人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数与一次函数的综合应用训练(含解析)

人教版九年级下册数学26章反比例函数与一次函数的应用
训练
一、单选题
1．如图，反比例函数m
y x
=
的图象与一次函数y kx b =+的图象交于M 、N 两点，已知点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为-1．根据图象信息可得关于x 的方程m
kx b x
=+的解为（
）
A ．3x =-或1
B ．3x =-或3
C ．1x =-或1
D ．3x =或1
2．如图，一次函数y 1＝k 1+b （k 1≠0）的图象分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，与反比例函数2
22(0)k y k x
=
≠的图象交于C （﹣4，-2），D （2，4）．当x 为（ ）时，12y y <．
A ．x ＞﹣2
B ．x ＜﹣4
C ．x ＜﹣4 或0＜x ＜2
D ．﹣2＜x ＜2
3．在直角坐标系中，设一次函数y 1＝﹣kx +b （k ≠0），反比例函数y 2＝
k
x
（k ≠0）．若函数y 1和y 2的图象仅有一个交点，则称函数y 1和y 2具有性质P ．以下k ，b 的取值，使函数y 1和y 2具有性质P 的是（ ）A ．k ＝2，b ＝4
B ．k ＝3，b ＝4
C ．k ＝4，b ＝4
D ．k ＝5，b ＝4
4．在同一坐标系中，一次函数y kx k =--与反比例函数k
y x
=
的图象大致是（ ）A ．B ．
C ．
D ．
5．如图，反比例函数y 1＝
4
x
和一次函数y 2＝x 的图像交于点A 、B ，则当y 1≥y 2时，自变量x 的取值范围为（ ）
A ．x ≤﹣2或0＜x ≤2
B ．﹣2≤x ≤0或0≤x ≤2
C ．x ≤﹣2或0＜x ＜2
D ．﹣2≤x ＜0或0＜x ≤2
6．如图，一次函数5y kx =+（k 为常数，且0k ≠）的图像与反比例函数8
y x
=-
的图像交于(2,)A b -，B 两点．若将直线AB 向下平移(0)m m >个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则m 的值为（
）
A ．1
B ．1或8
C ．2或8
D ．1或9
7．如图，若一次函数1y k x b =+与反比例函数2
k y x
=
的图象交(,3),(,2)A m B n -两点，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ，且5ABC S = ，则不等式2
10k k x b x
-
+<的解集为（ ）
A ．2x <-或01x <<
B ．1x >或20x -<<
C ．2x >或30
x -<<D ．3x <-或02
x <<8．如图所示的是反比例函数()10k
y x x
=>和一次函数2y mx n =+的图象，则下列结论正确的是（
）
A ．反比例函数的解析式是16y x
=
B ．当6x =时，1y =
C ．一次函数的解析式为26
y x =-+D ．若12y y <，则16
x <<二、填空题
9．当1≤x ≤5时，一次函数y =-x +b 与反比例函数y =2
x
只有一个公共点，则b 的取值范围为_________．
10．如图，一次函数 1y ax = 与反比例函数 2k
y x
=
的图象交于 ()1,1A ，()1,1B -- 两点．（1）若 12y y =，则 x = ____________；（2）若 12y y >，则 x 的取值范围是____________；（3）若 k
ax x
<
，则 x 的取值范围是______________．
11．如图，一次函数6y kx =+的图象与函数()0,0m
y x m x
=
<<的图象交于A 、B 两点，
与x 轴，y 轴分别交于C 、D 两点，若COD △的面积是AOB mk 的值为__．
12．若反比例函数k
y x
=
与一次函数3y x b =+都经过点(1,4)，则kb =_______．13．如图，反比例函数的图象与一次函数y ＝﹣2x +3的图象相交于点P ，点P 到y 轴的距离是1，则这个反比例函数的解析式是__________________．
14．如图，一次函数，()0y x k k =+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，与反比例函数，k
y x
=
的图象在第一象限内交于点C ，连接OC ，当OAC 的面积为k 时，则k 的值为_________．
15．若反比例函数k
y x
=
与一次函数2y x =+的图象只有一个交点，则 k =____．16．已知点P 为反比例函数6
y x
=
图象上的一点，点P 到y 轴的距离为3，则经过点P 和点A (6，0)的一次函数解析式为_____．
