甘肃省武威2020届高三下学期第二次诊断考试数学(理)试卷

理科数学
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答
案的序号填涂在答题卡上）
1．集合}{
220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B = ( ).
A.}{1x x <
B.}{11x x -≤<
C.{}2x x ≤
D.{}21x x -≤< 2．纯虚数满足
()i z
z 421-=⋅+，则的共轭复数为（ ）
A. 2i -
B. 2i
C. 4i -
D. 4i
3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，数列{}n a 的前项和为3,232n S S =+.则7a =（ ）
A ．82
B ．72
C ．8
D ．15214+
4．在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ）
A. 2
1
36MN AB AC =+ B. 2
7
36MN AB AC =+ C. 1263
MN AC AB -=
D. 72
6
3
MN AC AB
-=
5．把不超过实数的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，
在[]1,4 上任取，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）
A ．
1
4
B.
13
C.
12
D.
23
6．函数1
1
lg
-=x y 的大致图象为( )
7．设向量()()1,1,3,3-==b a ，若()()
b a b a
λλ-⊥+，则实数=λ（ ）
A ．3
B ．1
C ．1±
D ．3±
8．已知实数，b 满足11122a b
⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则（ ） A.
11
a b
> B. 22log log a b > C. a b < D. sin sin a b >
9．已知1cos 63πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A. 89-
B.
89
C.
79
D. 79
-
10．已知双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于轴的弦MN ，
交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2
π
，则双曲线的离心率=（ ） A ．2
B ．3
C ．
5 D ．21+
11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，
另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，
51
BC AC -=
.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.
125- B. 358+- C. 514+- D. 45
8
+- 12．⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤-=，，2,21
log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
∞-21, B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
∞-45, C ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-
,45
D ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡--
21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）
13．将函数()()0,0(),2
f x Asin wx A w π
ϕϕ+>><
=的图象向右平移
12
π
个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的倍，得到()2sin g x x =的图象，则
A w ϕ++= ．
14．已知数列{}n a ，若数列{
}
n n a 1
3
-的前项和5
1
651-⨯=
n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13
种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
这三天售出的商品最少有 种．
16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥
A BCD -外接球的体积的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1
1
+=n n n a a b ，数列{}n b 的前
项和为n T ，求n T .
18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均，为棱1
BB （不包括端点）上一动点，是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；
（Ⅱ）当在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．
19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400
人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在
450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金
额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽
取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
20．（本小题满分12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点
连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，，且满足2
OM ON ⋅=（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2
1ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()
1,1P f 处的切线方程；
（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 在区间1
,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上
有两个零点，求实数的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]
22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩（为
参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方
程为2
sin 23202πρθθ⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭
. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为（异于极点），l 与曲线M 的
交点为，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数()()1
20f x x a x a a
=+--
>. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数的取值范围.
理科数学答案
一、选择题（共12小题，每小题5分）
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13、46
π
+ 14、16 15、16，29 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，812
4a a a ⋅=，即
()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 12
1212
1796+=++∴，
0≠d ，d a 91=∴． -------------------------3分
（1）由数列
{}n
a 的前10项和为45，得454510110
=+=d a S
，
即454590=+d d ，故3,3
1
1==a d ，--------------------------------5分 故数列
{}
n
a 的通项公式为3
8
+=n a n ；----------------------------------6分
（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==
+9181
998911n n n n a a b n n n -------------------8分
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101
919n n T n ---------10分 99919191
9+=+-
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1
而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，
所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分
（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴， 过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，
建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（032）， AD =（2，0，t ）
，1AC =（13，2），设平面ADC 1的法向量=（x ，y ，z ）， 则1·
20·
320n AD x tz n AC x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取x=1，得21,33n t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面ABC 的法向量=（0，0，1），--------------------------------9分 设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，
∴cos θ=··m n
m n =2
2
2414133t
t t ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭
23
27t t -+()
2
3
16
t -+
由于t ∈（02）,故cos θ∈（
217，22
]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，2
]．----------12分
19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=， 解得0.0035a =， 样本的平均数为：
5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分 （2）由题意，从[550,650)中抽取人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有，，，3，
()337
3
10
k k
C C P X k C -==（0,1,2,3k =），
所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望
3563211
9()012312012012012010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分 （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：
222
()100(10251550)50
5.556 5.024()()()()406025759
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，
所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分
20.【解析】（1）由题意得：222223
2 b a c a b c ===+⎧⎪
⎨⎪⎩
，···········2分
解得2
3
a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分 （2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -
3OM ON ⋅=-，不符合题意···········5分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y
由22
1 432x y y kx +
==+⎧⎪⎨⎪⎩
消整理得：()22341640k x kx +++=，
()()2
21616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12
k >，···········6分
1221634k x x k +=-+，122
4
34x x k
=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=()
()21212124k x x k x x ++++
(
)222
2
22
413216124343434k k k k k k +-=
-
+=
+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=，∴
2
2
1612234k k -=+，···········10分
解得2
k =±
，满足0∆>，···········11分
分
21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2 【解析】（1）当2a =时，()()2
21ln f x x x =-+2
24ln 2x x x =-++．
当1x =时，()10f =，所以点()()
1,1P f 为()1,0P ，···········1分 ，因此()11k f '==．···········2分 因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()2
2ln g x x x m =-+，
分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分 时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<； 故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分
，()2
e 2e g m =+-，
()g x 上的最小值为()e g ，······10分
故()g x
分 22.【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y +-=， 即22
4x y y +=， 所以2
4sin ρρθ=，
即4sin ρθ=，故曲线C
的极坐标方程为4sin ρθ=.-----------------------------5分
（2）因为曲线M 的极坐标方程为2
sin 2320
2πρθθ⎛
⎫
=<<
⎪⎝
⎭
， 所以ρ=
将θβ=
代入，得
OB =
因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=
所以OA OB ⋅===
则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =--------------------------------10分 23.【详解】（1）()()1
20f x x a x a a
=+--
>
当1a =，()1f x ≤-
可得|2||1|1x x +--≤-
若2x -≤则2(1)1x x ----≤-，
即31-≤-，显然成立
若21x -<<，2(1)1,x x +--≤-
可得22x ≤-，故1x ≤-
若1x ≥，2(1)1,x x +--≤-
可得31≤-，显然不成立.
综上所述，(,1]x ∈-∞-
（2）()3f x ≤
111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a
∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112
a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦。