【精选五套高考模拟卷】2019年浙江省宁波市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2019年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）
A．1 B．0 C．2 D．﹣1
2．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
3．已知向量，为非零向量，则“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”是“⊥”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知函数f（x）=，并给出以下命题，其中正确的是（）
A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数
B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数
C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数
D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数
5．下列命题中，正确的是（）
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
6．已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，设A，B到二面角的棱l的距离分别为x，y，当θ变化时点（x，y）的轨迹为（）
A．圆弧 B．双曲线的一段 C．线段 D．椭圆的一段
7．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+tanA•tanB，则△ABC的面积为（）
A．B．C．D．
8．已知数列{a n}的首项a1=a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N*，a n ＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（﹣∞，）
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b= ，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r= ．
（k∈R），其中x，y满足，若z的最大值为3，则实数k的值为，10．记z=x+ky+1，
z的最小值为．
11．下面几个数中：①30.4；②；③log23•log98；④50.2；⑤3，最大的是，最小的是（请填写对应数的序号）
12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为．（单位：cm2）
13．已知正数x，y满足xy≤1，则M=+的最小值为．
14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f （x）≤0恒成立，则b的取值范围为．
15．在平面直角坐标系中，定义，（n∈N*）为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一
个变换，我们把它称为点变换，已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…是经过点变换得到的一无穷
点列，则P3的坐标为；设a n=，则满足a1+a2+…+a n＞1000的最小正整数n= ．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．已知函数f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）（ω＞0）关于点（，1）对称．
（Ⅰ）若m=4，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又f（x）≤f（）对任意实数x成立，求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间．
17．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，将△ADE沿直线DE折起到△A1DE，使得A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．
（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）求平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．
18．已知f（x）=．
（1）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；
（Ⅱ）对于任意实数x1（x1≤3），存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．
19．已知F1（﹣，0），F2（，0）为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C
上，且△PF1F2面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点．△OAB的面积为1， =s+t（s，t∈R），当点G在椭圆C 上运动时，试问s2+t2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s2+t2的取值范围．
20．已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1=
（Ⅰ）若t=0，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若t=1，求证：．
2019年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，x，x2﹣x}，且B⊆A，则x=（）
A．1 B．0 C．2 D．﹣1
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由A={﹣1，0，1，2}，B⊆A知x=﹣1或x=0或x=2，从而分类讨论求得．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B⊆A，
∴x=﹣1或x=0或x=2，
