的变化关系为B 1＝kt ，式中k 为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN (虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B 0，方向也垂直于纸面向里．某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t 0时刻恰好以速度v 0越过MN ，此后向右做匀速运动．金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计．求： (1)在t ＝0到t ＝t 0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；
(2)在时刻t (t >t 0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小．
图1-
【答案】(1)kt 0S R (2)B 0lv 0(t －t 0)＋kSt (B 0lv 0＋kS )B 0l
R
由⑤式得，在t ＝0到t ＝t 0的时间间隔内，流过电阻R 的电荷量q 的绝对值为 |q |＝kt 0S R ⑥
(2)当t >t 0时，金属棒已越过MN .因为金属棒在MN 右侧做匀速运动，有f ＝F ⑦
式中，f 是外加水平恒力，F 是匀强磁场施加的安培力．设此时回路中的电流为I ，F 的大小为 F ＝B 0Il ⑧
此时金属棒与MN 之间的距离为s ＝v 0(t －t 0) ⑨ 匀强磁场穿过回路的磁通量为Φ′＝B 0ls ⑩ 回路的总磁通量为Φt ＝Φ＋Φ′
1.(2019·浙江理综·24)小明同学设计了一个“电磁天平”，如图5所示，等臂天平的左臂为挂盘，右臂挂有矩形线圈，两臂平衡．线圈的水平边长L ＝0.1 m ，竖直边长H ＝0.3 m ，匝数为N 1.线圈的下边处于匀强磁场内，磁感应强度B 0＝1.0 T ，方向垂直线圈平面向里．线圈中通有可在0～
2.0 A 范围内调节的电流I .挂盘放上待测物体后，调节线圈中电流使天平平衡，测出电流即可测得物体的质量．(重力加速度取g ＝10 m/s 2)
图5 图6
(1)为使电磁天平的量程达到0.5 kg ，线圈的匝数N 1至少为多少？
(2)进一步探究电磁感应现象，另选N 2＝100匝、形状相同的线圈，总电阻R ＝10 Ω.不接外电流，两臂平衡．如图6所示，保持B 0不变，在线圈上部另加垂直纸面向外的匀强磁场，且磁感应强度B 随时间均匀变大，磁场区域宽度d ＝0.1 m ．当挂盘中放质量为0.01 kg 的物体时，天平平衡，求此时磁感应强度的变化率ΔB Δt . 答案 (1)25匝 (2)0.1 T/s
2．(2019·天津理综·11)如图9所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m ，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为l ，cd 边长为2l ，ab 与cd 平行，间距为2l .匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，cd 边到磁场上边界的距离为2l ，线框由静止释放，从cd 边进入磁场直到ef 、pq 边进入磁场前，线框做匀速运动，在ef 、pq 边离开磁场后，ab 边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q .线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab 、cd 边保持水平，重力加速度为g .求：
图9
(1)线框ab 边将要离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd 边刚进入磁场时的几倍； (2)磁场上、下边界间的距离H . 答案 (1)4倍 (2)Q
mg ＋28l
解析 (1)设磁场的磁感应强度大小为B ，cd 边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v 1，cd 边上的感应电动势为E 1，由法拉第电磁感应定律，有E 1＝2Blv 1①
设线框总电阻为R ，此时线框中电流为I 1，由闭合电路欧姆定律，有I 1＝E 1
R ② 设此时线框所受安培力为F 1，有F 1＝2I 1lB ③
3．(2019·江苏单科·13)如图8所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L ，长为3d ，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d 的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直．质量为m 的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R ，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g .求：
图8
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ； (2)导体棒匀速运动的速度大小v ； (3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q . 答案 (1)tan θ (2)mgR sin θB 2L 2 (3)2mgd sin θ－m 3g 2R 2sin 2θ
2B 4L 4 解析 (1)在绝缘涂层上
导体棒受力平衡mg sin θ＝μmg cos θ 解得导体棒与涂层间的动摩擦因数μ＝tan θ (2)在光滑导轨上
感应电动势：E ＝BLv 感应电流：I ＝E
R 安培力：F 安＝BIL
受力平衡的条件是：F 安＝mg sin θ 解得导体棒匀速运动的速度v ＝mgR sin θ
B 2L 2
4．(2019·新课标全国Ⅱ·25)半径分别为r 和2r 的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为r 、质量为m 且质量分布均匀的直导体棒AB 置于圆导轨上面，BA 的延长线通过圆导轨中心O ，装置的俯视图如图15所示．整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B ，方向竖直向下．在内圆导轨的C 点和外圆导轨的D 点之间接有一阻值为R 的电阻(图中未画出)．直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O 逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触．设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒和导轨的电阻均可忽略．重力加速度大小为g .求：
图15
(1)通过电阻R 的感应电流的方向和大小； (2)外力的功率．
答案 (1)方向为C →D 3Bωr 22R (2)9B 2ω2r 44R ＋3μmgωr 2
解析 (1)根据右手定则，得导体棒AB 上的电流方向为B →A ，故电阻R 上的电流方向为C →D . 设导体棒AB 中点的速度为v ，则v ＝v A ＋v B
2 而v A ＝ωr ，v B ＝2ωr
根据法拉第电磁感应定律，导体棒AB 上产生的感应电动势E ＝Brv
根据闭合电路欧姆定律得I ＝E R ，联立以上各式解得通过电阻R 的感应电流的大小为I ＝3Bωr 2
2R .
