统计学第九章双因素和多因素方差分析

a
2
A因素误差平方和 SSA bn yi y
i1
B因素误差平方和
b
SSB an
2
y j y
j1
AB交互作用误差平方和
a b
SSAB n
yij yi y j y 2
i1 j1
随机误差项平方和
┆
…
┆
Aa 和
ya11 ya12 ┆ ya1n
y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n
y.2.
… …
yab1 yab2 ┆ yabn
y.b.
和 y1..
y2.. ┆ ya.. y…
（二）观测值的描述
对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
yijk i j ij ijk

a i 1
bn
y2 ij k j1 k 1

1 n
a i 1
b
y2 ij j 1
SST
SSA
SSB
SSAB
（五）各项均方的计算
MS T
SST dfT
SST abn 1
MS A

SS A df A

SS A a -1
MS B

SSB d在F检验时，A因素、B因素的检验统计量均以MSe做分母
FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
（三）交互作用的判断
Tukey提供的方法进行因素间是否存在交互作用的 判断
P 171
用不同原料与不同温度发酵的酒精产量
原
料
种
类
30℃
F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,
∴FA,FB均达极显著，标上“* *”，FAB只达显著，标上 “*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它 们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵 温度。
发酵实验方差分析表
变差来源 平方和
原料A 温度B
AB 误差
总和
1554.18 3150.50 808.82 1656.50
7170.00
自由度
2 2 4 27
35
均方
777.09 1575.25 202.21 61.35
F
12.67** 25.68** 3.30*
F测验
查 F 分 布 表 ， 得 ： F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,
（四）平方和的简便计算方式
abn
SST
y2 ij k

C
i1 j1 k 1
a
SS A

1 bn
y2 i

C
i1
b
SSB

1 an
yj 2 C
j1
a b
SSAB n
yij yi y j y 2
i1 j1
SSe
27.75
19
11.5
8.5
0.75
29.75
27.25
27
18.25 10.75 7.75
22
19.5
19.25
10.5
3
19
16.5
16.25
7.5
11.5
9
8.75
x6
2.75
0.25
x7
2.5
x8
Duncan检验的r值
求得： Sy MSe / n 61.35/ 4 3.9163 ，df=27
第一节 双因素方差分析概述
一、双因素试验汇中的几个基本概念
1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的 效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变， 如包装方式对果汁销售量的影响。
2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的 相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方 差分析(Two-factor without replication)：两个因素 对试验结果的影响是相互独立的，分别判断两个 因素对试验数据的影响。
用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα
4、均方期望
E(MSe ) 2
E(MS
B
)


2＋
an b 1
a i1

2 j
E(MS
A
)


2＋ bn a 1
a i 1

2 i
E(MS AB )


2＋ （a
n 1)(b
1)
a i 1

2 ij
（二）无重复无交互作用实验的双因素方 差分析
4、有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方 差分析 (Two-factor with replication)：如果两个因 素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还 会对结果产生一种新的影响。
二、双因素交叉分组试验设计的描述
（一）双因素试验的数据描述 （二）观测值的描述 （三）平方和与自由度的分解 （四）平方和的简便计算公式 （五）各项均方的计算
a b

SS 随机误差项平方和
AB
n
i1
j 1
yij
yi
y j
y
2
a bn
SSe
（y ijk

y
）2
ij
i1 j 1 k 1
在F检验时，A因素、B因素和互作效应的检验统计
量 均 以 MSe 做 分 母 ： FA=MSA/MSe
FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
第九章 双因素和多因素方差分析
学习目标
掌握：两因素交叉分组（有重复观察值、 无重复观察值）资料的方差分析方法。
熟悉：多因素试验线性模型和不同变异来 源期望均方构成。
了解：缺失数据的估计原理及方差分析方 法。
讲授内容
第一节 双因素方差分析概述 第二节 不同实验类型的双因素方差分析 第三节 多因素试验的方差分析 第四节 缺失数据的估计 第五节 数据变换
a bn
SSe
（y ij k