若x=﹣1，则x2﹣x=2，故成立；
若x=0，则x2﹣x=0，故不成立；
若x=2，则x2﹣x=2，故不成立；
故选：D．
2．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【考点】等差数列；等比数列．
【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．
【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，
∴a32=a1•a4，
即（a1+4）2=a1×（a1+6），
解得a1=﹣8，
∴a2=a1+2=﹣6．
故选B．
3．已知向量，为非零向量，则“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”是“⊥”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”，可得：（x+y）•（2y﹣x）=2xy
﹣xy+=0，
⇔+=0，必然有=0．反之不一定成立．
【解答】解：∵“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”，
∴（x+y）•（2y﹣x）=2xy﹣xy+=0，
⇔+=0，
必然有=0．
反之：可得（x+y）•（2y﹣x）=2xy﹣xy+=2xy（﹣）=0，不一定成立．
因此“（x+y）⊥（2y﹣x）对任意非零实数x，y都成立”是“⊥”的充分不必要条件．
故选：A．
4．已知函数f（x）=，并给出以下命题，其中正确的是（）
A．函数y=f（sinx）是奇函数，也是周期函数
B．函数y=f（sinx）是偶函数，不是周期函数
C．函数y=f（sin）是偶函数，但不是周期函数
D．函数y=f（sin）是偶函数，也是周期函数
【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．
【分析】求出y=f（sinx）的解析式，求出f[sin（﹣x）]，判断f（sinx）与f[sin（﹣x）]的关系，利
用函数周期的定义得出y=f（sinx）的周期．同理判断y=f（sin）的奇偶性和周期性．
【解答】解：∵f（x）=，∴f（sinx）=．
当sinx＞0时，﹣sinx＜0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1+sinx=f（sinx），
当sinx＜0时，﹣sinx＞0，∴f[sin（﹣x）]=f（﹣sinx）=1﹣sinx=f（sinx），
∴f（sinx）是偶函数，
∵f[sin（x+2π）]=f（sinx），∴y=f（sinx）是以2π为周期的函数．
同理可得：y=f（sin）是偶函数，
∵y=sin不是周期函数，∴y=f（sin）不是周期函数．
故选：C．
5．下列命题中，正确的是（）
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据命题条件举出反例判断．
【解答】解：对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．
对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，b⊂α，故B错误．
对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．
对于D，∵直线a∥平面α，∴存在直线b⊂α，使得a∥b，过P作c∥b，则a∥c．故D正确．
故选：D．
6．已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，设A，B到二面角的棱l的距离分别为x，y，当θ变化时点（x，y）的轨迹为（）
A．圆弧 B．双曲线的一段 C．线段 D．椭圆的一段
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】利用直角三角形的勾股定理得到（x，y）满足的方程，x，y的实际意义得到x，y都大于0据双曲线方程得到（x，y）的轨迹．
【解答】解：∵PA⊥α，PB⊥β，
∴PB2+BC2=PA2+AC2
∴PB2+y2=PA2+x2
∵PA=4，PB=2，
∴4+y2=16+x2，
即y2﹣x2=12其中x≥0，y≥0．
故（x，y）轨迹为双曲线的一段，
故选：B．
7．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+tanA•tanB，则△ABC的面积为（）
A．B．C．D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】根据tanC=﹣tan（A+B）利用正切的两角和公式化简整理求得tanC的值，继而求得C，利用余弦定理a=4，b+c=5，C=60°代入求得b，最后利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：∵tanC=﹣tan（A+B）=﹣化简得，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
所以tanC=．所以C=60°．
cosC=（a2+b2﹣c2），把a=4，b+c=5，C=60°代入
解得b=，
所以S=absinC=
故选C
8．已知数列{a n}的首项a1=a，其前n项和为S n，且满足S n+S n﹣1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N*，a n ＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（﹣∞，）
【考点】数列递推式．
【分析】根据条件求出与a n的有关的关系式，利用条件a n＜a n+1恒成立，建立条件，即可得到结论
【解答】解：由S n+S n﹣1=3n2+2n+4（n≥2），可以得到S n+1+S n=3（n+1）2+2（n+1）+4，
两式相减得a n+1+a n=6n+5，
故a n+2+a n+1=6n+11，两式再相减得a n+2﹣a n=6，
由n=2得a1+a2+a1=20，a2=20﹣2a，
故偶数项为以20﹣2a为首项，以6为公差的等差数列，
从而a2n=6n+14﹣2a；
n=3得a1+a2+a3+a1+a2=37，a3=2a﹣3，
从而a2n+1=6n﹣9+2a，
由条件得，
解得＜a＜，
故选：C．
二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）