三、解答题
17．如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k
y x
=
的图象交于第一象限C ，D 两点，坐标轴交于A 、B 两点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）．（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；（2）求△DOC 的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 全等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
18．如图所示，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象交A 、B 两点．（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出满足m
kx b x
+>
的x 取值范围．
19．如图，一次函数y =-x +b 与反比例函数y =k
x
（x > 0）的图象交于点A （m ，4）和B （4，1）
（1）求b 、k 、m 的值；
（2）根据图象直接写出-x +b <
k
x
（x > 0）的解集；（3）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的最大值和最小值．
20．如图，一次函数y mx n =+与反比例函数k
y x
=的图像相交于()1,2A -，()2,B b 两点，与x 轴交于点E ，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求ABD △的面积；
参考答案
1．A
解：∵点M 的坐标为（1，3），∴代入m
y x
=
得：m =3，即3
y x
= ，当y =-1时，x =-3，即N （-3，-1），
∵由图象可知：反比例函数m
y x
=
的图象与一次函数y =kx -b 的图象交点M ，N ，且M 的坐标为（1，3），N 的坐标是（-3，-1），∴关于x 的方程
m
kx b x
=+的解为x =1和-3，故该方程的解为：1，-3．故选A ．2．C
解：如图由题意可知，反比例函数2
22(0)k y k x
=≠和一次函数y 1＝k 1+b （k 1≠0）的图象相交于C （﹣4，-2），D （2，4）．
所以，不等式12y y <的解集是x ＜﹣4 或0＜x ＜2故选C ．3．A
解：联立一次函数与反比例函数，得：k kx b x
-+=化简得20kx bx k --=+，∵函数图象只有一个交点，
∴所以方程20kx bx k --=+有一个解，∴2240
b k -=A 、k ＝2，b ＝4时，2240b k -=，符合题意，B 、k ＝3，b ＝4时，224200b k -=-≠，不符合题意，C 、k ＝4，b ＝4时，224480b k -=-≠，不符合题意；D 、k ＝5，b ＝4时，224840b k -=-≠，不符合题意，故选：A ．
4．A
解：当k＞0时，一次函数y=-kx-k经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，当k＜0时，一次函数y=-kx-k经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限．
令-kx-k=k
x
，整理得x2+x+1=0，
∵Δ=1-4×1＜0，
∴两函数图象没有交点，故选：A．
5．A
解：由
4
y
x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
解得：
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴A（2，2），B（-2，-2），
从函数图象看，x≤-2或0＜x≤2时，y1≥y2，故选：A．
6．D
解：把A（﹣2，b）代入
8
y
x
=-得
8
2
b=-
-
＝4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y＝kx+5得﹣2k+5＝4，解得k＝1
2
，
所以一次函数解析式为y＝1
2
x+5；
将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝1
2
x+5﹣m，
根据题意方程组
8
1
5
2
y
x
y x m
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+-
⎪⎩
只有一组解，
消去y得﹣8
x
＝1
2
x+5﹣m，
整理得1
2
x2﹣（m﹣5）x+8＝0，
△＝（m﹣5）2﹣4×1
2
×8＝0，解得m1＝9或m2＝1，故选：D．
7．D
解：由题知，2
10k k x b x -
+<，即为21k k x b x