y
）2
ij
i1 j 1 k 1
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=abn-1 A因素处理间自由度：dfA=a-1 B因素处理间自由度：dfB=b-1 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) 处理内自由度：dfe=ab(n-1) dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
(A)
温 度（B） 35℃
40℃
1
41 49 23 25 11
13
25 24
6
22 26 18
2
47 59 50 40 43
38
33 36
8
22 14 18
3
35 53 50 43 38 47 44 55 33
26 29 30
题解
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个 因素。这两个因素各有三个水平。由于它们的影响都 是可控制、可重复的，因此都是固定因素。在同样温 度、原料下所做的几次实验应视为重复，它们之间的 差异是由随机误差所造成的
（一）试验数据的描述
A1
因素A
A2
i=1.，
2,3…，a
┆
B1 y111 y112 ┆ y11n
因素B j=1.，2,3…，b
B2
…
y121
…
y122
┆
y12n
Bb y1b1 y1b2 ┆ y1bn
y211 y212 ┆ y21n
y221 y222 ┆ y22n
…
y2b1 y2b2 ┆ y2bn
┆
yijk i j i j i jk，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;k 1,2，...n;
2、提出假设
H01： 2 0, H A1： 2 0 H02： 2 0, H A2： 2 0 H03： 2 0，H A3： 2 0，其中i 1,2，...,a; j 1,2，...,b
查Duncan检验的r值表， df=27, k=2~9,
K
r0.05
R0.05
r0.01
R0.01
2
2.91
11.40
3.92
15.35
3
3.05
11.94
4.10
16.06
4
3.14
12.30
4.20
16.45
5
3.21
12.57
4.29
16.80
6
3.27
12.81
4.35
17.04
7
3.30
12.92
4.40
17.23
8
3.34
13.08
4.45
17.43
9
3.36
13.16
4.49
17.58
x9
x8
x7
x6
x5
x4
x3
x2
x1
33.5**
31**
30.75**
22**
14.5*
11.5
3.75
3
x2
30.5**
28**
27.75**
19**
11.5
8.5
0.75
x3
29.75** 27.25**
多重比较
把各处理平均数从大到小排列(记为x1～x9)： 49, 46, 45.25, 37.5, 34.5, 27, 18.25, 18, 15.5，求出各对差值， 列成下表：
x9
x8
x7
x6
x5
x4
x3
x2
x1
33.5
31
30.75
22
14.5
11.5
3.75
3
x2 x3 x4 x5
30.5
28
其中表示所有观测值的总平均数
i 表示因素A第i水平的处理效应

表示
j
因素B第j水平的处理效应
ij 表示因素A的第i水平和因素B第i水平的交互效应
ijk表示随机误差
（三）平方和与自由度的分解
1、平方和的分解
总平方和SST被分解为A因素所引起的平方和SSA、 B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起 的平方和SSAB、误差平方和SSe
MS AB

SS AB df A

SS AB
a -1b -1
MSe

SSe dfe

SSe ab（n -1）
第二节 不同实验类型的双因素方差分析
一、固定模型
（一）重复试验时的双因素方差分析 1、观察值的线性统计模型 yijk i j i j i jk，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;k 1,2，...n;
2、提出假设
H01：i 0, H A1：i 0 H02：i 0, H A2：i 0 H03：（ ）ij 0，HA3：（ ）ij 0，其中i 1,2，...,a; j 1,2，...,b
3、检验统计量的计算
计算平方和(SS)
AB交互作用误差平方和
1、观测值的描述
yijk i j i j，其中i 1,2，...a; j 1,2，...b;
a
b
i 0； j 0； i j为相互独立且服从正态分布N 0， 2 的随机变量
i1
j1
2、提出假设
H01：i 0, HA1：i 0 H02：i 0, HA2：i 0
27**
18.25** 10.75
7.75
x4
22**
19.5** 19.25**
10.5
3
x5
19**
16.5** 16.25**
7.5
x6
11.5
9
8.75
x7
2.75
0.25
x8
2.5
x1，x2，x3视为无差异
分析：从这一差值表中可见，x1至x5，除x1至x5外相互间都 没有显著差异。但x4，x5与其他3个值差异相对大一些。x6 至x9差异均不显著。而x1，x2，x3与x6 ~ x9差异均达极显著。 另外，x1，x2，x3以及x7，x8，x9之间的差异都很小。由于 现在的数据是发酵产量，显然是越高越好，因此我们主要 关心x1，x2，x3。从以上分析中可知，基本上可把x1，x2， x3视为无差异
3、检验统计量的计算
在F检验时，A因素、B因素主效应的检验统计量 是以MSAB做分母；互作效应的检验统计量以MSe 做分母
FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾检验，拒绝域为F>Fα 注意：检验统计量的分母与统计量的第二自由度 与固定效应不同
各处理间进行多重比较
在固定效应模型中，若各F统计量有达到显著或极显著 水平时，常常还需要在各处理间进行多重比较，以选出所需 要的条件组合。例如在上例中，我们已经发现原料，温度以 及它们的交互作用都对酒精的产量有影响，显然我们应进一 步找出最优的条件组合以用于生产。这就需要进行多重比较 了。
如果有交互作用存在，则一般需要把所有ab个水平组 合放在一起比。比较的方法仍与单因素方差分析相同，最 常用Duncan法。
几点注意事项：
当交互作用存在时，对固定模型若不设置重 复，则无法把SSAB与SSe分开，这样将无法进行任 何统计检验。因此在固定模型中有交互作用时， 不设置重复的试验是无意义的。
对固定模型来说，结论只能适用于参加实 验的几个水平，不能任意推广到其他水平上去。
二、随机模型
1、观察值的线性统计模型