9．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为．则b= 2 ，若以（2，1）为圆心，r为半径的圆与该
双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r= ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的a，c，运用离心率公式计算可得b=2；再由直线和圆相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求半径．
【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的a=1，c=，
由题意可得e===，
解得b=2；
由双曲线x2﹣=1可得渐近线方程为y=±2x，
由以（2，1）为圆心，r为半径的圆与渐近线y=2x相切，
可得d=r，即r==．
故答案为：2，．
10．记z=x+ky+1，（k∈R），其中x，y满足，若z的最大值为3，则实数k的值为0 ，
z的最小值为 1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出可行域，根据z的最大值为3，判断目标函数的斜率得出k的值，根据可行域得出最优解的位置，计算z的最小值．
【解答】解：作出约束条件的可行域，如图所示：
（1）若k=0，则z=x+1，显然当x=2时z取得最大值3，符合题意，此时，当x=0时，z取得最小值1．
（2）若k≠0，由z=x+ky+1得y=﹣．
①若k＞0，则当直线y=﹣经过点B（2，2）时，直线截距最大，即z最大．
∴3=2+2k+1，解得k=0（舍），
②若k＜0，则当﹣≤2即k≤﹣时，直线y=﹣经过点C（1，0）时，直线截距最小，即z
最大．
∴3=1+0×k+1，无解．
当﹣≥2即﹣k＜0时，直线y=﹣经过点B（2，2）时，直线截距最小，即z最大
∴3=2+2k+1，解得k=0（舍）．
综上，k=0，z的最小值为1．
故答案为0，1．
11．下面几个数中：①30.4；②；③log23•log98；④50.2；⑤3，最大的是②，最小的
是④（请填写对应数的序号）
【考点】不等式比较大小；对数的运算性质．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、结合幂的运算法则，即可得出结论．
【解答】解：①30.4=＞，且＜，
②=tan（45°+15°）==，
③log23•log98=•=，
④50.2=
⑤3，
∴最大的是②，最小的是④．
故答案为：②，④．
12．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为64﹣．（单位：cm2）
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求
出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，
所以该几何体的体积为
V=43﹣×π•43=64﹣．
故答案为：64﹣．
13．已知正数x，y满足xy≤1，则M=+的最小值为2﹣2 ．
【考点】基本不等式．
【分析】由条件可得0＜x≤，即有M≥+=1﹣=1﹣，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：由正数x，y满足xy≤1，可得0＜x≤，
则M=+≥+=+
=1﹣+
=1﹣=1﹣≥1﹣
=1﹣=2﹣2．
当且仅当y=，x=时，取得最小值2﹣2．
故答案为：2﹣2．
14．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f
（x）≤0恒成立，则b的取值范围为b≤﹣．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据题意可知函数与x轴有两交点，且两根差的绝对值应不小于1，可得出（m﹣n）2≥1恒成立，转换成最值问题求解即可．
【解答】解：设f（x）=x2+ax+b=0，有两根x1，x2，
∴4b＜a2，x1+x2=﹣a，x1x2=b，
∵对于任意实数a，总存在实数m，当x∈[m，m+1]时，使得f（x）≤0恒成立，
∴（x1﹣x2）2≥1恒成立，
∴a2﹣1≥4b，
∴b≤﹣．
15．在平面直角坐标系中，定义，（n∈N*）为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换，已知P1（1，0），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…是经过点变换得到的一无穷
点列，则P3的坐标为（0，2）；设a n=，则满足a1+a2+…+a n＞1000的最小正整数
n= 10 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件即可求得点P1，P2到P7的坐标，从而可以求出向量的坐标，
进行向量数量积的坐标运算便可求出a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，a5=16，从而便可看出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求出前n项和为2n﹣1，从而可以得到2n＞1001，这样便可判断出最小正整数n的值．
【解答】解：由条件得，P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2），P4（﹣2，2），P5（﹣4，0），P6（﹣4，﹣4），P7（0，﹣8）…；
∴，，
，，
；
∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列；
∴；
∴由a1+a2+…+a n＞1000得，2n﹣1＞1000；
∴2n＞1001；
∵29=512，210=1024；
∴满足a1+a2+…+a n＞1000的最小正整数n=10．
故答案为：（0，2），10．
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．已知函数f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）（ω＞0）关于点（，1）对称．
（Ⅰ）若m=4，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小正周期是一个三角形的最大内角的值，又f（x）≤f（）对任意实数x成
立，求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，结合f（x）关于点（，1）对称，得，即n=2，且，从而求得函数的最小值；
