高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第五章第四节 数列求和(35张PPT)

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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/7/3 12021/ 7/31Sa turday , July 31, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021 7:53:40 PM
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第四节 数列求和 结束
解
题 思
求导 代值找数列关系 求通项公式
路
[解] (1)由题设可得 f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an
＋2cos x.
对任意 n∈N＋，f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，
即 an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．
2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数， 应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
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第四节 数列求和 结束
[试一试]
数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n
等
于 A．9 C．10
B．99 D．100
()
答案：B
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由 a1＝2，a2＋a4＝8，可得数列{an}的公差 d＝1，
所以 an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
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第四节 数列求和 结束
(2)由 bn＝2an＋21an＝2n＋1＋2n1＋1＝2n＋21n＋2 知，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝2n＋2·nn2＋1＋
1 2
1
-
1-
1 2 1
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第四节 数列求和 结束
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． ∴an＝1·2n－1＝2n－1. 由bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N＋)，得b1n－bn1－1＝1. 又b1＝1， ∴数列b1n是首项为1，公差为1的等差数列． ∴b1n＝1＋(n－1)·1＝n. ∴bn＝n1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/312021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月31日星期六2021/7/312021/7/312021/7/31
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第四节 数列求和 结束
角度一 形如an＝nn1＋k型 1．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N＋，且a3－a2＝8，又a1、a5
的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数
第四节 数列求和 结束
第四节
数列求和
1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d ；
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第四节 数列求和 结束
2．等比数列的前 n 项和公式
Sn＝na1a1－1－，aqnqq＝＝1，a111－－qqn
，q≠1.
3．一些常见数列的前 n 项和公式
nn＋1
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第四节 数列求和 结束
(3)裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和．
(4)分组求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法： 一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形 如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
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第四节 数列求和 结束
裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多
变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通 项公式，达到求解目的．归纳起来常见的命题角度有：
(1)形如 an＝nn1＋k型；
(2)形如 an＝
1 nபைடு நூலகம்k＋
型； n
(3) 形如an＝2n－112n＋1型．
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第四节 数列求和 结束
因此，an＝2n－1. 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 记数列{n·2n－1}的前 n 项和为 Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②，得 －Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n. 从而 Bn＝1＋(n－1)·2n.
n
2
＝n2＋3n＋1－21n.
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第四节 数列求和 结束
[类题通法] 分组转化法求和的常见类型
(1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组求和法求{an}的前 n 项和；
(2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数，， 的数列，其中数列{bn}，
第四节 数列求和 结束
数列求和的常用方法 (1)倒序相加法： 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
(1)求 a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前 n 项和． [解] (1)令 n＝1，得 2a1－a1＝a21，即 a1＝a21. 因为 a1≠0，所以 a1＝1. 令 n＝2，得 2a2－1＝S2＝1＋a2，解得 a2＝2. 当 n≥2 时，由 2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1 两式相减， 得 2an－2an－1＝an，即 an＝2an－1. 于是数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
[针对训练] (2014·武昌联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－ 1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N＋)，b1＝1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列bann的前 n 项和 Tn. 解：(1)由 Sn＝2an－1，得 S1＝2a1－1，∴a1＝1. 又 Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)， 两式相减，得 Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－2an－1. ∴an＝2an－1，n≥2.
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第四节 数列求和 结束
[练一练] 1．若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，则 S50＝________.
答案：－25 2．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n
项和为________． 解析：Sn＝211－－22n＋n1＋22n－1＝2n＋1－2＋n2. 答案：2n＋1＋n2－2
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/312021/7/312021/7/31Jul-2131-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/312021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/312021/7/312021/7/312021/7/31
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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第四节 数列求和 结束
[类题通法] 用错位相减法求和的注意事项
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情 形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错 项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
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第四节 数列求和 结束
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/312021/7/31July 31, 2021
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 ；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ n2 ；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ n2＋n .
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第四节 数列求和 结束
1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了 哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的 项有前后对称的特点．
{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
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第四节 数列求和 结束
[针对训练] 已知数列{an}的首项a1＝3，通项an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为
常数)，且a1，a4，a5成等差数列．求： (1)p，q 的值；
(2)数列{an}前 n 项和 Sn 的公式． 解：(1)由 a1＝3，得 2p＋q＝3，又因为 a4＝24p＋4q， a5＝25p＋5q，且 a1＋a5＝2a4， 得 3＋25p＋5q＝25p＋8q，
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[典例] (2013·安徽高考)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝ 8，且对任意n∈N＋，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x －an＋2sin x满足 f′π2＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 bn＝2an＋21an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解得 p＝1，q＝1.
(2)由(1)，知 an＝2n＋n，所以 Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋… ＋n)＝2n＋1－2＋nn2＋1.
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[典例] (2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N＋.
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第四节 数列求和 结束
(2)∵Tn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1， ∴2Tn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n. 两式相减，得－Tn＝1＋21＋…＋2n－1－n·2n＝11－－22n－n·2n＝ －1＋2n－n·2n. ∴Tn＝(n－1)·2n＋1.
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