2025届吉林省吉林市蛟河市一中高三冲刺模拟数学试卷含解析

2025届吉林省吉林市蛟河市一中高三冲刺模拟数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如：0
2213+=)为费马索数,在不超过30的正偶
数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．
215
B ．
15
C ．
415
D ．
13
2．若双曲线22214x y b -=
的离心率2
e =
，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A
．B ．2
C
D ．1
3．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫
≤≤ ⎪⎝
⎭
个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
4
π 4．下列不等式成立的是（ ）
A ．11
sin cos 22
>
B ．1123
1122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
C ．112311log log 32<
D ．1
1
33
1123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2
82
3a a 的最小值为
A ．8
B ．16
C ．24
D ．36
6．已知R 为实数集，{}
2
|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫
=≥⎨⎬⎩⎭
，则(
)A B =R
（ ）
A ．{|10}x x -<≤
B ．{|01}x x <≤
C ．{|10}x x -≤≤
D ．{|101}x x x -≤≤=或
7．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π
-
B ．6
π-
C ．
6
π D ．
3
π 8．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知双曲线C ：22
22x y a b
-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，
则双曲线的离心率为（ ） A ．3
B ．5
C ．2
D ．3+1
10．已知双曲线()2
2
2:10y C x b b
-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P
在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9
B ．5
C ．2或9
D ．1或5
11．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
12．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．1
2
-
B ．
12
C ．-8
D ．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数2()ln(1)43=-++-f x x x x 的定义域是____________．（写成区间的形式）
14．实数,x y 满足220
1020x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为_____．
15．某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的表面积是______
，体积是_____
.
16．抛物线2
4y x =的焦点F 到准线l 的距离为 ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,2AB CD CD AB AD ===，PAB
△为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.
（1）求证：//AE 平面PBC ；
（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值.
18．（12分）已知数列{a n }的各项均为正，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n 2+2a n ＝4S n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n 3n
n
a =
，求数列{b n }的前n 项和． 19．（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在[)65,85的为劣质品，在[)85,105的为优等品，在[]105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用i x 和年销售量i y ，()1,2,3,4,5i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．
5
1
i i u =∑
5
1
i i v =∑
()()5
1
i i i u u v v =--∑
()
5
2
1
i i u u =-∑
16.35 23.4 0.54 1.62
表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5
1
15i i v v ==∑．
根据散点图判断，b
y ax =可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程．
①求y 关于x 的回归方程；
②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取 3.5936e =） 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，
，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆv
u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()
()
5
1
5
2
1
ˆi
i i i i u
u v v u u β
==--=-∑∑，ˆˆv u α
β=-． 20．（12分）如图在四边形ABCD 中，3BA =，2BC =，E 为AC 中点，13
2
BE =
.
（1）求AC ； （2）若3
D π
=
，求ACD ∆面积的最大值.
21．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD 边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
22．（10分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，左、右焦点分别为1,F 2F ，点D 在椭圆C 上，12DF F △
的周长为2.
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过圆2
2
2
:3
E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：AOB
∠为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率． 【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155
P == 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题． 2、C 【解析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得,,a b c 的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【详解】
双曲线22214x y b -=的离心率e =
则2a =，c e a =
=
，解得c =()
，
所以
b ==
=
则双曲线渐近线方程为y x =20y ±=，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得d =
=，
故选：C. 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 3、D 【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】
将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2
k k Z π
ϕπ=+∈，解得,4
2
k k Z π
π
ϕ=
+
∈， 因为02
π
ϕ≤≤，当0k =时，4
π
ϕ=
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4、D 【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】
对于A ，1024π<
<，11
sin cos 22
∴<，A 错误； 对于B ，
12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，1
1
231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，B 错误； 对于C ，
1
22
1log log 313=>，1331log log 212=<，1123
11
log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13
y x =在R 上单调递增，1133
1123⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎭
∴⎝，D 正确.