（Ⅱ）由f（x）≤f（）对任意实数x成立，得，k∈Z，k≥0，再由t的范围可得
T的值，由，得m=2．
求得函数解析式，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=msin（ωx）cos（ωx）+nsin2（ωx）
==
=．
其中cosθ=，
∵f（x）关于点（，1）对称，∴，
即n=2，且，
∵m=4，∴f（x）=，
∴；
（Ⅱ）由f（x）≤f（）对任意实数x成立，
则，k∈Z，k≥0，其中T为函数f（x）的最小正周期，
且，得k=0，T=．
．
f（x）=，
由，得m=2．
f（x）=sin3x﹣cos3x+1=．
由，得．
∴f（x）的单调增区间为[]，k∈Z．
17．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=，AD=1，AB=2CD=4，E为AB中点，将△ADE沿直线DE折起
到△A1DE，使得A1在平面EBCD上的射影H在直线CD上．
（Ⅰ）求证：平面A1EC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）求平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）过A1过A1H⊥CD交CD于H，推导出A1H⊥CE，CD⊥CE，从而CE⊥平面A1CD，由此能证明平面A1EC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）连结AH交DE、BC于M，N，推导出A1A⊥DE，A1H⊥DE，从而DE⊥平面A1AH，设平面DEA1∩平面A1BC=l，则∠MA1N为二面角E﹣l﹣B的平面角，由此能求出平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）过A1过A1H⊥CD交CD于H，
由A1在平面EBCD上的射影在直线CD上，知A1H⊥平面CDE，
∴A1H⊥CE，
又CD⊥CE，CD∩A1H=H，∴CE⊥平面A1CD，
∵CE⊂平面A1EC，
∴平面A1EC⊥平面A1DC．
解：（Ⅱ）连结AH交DE、BC于M，N，
由AD=A1D，AE=A1E，∴A1A⊥DE，
又A1H⊥DE，
∴DE⊥平面A1AH，
∴DE⊥A1M，DE⊥A1N，DE⊥AH，
又DE∥平面A1BC，设平面DEA1∩平面A1BC=l，
∴DE∥l，从而l⊥A1M，l⊥A1N，
∴∠MA1N为二面角E﹣l﹣B的平面角，
DH=，A1H=，MH=，NH=3MH=，
∴tan，
tan，
tan∠MA1N=tan（∠MA1H+∠NA1H）
==，
∴cos，
∴平面DEA1与平面A1BC所成的锐二面角的余弦值为．
18．已知f（x）=．
（1）若a=﹣8，求当﹣6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；
（Ⅱ）对于任意实数x1（x1≤3），存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．
【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．
【分析】（1）化简f（x）=，从而转化为当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，从而求
得；
（Ⅱ）分类讨论，从而确定f（x）的性质，再根据二次函数的性质判断a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣8，f（x）=，
当﹣6≤x＜0时，存在0≤t＜2，使f（x）=f（t），
从而只要求当0≤x≤5时，|f（x）|的最大值，
而f（x）=x2﹣8x+9=（x﹣4）2﹣7，
﹣7≤f（x）≤9；
则|f（x）|≤9；
故f（x）|的最大值为9；
（Ⅱ）若x1＜2时，取x2=x1﹣2，则f（x2）=f（x1﹣2）=f（x1）；
符合题意；
只要考虑2≤x1≤3，存在x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）；
（1）当﹣≤0，即a≥0时，
f（x）=x2+ax+1﹣a在[0，+∞）上单调递增；
故不存在x2（x2≠x1），f（x2）=f（x1）；
（2）当0＜﹣＜2，即﹣4＜a＜0时，
则只要f（3）≤f（0），
即10+2a≤1﹣a，
从而解得，﹣4＜a≤﹣3；
（3）当2≤﹣≤3，即﹣6≤a≤﹣4时，
取x1=﹣时，不存在x2（x2≠x1），使f（x2）=f（x1）；
（4）当﹣＞3，即a＜﹣6时，
取x2=﹣a﹣x1＞3，
必有f（x2）=f（x1），符合题意；
综上所述，a＜﹣6或﹣4＜a≤﹣3．
19．已知F1（﹣，0），F2（，0）为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C
上，且△PF1F2面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点．△OAB的面积为1， =s+t（s，t∈R），当点G在椭圆C 上运动时，试问s2+t2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求出s2+t2的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得c=，当P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值，即可得到b=1，求得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+4y2=4，运用韦达定理，由三角形的面积公式结合向量数量积的定义和坐标表示，可得S△OAB=|x1y2﹣x2y1|=1，化简整理可得1+4k2=2m2，再由向量的坐标表示，计算即可得到x1x2+4y1y2=0，运用点满足椭圆方程，化简整理可得s2+t2=1为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=，
当P为短轴的端点时，△PF1F2面积取得最大值•b•2c=，
解得b=1，a==2，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+4y2=4，
可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=﹣，x1x2=，
S△OAB=|OA|•|OB|sin∠AOB=