+<，由图象可知，不等式的解集为x n <或0x m <<，∵(,3),(,2)A m B n -，
∴CB 长为2，ABC 底边CB 上的高为m n -，
∴三角形的面积为1
2()52m n ⨯⨯-=，
∴5m n -=，
∵点(,3),(,2)A m B n -的图象在反比例函数2
k y y
=的图象上，∴32m n =-，即2
3
m n =-，∵5m n -=，∴2,3m n ==-，
∴不等式的解集为3x <-或02x <<．故选：D ．8．D
∵点(1，5)在反比例函数()10k
y x x
=>图象上∴51
k =即k =5
∴反比例函数的解析式是15y x
=故A 错误；在15y x
=
中，当x =6时，56y =
故选B 错误；
∵直线2y mx n =+过点(1，5)和56,6⎛⎫
⎪⎝⎭
∴5566m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得：56
356m n ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴一次函数的解析式为2535
66
y x =-+
故选项C 错误；
观察图象知，当1<x <6时，反比例函数()10k
y x x
=>的图象位于一次函数2y mx n =+的图象的下方，即12y y <故选项D 正确；故选：D ．9．27
35
b <≤
或b =±【详解】
分两种情况，当直线与反比例函数图像相交时，当x =1时，反比例函数y =2
x
过（1,2），当x =5时，反比例函数y =
2
x
过（5，25），
1≤x ≤5时，一次函数y =-x +b 与反比例函数y =
2
x
只有一个公共点， 一次函数与1≤x ≤5时这一段的反比例函数图像有一个交点，∴一次函数y =-x +b 过（1,2）时，b =3，此时恰好有两个交点，
一次函数y =-x +b 过（5，
25
）时，b =275，此时恰好有一个交点，
27
35
b ∴<≤
；当直线与反比例函数图像相切时，-x +b =
2
x
，整理得：22220,
480,x bx b ac b b -+=∆=-=-=∴=± 故答案为：27
35
b <≤
或b =±．10．1 或 1-
10x -<< 或 1x >
1x <- 或 01x <<
由反比例函数过A 点得出k =1，所以1y x
=
一次函数过A 、B 点，所以有a =1，所以y =x
（1）两函数值相等时由方程1x x
=，解得x =±1（2）A （1,1）B （-1，-1）当12y y >时，取A 点右边或0到B 点，所以取−1< x <0 或 x >1（3）当k ax x
<时，取B 点左边或O 到A 点，所以取x <−1 或 0<x <1故答案为：①1 或 −1②−1<x <0 或 x>1③x <−1 或 0<x <1
11．9
2
-把y ＝kx +6代入y ＝m x ，得kx +6＝m x
，整理，得kx 2+6x ﹣m ＝0，
解得x
所以B ，，A ，．∵一次函数y ＝kx +6的图象与x 轴，y 轴分别交于C 、D 两点，
∴C （﹣6k
，0），D （0，6）．∵S △COD =12×6×
6k =18k ，
S △AOB =18k －12×6×（）－12×6k ×（，
∴18k 18k +12－12×6k ×（]，
即：18k ×[18k 3k （]，
18
k （18k ，
×（，
=3，
18+2km =9，
km =－92
，故答案为：-
92．12．4
解：将点（1，4）代入反比例函数k y x
=
中，得41k =，解得k ＝4，将点（1，4）代入一次函数y ＝3x +b 中，得4＝3+b ，
解得b ＝1，
所以kb ＝4×1＝4，
故答案为4．
13．5
y x
=-解：∵点P 到y 轴的距离是1，且由图可知，点P 在第二象限，
∴点P 的横坐标为x=-1，代入一次函数y ＝﹣2x +3中得到：
y ＝﹣2×（-1）+3=5，
∴点P 的坐标为（-1，5），设反比例函数的解析式为：k y x
=
，点P 在反比例函数图象上，∴51k =-，∴k =-5，
∴反比例函数解析式为：5y x
=-，故答案为：5y x =-
14．4
3
一次函数，()0y x k k =+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，
令0x =，则y k =，(0,)B k ∴，
令0y =，则x k =-，(0)A k ∴-，，12
OAC C S OA y k =⨯= △，即1=2C k y k ⨯，解得2C y =，
将2C y =代入y x k =+，解得2x k =-，
(2,2)C k ∴-， k y x
=的图象在第一象限内交于点C ，(2)2k k ∴-⨯=，
解得43
k =．故答案为
43
．15．－1联立2
k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，消去y ，整理得：220--=x x k 由于两个函数图象只有一个公共点，故2241()0k ∆=-⨯⨯-=