故选：D . 【点睛】
本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性. 5、B 【解析】
方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2
(4)x x
+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2
82
3a a 的最小值为16，故选B ．
方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得
11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即2
9d =
，则22228222
2
2
2
43()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且
仅当221633a a =，即24
3a =时等号成立，从而282
3a a 的最小值为16，故选B ．
6、C 【解析】 求出集合A ，B ，B R
，由此能求出()R A B ．
【详解】
R 为实数集，2{|10}{|11}A x x x x =-=-，1
{|
1}{|01}B x x x x
==<， {|0R B x x ∴=或1}x >， (){|10}R A B x x ∴=-．
故选：C ． 【点睛】
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7、A 【解析】
求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可. 【详解】 因为()11
cos 222
f x x x x sinx π⎛⎫=
++=- ⎪⎝⎭， 故可得()1
2
f x cosx '=-+
， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
， 故可得3
x π
=-
或3
x π
=
，
则()f x 在区间,23ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
单调递增， 在,33ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，
故()f x 的极大值点为3
π-. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题. 8、B 【解析】
设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】
设数列的公差为,0d d ≠，
125113,3513a a a a d ++=∴+=①.
125,,a a a 成等比数列，()()2
1114a d a a d ∴+=+②，
解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 9、B 【解析】
以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222
x y c +=，联立222
22221x y c x y a
b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，可求出点2,b A c c ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则2
43
b =，整理计算可得离心率.
【详解】
解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222
x y c +=，
联立222
222
21x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
，取第一象限的解得2
x c b y c ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
即2b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2
43b =， 整理得(
)()22
2
29550c a
c
a --=，
则22519c a =<（舍去），225c a
=，
c
e a
∴=
. 故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 10、B 【解析】
根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF . 【详解】
由于
b
a
=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=， 故选：B. 【点睛】
本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题. 11、A 【解析】
选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2x
y =的单调性即可求解.
【详解】
因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,
因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2x
y =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】
本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 12、B 【解析】
先求出向量a b +,a b -的坐标，然后由||||a b a b +=-可求出参数m 的值. 【详解】
由向量(1,4)a =，(2,)b m =-，
则()1,4a b m +=-+，()3,4a b m -=- (2||1+a b +=(2||3+a b -=
又||||a b
a b +=-，则12
m =. 故选：B 【点睛】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、[1,1)- 【解析】
要使函数()f x 有意义，需满足2
10430->⎧⎨+-≥⎩
x x x ，即1
14<⎧⎨-≤≤⎩x x ，解得11x -≤<，故函数()f x 的定义域是[1,1)-． 14、
5
2
． 【解析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值. 【详解】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线2z x y +＝过点C 时直线的截距最大，z 取最大值．
由1202103
2x x y x y y ⎧=
⎪+-=⎧⎪⇒⎨
⎨-+=⎩⎪=⎪⎩13(,),22C ∴同理(0,2),B (1,0),A - 5
2C z ∴=
，2B z =，2A z =- 5
2
c z ∴=取最大值．
故答案为：
52
．
【点睛】
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值. 15、，.
【解析】
试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积，
体积
，故填：
，.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积. 16、
【解析】
试题分析：由题意得，因为抛物线2
4y x =，即2
11
,48x y p =
∴=，即焦点F 到准线l 的距离为18
. 考点：抛物线的性质．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；（2214
【解析】
（1）取PC 的中点F ，连接,EF BF ，易得//,2EF CD CD EF =，进而可证明四边形ABFE 为平行四边形，即//AE BF ，从而可证明//AE 平面PBC ；
（2）取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ ，易证PO ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，从而可知,,AB OQ OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面PAD 的法向量(,,)m x y z =，及平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，由cos ,m n m n m n
=⋅⋅，可求得平面EBC 与
平面PAD 所成的二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连接,EF BF .