==|x1y2﹣x2y1|
=|x1（kx2+m）﹣x2（kx1+m）|=|m（x1﹣x2）|=|m|•=1，
化简可得1+4k2=2m2，
设G（x，y），由=s+t，可得
x=sx1+tx2，y=sy1+ty2．
又因为点G在椭圆C上，所以有（sx1+tx2）2+4（sy1+ty2）2=4，
整理可得：s2（x12+4y12）+t2（x22+4y22）+2st（x1x2+4y1y2）=4．
即为4（s2+t2）+2st（x1x2+4y1y2）=4．
由x1x2=2﹣，x1+x2=﹣，
可得4y1y2=4（kx1+m）（kx2+m）=4[k2x1x2+km（x1+x2）+m2]
=4k2•（2﹣）+4km（﹣）+4m2=﹣2，
可得x1x2+4y1y2=0，即有s2+t2=1为定值．
20．已知在数列{a n}中，a1=1，a n+1=
（Ⅰ）若t=0，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若t=1，求证：．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）通过t=0可知a n+1=，进而取对数、变形可知lna n+1﹣ln2=2（lna n﹣ln2），计算即得结论；
（Ⅱ）通过a1=1可知a n+1=且a n＞0，放缩即得++…+≥，利用a n+1﹣a n=
＜0可知数列{a n}是递减数列，进而可知a n+1≤a n，即a n≤，利用a n+1﹣a n=﹣转化、相加即得结论．
【解答】证明：（Ⅰ）若t=0，则a n+1=，
由a1=1可知a n＞0，
从而lna n+1=2lna n﹣ln2，
从而lna n+1﹣ln2=2（lna n﹣ln2），即ln=2ln，
又∵ln=ln2﹣1，
∴数列{ln}是首项为ln2﹣1、公比为2的等比数列，
∴ln=2n﹣1ln2﹣1=ln，即a n=；
（Ⅱ）首先，由a1=1，a n+1=，可知a n＞0，
则： ++…+≥=，
∵a n+1﹣a n=＜0，
∴数列{a n}是递减数列，
∴==1﹣≤1﹣=，即a n+1≤a n，
∴a n≤a1=，
又∵a n+1﹣a n=﹣a n=﹣，
∴++…+=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+3（a3﹣a4）+…+n（a n﹣a n+1）
=a1+a2+a3+a4+…+a n﹣na n+1
＜1+++…+=＜，
综上所述：．
2019年8月5日
数学高考模拟试卷（理科） 注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}
2|540M x x x =-+≤，
{}
0,1,2,3N =，则集合M N 中元素的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.设i 为虚数单位，复数z 满足21i
i
z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i +
D ．1i -+
3.已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与a b -平行，则实数x 的值是（ ） A ．2- B ．0
C ．1
D ．2
4.已知
1
()()2x
f x =，则“120x x +>”是“12()()1f x f x ⋅<”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．134π+
B ．
14π+
C ．1312π+
D ．112π+
6.若x ，y 满足约束条件10,20,220,
x y x y x y -+≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
2 B ．1
C ．1-
D ．3-
7.甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则他们有多少种不同的坐法？（ ）
A ．10
B ．16
C ．20
D ．24 8.若
[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．10
9.将函数
232sin()
34y x π=+图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，再向右平移8π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 的一条对称轴是
4x π
=
B ．函数()g x 的一个对称中心是(,0)
2π
C ．函数()g x 的一条对称轴是
2x π
=
D ．函数()g x 的一个对称中心是(,0)8π
10.1F ，2F 是双曲线C ：22
221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分
别交于点A ，B ，若
2
ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．4
B
C
．
D
11.已知函数
3log ,03,()|4|,3,
x x f x x x <≤⎧=⎨
->⎩若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值
范围是（ ）
A ．1(,1)2
B ．1
(,)(1,)
2-∞+∞
C ．1
(,)[1,)
2-∞+∞
D ．1(,1]2
12.设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为'()f x ，'()f x 在区间(,)a b 上的导函数为''()f x ，若在区
间(,)a b 上''()0f x <恒成立，则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”．已知
432113()1262f x x mx x =
--，若对任意的实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，
则b a -的最大值为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知随机变量X 服从正态分布
2
(2,)N σ，且(02)0.3P X ≤≤=，则(4)P X >= ． 14.已知等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，P 、A 、B 三点共线，且32016OP a OA a OB =+，则
2018S =
