苏教版 高中数学必修第二册 向量平行的坐标表示 课件2

【例 3】 已知两点 A(3，－4)，B(－9，2)在直线 AB 上，求一 点 P 使|A→P|＝13|A→B|.
[思路点拨] 分“A→P＝±13A→B”两类分别求点 P 的坐标．
[解] 设点 P 的坐标为(x，y)， ①若点 P 在线段 AB 上，则A→P＝13A→B， ∴(x－3，y＋4)＝13(－9－3，2＋4)， 解得 x＝－1，y＝－2， ∴P(－1，－2)．
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所以
k－3＝10λ， 2k＋2＝－4λ，
解得 k＝λ＝－13.
当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，
这时 ka＋b＝－1a＋b＝－1(a－3b)，
3
3
因为λ＝－1<0，所以 ka＋b 与 a－3b 反向． 3
法二：由题知 ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，＝(1，2)，b＝(－3，2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？ 平行时它们是同向还是反向？ [思路点拨] 充分利用向量共线的条件解题． [解析] 法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)， 当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数λ， 使 ka＋b＝λ(a－3b)． 即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
9.3.3 向量平行的坐标表示
向量平行的坐标表示
1.向量平行的坐标表示 一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 2.若P→1P＝λP→P2，则 P 与 P1，P2 三点共线. (1)当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1，P2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(－∞，－1)时，P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(－1,0)时，P在线段P1P2的反向延长线上.
y＝6＋3y，
y＝－3，
答案：(6，－3)
4.已知 A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).A→B 与C→D 是否共线？如果共线，它
们的方向相同还是相反？ 【解析】A→B ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， C→D ＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)， 因为(－2)×(－6)－3×4＝0， 所以A→B ，C→D 共线． 又C→D ＝－2A→B ，所以A→B ，C→D 方向相反． 综上，A→B 与C→D 共线且方向相反．
因为 ka＋b 与 a－3b 平行，
所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得 k＝－13.
这时
ka＋b＝
－1－3，－2＋2
3
3
＝－13(a－3b)．
所以当 k＝－1时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且反向． 3
1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共 线向量定理 a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式 x1y2 －x2y1＝0 直接求解． 2．利用 x1y2－x2y1＝0 求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从 而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．
2．本例也可以直接套用定比分点公式求解． 提醒：注意方程思想的应用．
同步练习
1．已知向量 a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且 a∥b，则 m 等于( )
A．－1
B．－2
C．－1 或 3
D．0 或－2
【解析】选 C.由已知得－(2m＋3)＋m2＝0，所以 m＝－1 或 m＝3.
2．已知 A，B，C 三点共线，且 A(1，2)，B(2，4)，若 C 点的横坐标为 6，则 C 点 的纵坐标为______． 【解析】设 C(6，y)，因为 A，B，C 三点共线，所以A→B ∥A→C ， 又A→B ＝(1，2)，A→C ＝(5，y－2)， 所以 1×(y－2)－2×5＝0.所以 y＝12. 答案：12
【变式2】
已知向量 a＝(1，1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平行，求实数 x 的值．
[解析] 因为 a＝(1，1)，b＝(2，x)， 所以 a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)， 由 a＋b 与 4b－2a 平行，得 6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得 x＝2.
②若点 P 在线段 BA 的延长线上，则A→P＝－13A→B， ∴(x－3，y＋4)＝－13(－9－3，2＋4)， 解得 x＝7，y＝－6， ∴P(7，－6)． 综上可得点 P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
1．向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可 以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．
3．在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A(4，－2)，点 P 满足O→P ＝－3P→A ，则点 P
的坐标为________． 【解析】设 P(x，y)，因为O→P ＝－3P→A ，
所以(x，y)＝－3(4－x，－2－y)，
(x，y)＝(－12＋3x，6＋3y)，
x＝－12＋3x， x＝6，
解得
所以 P(6，－3).