,PE DE PF CF ==，//,2EF CD CD EF ∴=， //,2AB CD CD AB =，//AB EF ∴，且EF AB =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴.
又
BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，//AE ∴平面PBC .
（2）如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ .
,,OA OB CQ DQ PA PB ===，,PO AB OQ AB ∴⊥⊥，
平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，
PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，
,,AB OQ OP ∴两两垂直.
以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由,2PA PB AB ⊥=，可得1,2OA OB OP DQ CQ =====， 在等腰梯形ABCD 中，2,4,2AB CD AD ===
1OQ =，
11
(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(,1,)22
O A B C P D E ∴---.
则(0,1,1),(1,1,0)AP AD ==-，11
(1,1,0),(,2,)22
BC EB ==--，
设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，
则0
m AP y z m AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)m =-. 设平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，
则011
20
22n BC a b n EB a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩
，取1b =-，得(1,1,5)n =--. 因为1155m n ⋅=-+=，3m =，33n =，所以5cos ,5
9333
m n m n m n
=
=
⋅⋅=
⨯，
所以平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值为2
55621419819⎛⎫-== ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题. 18、（1）a n ＝2n +1；（2）22
3n
n +-． 【解析】
（1）根据题意求出首项，再由（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1，求得该数列为等差数列即可求得通项公式； （2）利用错位相减法进行数列求和. 【详解】
（1）∵a n 2+2a n ＝4S n +1，
∴a 12+2a 1＝4S 1+1，即2
11230a a --=，
解得：a 1＝1或a 1＝﹣1（舍）， 又∵a n +12+2a n +1＝4S n +1+1，
∴（a n +12+2a n +1）﹣（a n 2+2a n ）＝4a n +1， 整理得：（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n ）＝2（a n +1+a n ）， 又∵数列{a n }的各项均为正， ∴a n +1﹣a n ＝2，
∴数列{a n }是首项为1、公差为2的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n +1；
（2）由（1）可知b n 2133
n n n a n +=
=， 记数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝1•
13+5•213++（2n +1）•1
3n ， 13T n ＝1•213+5•313•…+（2n ﹣1）•13n +（2n +1）•113
n +， 错位相减得：23T n ＝1+2（231133+•13n +）﹣（2n +1）•11
3
n +
＝1+221111121
331313n n n -+⎛⎫- ⎪
+⎝⎭⨯--
142433
n n ++=
-， ∴T n 32=（142433n n ++-）＝223n n +-．
【点睛】
此题考查求等差数列的基本量，根据递推关系判定等差数列，根据错位相减进行数列求和，关键在于熟记方法准确计算.
19、（1）3元．（2）①1
336y x =②216万元
【解析】
（1）每件产品的销售利润为X ，由已知可得X 的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得X 的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；
（2）①对b
y a x =⋅取自然对数，得(
)ln ln ln ln b
y a x
a b x =⋅=+，
令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得b
y a x =⋅；
②求出收益1
13
3
3336108z y x x x x x =-=⨯-=-，可设1
3t x =换元后用导数求出最大值． 【详解】
解：（1）设每件产品的销售利润为X ，则X 的可能取值为0.8-，4，6．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25、0.65、0.1．
所以(0.8)0.25P X =-=；(4)0.65P X ==；(6)0.1P X ==．所以X 的分布列为
所以()(0.8)0.2540.6560.13E X =-⨯+⨯+⨯=（元）． 即每件产品的平均销售利润为3元． （2）①由b y a x =⋅，得(
)ln ln ln ln b
y a x
a b x =⋅=+，
令ln u x =，ln v y =，ln c a =，则v c bu =+，
由表中数据可得()()
()
5
1
5
2
1
0.541
ˆ 1.623
i
i
i i
i u u v v b
u u ==--==
=-∑∑， 则23.4116.35
ˆˆ 4.68 1.09 3.59535
c
v bu =-=-⨯=-=， 所以1ˆ 3.593v u =+，即13.5931ˆln 3.59ln ln 3y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭
，
因为取 3.5936e =，所以1
3ˆ36y x =，故所求的回归方程为1
336y x =． ②设年收益为z 万元，则1
1
333336108z y x x x x x =-=⨯-=-