．
15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，1
cos 4C =-
，3sin 2sin A B =，
则c = ．
16.已知三棱锥S ABC -外接球的直径6SC =，且3AB BC CA ===，则三棱锥S ABC -的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数2()3f x x =
，数列{}n a 中0n a >，满足1()n n a f a +=（*n N ∈），且
25827a a ⋅=． （1）求数列{}n a 的通项；
（2）若数列
{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b a n =+，求n S ．
18.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足2cos cos a b B
c
C -=
． （1）求角C 的大小；
（2）设函数
2()2sin cos cos 2sin sin f x x x C x C =+，求函数()f x 在区间[0,]
2π
上的值域．
19.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x 元，
[]
1,5x ∈．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．
（1）求a 的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；
（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1,2)的红包个数为X ，求X 的分布列和期望．
20.如甲图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿DE 折起到1D AE
∆位置，使平面
1D AE ⊥
平面ABCD ，得到乙图所示的四棱锥
1D ABCE
-．
（1）求证：BE ⊥平面1D AE
；
（2）求二面角
1A D E C
--的余弦值．
21.设函数
2
()ln(1)f x x a x =++，a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x
，且12x x <，求证：
22()1)f x x ≥-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点极坐标为
(3,)
4π
，曲线C 的极坐标方程为
2cos()
4πρθ=-（θ为参数）．
（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；
（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l
：2cos 4sin ρθρθ+=的距离的最小值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|||2|f x x a x =++-．
（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含
[]0,2，求a 的取值范围．
试题（理科）答案 一、选择题
1-5:CADCD 6-10:BCCCB 11、12：AC 二、填空题
13.0.2 14.1009 15.4
16.
三、解答题
17.解：（1）由已知
12()3n n n a f a a +==，即123n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3q 2=
的等比数列， 又
25827a a ⋅=
，即411827a q a q ⋅=，即253122()()33a =，的22
13
()2a =， 又
n a >，得
132a =
，故112
1322
()()233n n n n a a q ---==⋅=．
（2）由（1）知，22
()3n n n b a n n
-=+=+，
10212222()1()2()333n n n S b b b n --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦……
102222()()()(12)333n n --⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦……122()1()(1)332213n n n -⎡⎤
-⎢⎥+⎣⎦=+-
21293()32n n n -++=-⋅+．
18.解：（1）∵2cos cos a b B
c
C -=
，∴(2)cos cos a b C c B -=， ∴2sin cos sin cos cos sin A C B C B C =+， ∴2sin cos sin()sin A C B C A =+=．
∵A ∠是ABC ∆的内角，∴sin 0A ≠，∴2cos 1C =，
∴
3C π
∠=
．
（2）由（1）可知
3C π
∠=
，
∴
21()sin 22sin )2f x x x =
-1sin 222x x =sin(2)
3x π
=-． 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22333x πππ-≤-≤
，∴sin(2)13x π≤-≤，
∴函数()f x
的值域为2⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦． 19.解：（1）由题可得(0.180.20.32)11a +++⨯=，∴0.3a =，众数为2.5．
（2）由频率分布直方图可得，红包金额在[1,2)的概率为15，则
1
~(3,)
5X B ， ∴X 的取值为0，1,2,3，
033464(0)()5125P X C ==⋅=，1
234148(1)()55125P X C ==⋅⋅=，21234112(2)()()55125P X C ==⋅⋅=
，3
3311(3)()5125P X C ==⋅=
．
∴X 的分布列为：
∴
64481213()01231251251251255E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=（或13()355E X =⨯=）．
20.（1）证明：如图，取AE 中点F
，连接1D F
，在
1AD E
∆中，
112
D A D
E ==，
∴
1D F AE
⊥，
又∵平面
1D AE ⊥平面ABCE ，∴