(2)根据能量守恒定律，外力的功率P 等于安培力与摩擦力的功率之和，即P ＝BIrv ＋fv ，而f ＝μmg
解得P ＝9B 2ω2r 44R ＋3μmgωr
2.
5．(2019·天津理综·3)如图2所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd ，ab 边长大于bc 边长，置于垂直纸面向里、边界为MN 的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN .第一次ab 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为Q 1，通过线框导体横截面的电荷量为q 1；第二次bc 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为Q 2，通过线框导体横截面的电荷量为q 2，则( )
图2
A ．Q 1＞Q 2，q 1＝q 2
B ．Q 1＞Q 2，q 1＞q 2
C ．Q 1＝Q 2，q 1＝q 2
D ．Q 1＝Q 2，q 1＞q 2
答案 A
1．(多选)如图5所示，在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B ，方向相反的水平
匀强磁场，PQ 为两个磁场的边界，磁场范围充足大．一个边长为a 、质量为m 、电阻为R 的金属正方形线框，以速度v 垂直磁场方向从如图实线位置(Ⅰ)开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中的位置(Ⅱ)时，线框的速度为v
2.下列说法准确的是( )
图5
A ．在位置(Ⅱ)时线框中的电功率为
B 2a 2v 2
R B ．此过程中回路产生的电能为3
8mv 2 C ．在位置(Ⅱ)时线框的加速度为B 2a 2v
2mR D ．此过程中通过导线横截面的电荷量为2Ba 2
R 答案 AB
2．(多选)如图6所示，间距l ＝0.4 m 的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ＝30°，正方形区域abcd 内匀强磁场的磁感应强度B ＝0.2 T ，方向垂直于斜面．甲、乙两金属杆的电阻R 相同、质量均为m ＝0.02 kg ，垂直于导轨放置．起初，甲金属杆处在磁场的上边界ab 上，乙在甲上方距甲也为l 处．现将两金属杆同时由静止释放，并同时在甲金属杆上施加一个沿着导轨的拉力F ，使甲金属杆始终以a ＝5 m/s 2的加速度沿导轨匀加速运动，已知乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动，取g ＝10 m/s 2，则( )
图6
A ．每根金属杆的电阻R ＝0.016 Ω
B ．甲金属杆在磁场中运动的时间是0.4 s
C ．甲金属杆在磁场中运动过程中F 的功率逐渐增大
D ．乙金属杆在磁场运动过程中安培力的功率是0.1 W
答案 BC
解析 乙金属杆在进入磁场前，甲、乙两金属杆加速度大小相等，当乙刚进入磁场时，甲刚好出磁场．由v 2＝2al 解得乙进、甲出磁场时的速度大小均为v ＝2 m/s ，由v ＝at 解得甲金属杆在磁场中的运动时间为t ＝0.4 s ，选项B 准确；乙金属杆进入磁场后有mg sin 30°＝BIl ，又Blv ＝I ·2R ，联立解得R ＝0.064 Ω，选项A 错误；甲金属杆在磁场中运动过程中力F 和杆的速度都逐渐增大，则其功率也逐渐增大，选项C 准确；乙金属杆在磁场运动过程中安培力的功率是P ＝BIlv ＝0.2 W ，选项D 错误．故本题答案为B 、C.
3．(多选)如图7所示，在倾角为θ的斜面上固定两根充足长的光滑平行金属导轨PQ 、MN ，相距为L ，导轨处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．有两根质量均为m 的金属棒a 、b ，先将a 棒垂直导轨放置，用跨过光滑定滑轮的细线与物块c 连接，连接a 棒的细线平行于导轨，由静止释放c ，此后某时刻，将b 也垂直导轨放置，a 、c 此刻起做匀速运动，b 棒刚好能静止在导轨上．a 棒在运动过程中始终与导轨垂直，两棒与导轨接触良好，导轨电阻不计．则( )
图7
A ．物块c 的质量是2m sin θ
B ．b 棒放上导轨前，物块c 减少的重力势能等于a 、c 增加的动能
C ．b 棒放上导轨后，物块c 减少的重力势能等于回路消耗的电能
D ．b 棒放上导轨后，a 棒中电流大小是mg sin θBL
答案 AD。