令1
30t x =>，则3108z t t =-，(
)
2
2
1083336z t t '=-=--，当06t <<时，0z '>， 当6t >时，0z '<，所以当
6t =，即216x =时，z 有最大值432．
即该企业每年应该投入216万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为432万元． 【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程． 20、（1）1；（2）4
【解析】
（1）AE x =，在BCE ∆和ABE ∆中分别运用余弦定理可表示出cos BCA ∠，运用算两次的思想即可求得x ，进而求出AC ；
（2）在ADC ∆中，根据余弦定理和基本不等式，可求得1CD AD ⋅≤，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出ABC ∆的面积的最大值． 【详解】
（1）由题设AE x =，则2AC x = 在BCE ∆和ABE ∆中由余弦定理得：
222222cos 22CE BC BE AC BC AB BCA CE BC AC BC
+-+-∠==⋅⋅，即22
13
4443448x x x x
+-+-=
解得1
2
x =，∴21AC x ==
（2）在ACD ∆中由余弦定理得2222cos AC CD AD CD AD D =+-⋅， 即221CD AD CD AD CD AD =+-⋅≥⋅，∴1CD AD ⋅≤
1sin 2ACD S CD AD D AD ∆=
⋅=⋅≤
所以ACD ∆
面积的最大值为4
，此时1CD AD ==. 【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
21、（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤
时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
AD AB =
=
4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】
（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛
⎫=⨯+⨯⋅+ ⎪⎝
⎭，解()65400f x ≤即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】
（1）由题意知:矩形ABCD 面积450
2252
S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:225
0x x
≥
>，得15x ≥， 设总费用为()f x ，
则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，
所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米； （2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫
=++=+++∈
⎪⎝⎭
， ()22
2900(),[15,25]bx S x x x
-'=
∈
①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36
025
b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,4
25b ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，x ⎡∈⎢⎣
时，()0S x '<，()S x 递减；x ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，
因此x
b =
=，即AD AB == 综上所述：当36025b <≤
时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，
2
AD AB b =
=
时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【点睛】
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.
22、（1）2
212
x y +=（2）见解析
【解析】
(1) 由2
c e a =
=
，周长222a c +=,解得a =1b c ==即可求得标准方程. (2)通过特殊情况l 的斜率不存在时,求得2
AOB π
∠=
,再证明l 的斜率存在时0OA OB ⋅=,即可证得AOB ∠为定值.通过
设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆方程联立,借助韦达定理求得()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++,
利用直线l 与圆相切,即
d ==
求得,m k 的关系代入,化简即可证得=0OA OB ⋅即可证得结论. 【详解】
（1
）由题意得c e a =
=
，周长222a c +=，且222a c b -=.
联立解得a =
1b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22
12
x y +=.
（2）①当直线l
的斜率不存在时，不妨设其方程为x =
，
则,33A ⎛ ⎝
⎭33B ⎛- ⎝⎭
， 所以0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥，即2
AOB π
∠=
.
②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()11,,A x y ()22,B x y ，
由()()
222
2
2
21422012
y kx m
k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()2
2
8210k m ∆=-+>，2124,21k x m x k =-++2122
22
21
m x x k -=+， 由直线l 与圆E
相切，得223220d m k =
=
⇒--=. 所以()()(
)()2
21212121212
121OA OB x x y y x x kx m kx m k
x x
km x x m ⋅=+=+++=++++
()(
)222
2
222
2
22
211
43220121212k m k m
m k m k k k
+---=
-+==+++. 从而OA OB ⊥，即2
AOB π
∠=
.
综合上述，得2
AOB π
∠=为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.。