1D F ⊥
平面ABCE ，
∵BE ⊂平面ABCE ，∴
1D F BE ⊥，∴
1BE D F
⊥．
在ABE ∆中，易得
AE =BE =4AB =, ∴BE AE ⊥，又∵1D F
AE F
=，
∴BE ⊥平面
1D AE
．
（2）由题意，取
AB 中点G ，以E 为坐标原点，分别以
EG ，EC 为x ，y 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示，则(0,0,0)E ，(0,2,0)C ，1(1,1D -，(2,2,0)B ，由（1）知(2,2,0)
EB =是平面
1AD E
的法向量，设平面
1
CED 的法向量为
(,,)m x y z =
，则
1(,,)(0,2,0)20,
(,,)(1,0,m EC x y z y m ED x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩令1z =，则x =0y =，
∴
(2,0,1)m =-，设二面角1A D E C --的平面角为θ，
则
|cos ||cos ,||
EB m θ=<>===
， 由图可知，二面角
1A D E C
--
的余弦值为
．
21.解：（1）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，
222'()211a x x a f x x x x ++=+=++，令
2
()22g x x x a =++，则48a ∆=-． ①当
1
2a ≥
时，0∆≤，()0g x ≥，从而'()0f x ≥，故函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； ②当
1
2a <
时，0∆>，()0g x =
的两个根为1x =
，2x =
，
当0a ≤时，1
2
1x x ≤-<，此时，
当
(x ∈-函数()f x 单调递减；
当
)
x ∈+∞函数()f x 单调递增．
当
1
02a <<
时，121x x -<<，此时函数()f x
在区间(-
，)
+∞单调递增；
当
11(
22x ---∈函数()f x 单调递减．
综上：当
1
2a ≥
时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；
当
1
02a <<
时，函数()f x 在区
间()-
，)
+∞单调递增；在区
间
函数()f x 单调递减；
当0a ≤
时，
(x ∈-函数()f x
单调递减；当)
x ∈+∞函数()f x 单调递增．
（2）当函数()f x 有两个极值点时，102a <<
，2x =1
(,0)
2∈-，
且
2222()220
g x x x a =++=，即
222
22a x x =--，
2
2
2
2222222()ln(1)(22)ln(1)f x x a x x x x x =++=+--+，21(,0)2x ∈-，
22222()
2(1)ln(1)f x x x x x =-++，21(,0)
2x ∈-，
令()2(1)ln(1)h x x x x =-++，1(,0)
2x ∈-，
'()2ln(1)1h x x =-+-，令'()0h x >
，1(1)
2x ∈--，函数单调递增；
令'()0h x <
，
1,0)x ∈-，函数单调递减；
所以
max ()1)1h x h =-=-，
∴
22()1f x x ≤， ∵21(,0)
2x ∈-，
∴
22()1)f x x ≥-．
22.解：（1）点P
的直角坐标为(
)22．
由
2cos()
4π
ρθ=-
，得2
cos sin ρθθ=+，①
将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①，
可得曲线C
的直角坐标方程为
22
((1x y +=．
（2）直线l
：
2cos4sin
ρθρθ
+=
的直角坐标方程为
240
x y
+=，
设点Q
的直角坐标为
cos,sin)
22
θθ
++
，则
cos sin
)
22
M
θθ
，
那么M到直线l的距离
cos sin
|))
d
θθ
+
===
，
∴
d≥=
（当且仅当
sin()1
θϕ
+=-时取等号），
所以M到直线l
：
2cos4sin
ρθρθ
+=
的距离的最小值为
1
2．
23.解：（1）当3
a=时，
21,3,
()5,32,
21,2,
x x
f x x
x x
--≤-
⎧
⎪
=-<<
⎨
⎪+≥
⎩
当3
x≤-时，由()7
f x≥，得217
x
--≥，解得4
x≤-；
当32
x
-<<时，()7
f x≥无解；
当2
x≥时，由()7
f x≥，得217
x+≥，解得3
x≥
所以
()7
f x≥的解集为(,4][3,)
-∞-+∞．
（2）
()|4|
f x x
≤-等价于|||4||2|
x a x x
+≤---，
当
[]
0,2
x∈
时，
|||4||2|
x a x x
+≤---等价于22
a x a
--≤≤-，
由条件得20
a
--≤且22
a
-≥，即20
a
-≤≤，
故满足条件的a的取值范围为
[]
2,0
-
．
数学高考模拟试卷（理科）
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U R =，集合{}
223,A y y x x x R ==++∈，集合1,(1,3)B y y x x x ⎧⎫
==-
∈⎨⎬⎩⎭
，则()
U C A B =（ ）
A ．(0,2)
B ．80,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭ C ．82,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(,2)-∞
2. 已知3sin(3)2sin 2a a ππ⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
，则sin()4sin 25sin(2)2cos(2)a a a a ππππ⎛⎫
--+ ⎪
⎝⎭=++-（ ）
A ．
12 B ．13 C ．16 D ．1
6
- 3. 设i 为虚数单位，现有下列四个命题：
1p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =； 2p ：复数2
2z i
=
-+的共轭复数为1+i 3p ：已知复数1z i =+，设1(,)i
a bi a
b R z
-+=∈，那么2a b +=-；
4p ：若z 表示复数z 的共轭复数，z 表示复数z 的模，则2
zz z =.
