甘肃省张掖市高三数学4月诊断考试试题 文

张掖市高三年级2015年4月诊断考试
数学（文科）试卷
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集是实数集R，，，则（）
A. B. C. D.
2.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知命题，命题，则( )
A.命题是假命题
B.命题是真命题
C.命题是真命题
D.命题是假命题
4.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是
（）
A．
B．
C．D．
5.设变量,满足约束条件
则的最大值为（）
A.21
B.15
C.-3
D.-15
6.已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）
A．B． C.或D．或3
7.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积是（）
A. B.
C. D.
8.设的内角所对边的长分别为,若,则角
=（）
A．B．C．D．
9.直线被圆所截得的最短弦长等于( )
A. B. C. D.
10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
11.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为( )
A．B．C．D．
12.已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（）
A. B. C. D.
第II卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每
小题5分，共20分，把答案填在答
题卡的相应位置.
13.已知为第二象限角，
，则
=______ _____.
14.在中，，，,则.
15.已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为_________.
16.已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不
等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
已知等差数列中，其前n项和。

（I）求p的值及；
（Ⅱ）在等比数列中，，若等比数列的前n项和为.
求证：数列为等比数列.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中中，底面为菱形，，为的中点.
（I）若，求证：平面平面；
（II）若平面平面，，点在线段上，且
,求四棱锥与三棱锥的体积之比.
19.（本小题满分12分）
为了了解某学段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如右图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，
且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该学段学生中百米成绩在[16，17）内的人数以及所有抽取学生的百米成绩的中位数（精确到0.01秒）；
（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C: 的离心率为，且过点（1，）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆相切的直线交椭圆于A,B两点，M为圆上的动点，求面积的最大值，及取得最大值时的直线L 的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中是自然对数的底数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为,求切线方程；
（Ⅱ）试求的单调区间并求出当时的极小值.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图：是⊙的直径，是弧的中点，
，垂足为，交于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，⊙的半径为6，求的长.
23.（本小题满分10分）《选修4—4：参数方程选讲》
在平面直角坐标系中,以为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点的极坐标为, 曲线的极坐标方程为.
(1)写出点的直角坐标及曲线的普通方程；
(2)若为上的动点,求中点到直线(为参数)距离的最大值. 24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
已知函数
若恒成立，求的取值范围；
（2）若，求证:.
张掖市高三年级2015年4月诊断考试
文科数学参考答案
二、填空题：13. 14. 15. 16.
三、解答题
17．解析：（I）由题意可得:
---------------------- 3分
，公差---------------------- 5分
由此可得：
----------------------6分
（Ⅱ）由题意可得:
联立方程组解得：，
--------------------8分
数列是以为首项，3为公比的等比数列。

------------------10分
又因为，
是以为首项，3为公比的等比数列。

----------------12分
18．解析：（Ⅰ），为的中点，
，-----------------------1分
又底面为菱形，，
设则，从而
----------------4分
----------------------------5分
又平面，又平面, 平面平面; ----------------------------6分
（Ⅱ）过点作交PB于点H. --------------------------7分平面平面,平面平面,
平面，平面,
--------8分
,又
,又,
平面,又,，
--------------------------10分
,
---------------------------12分
19．解析：（1）设前3组的频率依次为，则由题意可得:
,由此得：…………………1分第二组的频率为0.16 …………………2分
第二组的频数为8，抽取的学生总人数为人…………………3分
由此可估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数人。

……………4分
设所求中位数为
由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为0.06、016、0.38
则0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得m=15.74
答: 估计学生中百米成绩在[16，17）内的人数为16人；所有抽取学生的百米成绩的中位数
为15.74
秒。

…………………6分
（2）记“两个成绩的差的绝对值大于1秒”为事件A.
由(1)可知从第一组抽取的人数人，不妨记为a,b.c
从第五组抽取的人数人，不妨记为1,2,3,4，……………9分
则从第一、五组中随机取出两个成绩有:ab,ac.a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b3,c1,c2,c3,
c4,12,13,14,23,24,34这21种可能；
其中两个成绩的差的绝对值大于1秒的来自不同的组，共有12种。

两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为. ……………12分
20．解析：（1）由题意可得：——————————————2分————————————4分
（2）①当k不存在时，——————5分
②当k存在时，设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)
——————————7分
—————————8分
———————10分
，
,————————————12分
21．解析：（Ⅰ），………1分
解得:…………………2分
切点坐标为
切线方程为：
即所求切线方程为: …………………4分
（Ⅱ）(1)当时，，
当时，；当时，
的递减区间为，递增区间为.…………………6分
(2) 当时，
令解得：
当或时，
当时，
的单调递减区间为，
单调递增区间为，…………………8分
的极小值…………………9分
（3）当时，令解得：
①若，当或时，；
当时，.
的单调递减区间为，；
单调递增区间为. …………………10分
②若，，
的单调递减区间为. …………………11分
③若，当或时，；
当时，.
的单调递减区间为，；
单调递增区间为. …………………12分
22. 解析：（Ⅰ）证法一:连结CO交BD于点M，如图…………1分
∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO …………………………2分∴∠OCE=∠OBM ……………………………3分又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC …………………………4分
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF …………5分
证法二：延长CE 交圆O于点N，连结BN，如图………1分
∵AB是直径且CN⊥AB于点E.
∴∠NCB=∠CNB……………………………………2分
又∵C为弧BD的中点∴∠CBD=∠CNB……3分
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF…………………………………4分
∴CF=BF…………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵O,M分别为AB,BD的中点
∴……………………7分
在Rt△COE中，…………………………………9分
∴在Rt△CEB中，………………………………10分
23. 解析：(1) ，
点的直角坐标为………………………………………2分
由得：即
曲线的普通方程为:……………………………………5分
(2)由可得直线的普通方程为………………6分
由曲线的普通方程:可设点
则点坐标为………………………………………7分点到直线的距离………8分
当=-1时，取得最大值
点到直线距离的最大值为。

………………………………………10分24. 解析：(1)……………………3分
……………………5分
(2) 证明：
…………9分
……………………10分。