解得：k =−1
故答案为：−1．
16．243
y x =-+，2493y x =-∵点P 到y 轴的距离为3
∴||3,3
x x ==±当x =3时，23
66y x ===，P （3，2）当x =-3时，6632y x -=
==-，P (-3,-2)设AP ：y kx b
=+把P （3，2）和A （6，0）代入y kx b
=+2233064
k b k k b b ⎧=+=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎩∴243
y x =-+把P （-3，-2）和A （6，0）代入y kx b
=+2239064
3k k b k b b ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=-⎪⎩∴2493
y x =--综上所述：一次函数的解析式为：243y x =-+或2493
y x =--故答案为：243y x =-+或2493
y x =--17．1）2y x
=，m =1；（2）DOC S =1.5；（3）P
P （
（1）∵点C （1，2）在反比例函数k y x =
图象上，∴k =2，
∴反比例函数解析式为2y x
=，∵点B （2，m ）在反比例函数2y x =
图象上，∴m =22
=1．（2）如图，过点C 作⊥OA 于E ，过点D 作DF ⊥OA 于F ，
∵C （1，2），D （2，1），
∴CE =2，DF =1，
∵C 、D 在一次函数y ax b =+的图象上，
∴221a b a b +=⎧⎨+=⎩
，解得：13a b =-⎧⎨=⎩
，∴一次函数解析式为y =-x +3，
当y =0时，x =3，
∴A 点坐标为（3，0），
∴OA =3，
∴DOC S =S △AOC -S △AOD =1122OA CE OA DF ⋅-⋅=11323122
⨯⨯-⨯⨯=1.5．
（3）设点P 坐标为（n ，
2n
），∵C （2，1），D （1，2），
∴OC =OD ，
∵△POC 和△POD 全等，
∴PC =PD ，∴222222(1)(2)(2)(1)n n n n
-+-=-+-，
解得：n =，
∴P ）或P （，），
∴双曲线上存在一点P ，使得△POC 和△POD 全等，P P （）．18．（1）y =2x
，y =x -1；（2）x >2或-1＜x ＜0．解：（1）把A （2，1）代入m y x =
，得：m =2，∴反比例函数的解析式为y =
2x ，把B （-1，n ）代入y =2x
，得：n =-2，即B （-1，-2）．将点A （2，1）、B （-1，-2）代入y =kx +b ，
得：212
k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩
，∴一次函数的解析式为y =x -1；
（2）由图象可知，当x >2或-1＜x ＜0时，m kx b x
+>．19．（1）b =5、k =4、m =1；（2）0＜x ＜1或x ＞4；（3）S 最大=
258；S 最小=2（1） 一次函数y =-x +b 与反比例函数y =k x
（x > 0）的图象交于点A （m ，4）和B （4，1）41
b ∴-+=解得5b =，
∴414
k =⨯=4m k
∴=解得1
m =∴5b =，4k =，1
m =（2） 一次函数y =-x +b 与反比例函数y =k x
（x > 0）的图象交于点(1,4),(4,1)A B
∴ -x +b < k x
的解集为01x <<或4x >（3）依题意，设P 的坐标为(,5)n n -+()14n ≤≤，
则S 221151525=(5)()222228n n n n n -+=-+=--+14
n ≤≤ S 21
525()228
n =--+1
2
a =-∴当252
n = 时，S 最大258=，当1n =或n =4时，S 最小=2
20．（1）2y x
=-，1y x =-+；（2）3（1）∵点()1,2A -在双曲线k y x
=
上，∴12k -=，解得，2k =-，∴反比例函数解析式为：2y x
=-，∵()2,B b 在反比例函数2y x
=-的图象上，∴212
b =-=-，则点B 的坐标为()2,1-，
把()1,2A -，()2,1B -代入y mx n
=+得：122m n m n -=+⎧⎨=-+⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩
；∴一次函数解析式为：1
y x =-+（2）对于1y x =-+，当0x =时，1y =，∴点C 的坐标为()0,1，
∵点D 与点C 关于x 轴对称，
∴点D 的坐标为()0,1-，
∵点B 、D 的纵坐标相同
∴BD ⊥y 轴，且BD =2
∵点A 到BD 的距离为2+1=3∴ABD △的面积12332
=⨯⨯=；。