其中的真命题为（ ）
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ． 24,p p
4.在中心为O 的正六边形ABCDEF 的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后，电子弹从O 点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视A ，B ，C ，D ，E ，F 对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关，记事件M 为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N 为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则(|)P N M =（ ）
A ．
23 B ．14 C. 13 D ．12
5. 某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则235log ()a a ⋅的值为（ ） A ．8 B ．10 C. 12 D ．16
7. 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A ． 2
()sin f x x x = B ． ()1f x x x =-+ C. 1()lg 1x f x x
+=- D ．()x x
f x ππ-=- 8.下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是
①“数轴上两点间距离公式为AB =，平面上两点间距离公式为
AB =”，类比推出“空间内两点间的距离公式为
AB =
AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)
②“代数运算中的完全平方公式2
2
2
()2a b a a b b +=+⋅+”类比推出“向量中的运算
222()2a b a a b b +=+⋅+仍成立“；
③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立；
④“圆22
1x y +=上点00(,)P x y 处的切线方程为001x x y y +=”，类比推出“椭圆
22
221x y a b +=(0)a b >>上点00(,)P x y 处的切线方程为002
21x x y y a b
+=”.
A ． 1
B ．2 C. 3 D ．4 9.已知直线y a =与正切函数tan (0)3y x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
相邻两支曲线的交点的横坐标分别为1x ，2x ，且有212
x x π
-=
，假设函数tan ((0,))3y x x πωπ⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
的两个不同的零点分别为3x ，443()x x x >，若在区间(0,)π内存在两个不同的实数5x ，665()x x x >，与3x ，4x 调整顺序后，构成等差数列，则
{}56tan (,)3y x x x x πω⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A ．或不存在 D ．- 10. 已知抛物线2
4x y =的焦点为F ,双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为1(,0)F c ，过点1,F F 的
直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为（ ）
A ．
2 B ． 3
2
．2 11. 已知函数()f x 的导函数()x
f x e '= (其中e 为自然对数的底数)，且(0)f ，(2)f 为方程
222(1)(1)()0x e x c e c -++++=的两根，则函数2()()F x x x x =+-，(]0,1x ∈的值域为（ ）
A ．(]0,2e -
B ． (]0,1e - C. (]0,e D ．(]0,1e +
12.底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点,过点A ，E ，1C ，F 的平面截直四棱柱1111ABCD A B C D -，得到平面四边形1AEC F ，G 为AE 的中点，且3FG =，当截面的面积取最大值时，sin()3
EAF π
∠+
的值为（ ）
A ．
410 B ．10 C.10
D ．10
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22∽23题为选考题，
考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.已知函数5()(1)(3)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2
x 项的系数
是 ．
14.已知向量a =，2
340b b --=，向量a ，b 的夹角为
3
π
，设(,)c ma nb m n R =+∈，若()c a b ⊥+，则
m
n
的值为 ． 15.已知函数222
()x
mx x f x e +-=，[]1,m e ∈，[]1,2x ∈，max min ()()()g m f x f x =-，则关于m 的不等
式2
4
()g m e ≥
的解集为 ． 16.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，
236b b +=，设22
n n n n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *
≤∈，则实数t 的取值范围为
．
三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数2
()2sin 20)f x x x ωωω=+->在半个周期内的图象的如图所示，H 为图象
的最高点，E ，F 是图象与直线y =2()EH EF EH ⋅=.
（1）求ω的值及函数的值域；
（2）若0()f x =
，且0102,3
3x ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，求0(2)f x +的值.
18. 如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AC
BD E =，PB 的中点为
F ,2PA AD a ==，异面直线PD 与AC 所成的角为
3
π
，PA ⊥平面ABCD . （1）证明：//EF 平面PAD ；
（2）求二面角E AF B --的余弦值的大小.。