人教版高中数学必修四 1.3的诱导公式二导学案

1.3 三角函数的诱导公式（二）
学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
知识点一 诱导公式五
完成下表，并由此总结角α，角π
2－α的三角函数值间的关系.
(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；
(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；
(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.
由此可得 诱导公式五
知识点二 诱导公式六
思考 能否利用已有公式得出π
2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六
知识点三 诱导公式的推广与规律
1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(3
2π－α)＝－sin α，
sin(32π＋α)＝－cos α，cos(3
2π＋α)＝sin α. 2.诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个
把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
六组诱导公式可以统一概括为“k ·π
2
±α(k ∈Z )”的诱导公式.
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π
2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇
数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知cos(π＋α)＝－1
2，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，
∴cos α＝1
2，又α为第一象限角，
则cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α ＝－
1－⎝⎛⎭⎫122＝－32
. (2)cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·
sin ⎝⎛⎭⎫
2π3－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦
⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α
＝－1
3sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－13cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－19
. 反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π
3＋
α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π
4－θ等互补，遇到此类问题，不妨
考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝3
3，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值. 解 ∵π6＋α＋π3－α＝π
2，
∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π
6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π
6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33
. 类型二 利用诱导公式证明三角恒等式
例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)
sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.
证明 ∵左边＝
tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)
sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
(－tan α)·(－sin α)·cos α
sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦
⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
sin 2α
－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭
⎫π2－α
＝sin 2α－cos αsin α＝－sin α
cos α
＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.
反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，
即化异为同.
跟踪训练2 求证：2sin ⎝
⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)
＝
tan (9π＋θ)＋1
tan (π＋θ)－1
.
证明 因为左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·
(－sin θ)－11－2sin 2θ
＝2sin ⎣⎡⎦
⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ
＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2
θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.
所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用
例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C
2，试判断△ABC 的形状.
解 ∵A ＋B ＋C ＝π，
∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C
2，
∴sin π－2C 2＝sin π－2B
2，
∴sin(π2－C )＝sin(π
2－B )，
即cos C ＝cos B .
又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形.
反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结
合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B
2
＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C
2
.
跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④ 答案 B
解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.
类型四 诱导公式的综合应用
例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π
2
＋α)
cos (π＋α)sin (－α).
(1)化简f (α)；
(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝3
5，求tan A －sin A 的值.
解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α
－cos α(－sin α)＝cos α.
(2)因为f (A )＝cos A ＝3
5，
又A 为△ABC 的内角，
所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝4
5，
所以tan A ＝sin A cos A ＝4
3
，
所以tan A －sin A ＝43－45＝8
15
.
反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.
跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫3
2π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭
⎫π2＋α·tan 2
(π－α)的值.
解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－3
5，x 2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－4
5，
∴sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫3
2π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2
(π－α)
＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α
＝
cos α(－sin α)
sin αcos α
·tan 2α
＝－tan 2
α＝－sin 2αcos 2α＝－9
16
.
1.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
3的值为( ) A.－23
3
B.23
3 C.13 D.－13
答案 D
解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦
⎤π
2＋⎝
⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π
2
－α)等于( ) A.－
53
B.－2
3
C.
53 D.±53
答案 A
解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53
， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53
.
3.已知tan θ＝2，则sin (π
2
＋θ)－cos (π－θ)sin (π
2－θ)－sin (π－θ)等于( )
A.2
B.－2
C.0
D.23 答案 B
解析 sin (π
2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θ
cos θ－sin θ
＝
21－tan θ＝2
1－2
＝－2.
4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)
5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值.
解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π
2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫
π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α
＝sin 3α－cos α
5cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫4π－π2－α
＝sin 3α－cos α
5cos ⎝⎛⎭⎫π2－α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α
＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－1
5tan α－3
＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17
＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)
7(sin 2α＋cos 2α)
＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝
4－17×(4＋1)＝3
35
.
5.求证：tan (2π－α)cos (3π
2
－α)cos (6π－α)
sin (α＋3π2)cos (α＋3π
2)
＝－tan α.
证明 因为左边＝tan (2π－α)cos (3π
2
－α)cos (6π－α)
sin (α＋3π2)cos (α＋3π
2)
＝tan (－α)(－sin α)cos α
－cos αsin α
＝
－tan αsin αcos α
cos αsin α
＝－tan α＝右边，
所以原等式成立.
1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：
①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②α＋π2，－α＋π
2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原
函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π
2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数
值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π
2
)内的三角函数值”这种方式求解.
用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π
2
之间的角的三角函数的基本步骤：
课时作业
一、选择题
1.已知sin(5π2＋α)＝1
5，那么cos α等于( )
A.－2
5
B.－15
C.15
D.25
答案 C
解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝1
5
，故选C.
2.已知cos(3π2＋α)＝－3
5，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )
A.4
5 B.－45
C.±45
D.35 答案 B
解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－3
5.
又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝4
5，
∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－4
5
，故选B.
3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cos A ＋C 2＝sin B
D.sin B ＋C 2＝cos A
2
答案 D
解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，
∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B
2
，
∴cos A ＋C 2＝cos(π2－B 2)＝sin B 2，故C 项不正确；
∵B ＋C ＝π－A ，
∴sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A
2
，故D 项正确.
4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π
2
D.π2
－2 答案 C 解析 cos α＝
2sin 2
(2sin 2)2＋(－2cos 2)2
＝sin 2，
∵α为锐角，∴α＝2－π
2
.
5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32
答案 A
解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12
.
6.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3
2π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m
2
答案 C
解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α ＝－m ，∴sin α＝m 2
.
故cos ⎝⎛⎭⎫3
2π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－3m
2.
二、填空题
7.若cos α＝1
5，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝ . 答案
26
5
解析 ∵cos α＝15
，且α是第四象限角， ∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫152＝－265
. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝265
. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ .
答案 892
解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°
＝44＋12＝892
. 9.已知tan(3π＋α)＝2，则
sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝ .
答案 2
解析 因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2， 所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 10.在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ .
答案 π2
解析 由题意得3cos A ＝3sin A ， ①
cos A ＝3cos B ，
② 由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cos π63＝12
，∴B ＝π3. ∴C ＝π2
. 三、解答题
11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求
cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2
＋α)的值.
解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)，
∴tan α＝y x ＝－34
， ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2
＋α) ＝－sin αsin α－sin αcos α
＝tan α ＝－34
. 12.已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2
，求sin α与cos α的值. 解 ∵sin ⎝⎛⎭
⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭
⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169
， 即2sin α·cos α＝120169
. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，
②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169
， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169
. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝1713
， ③ sin α－cos α＝713
， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513
. 13.已知sin(π＋α)＝－13
.计算： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭
⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13
. (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13.
(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89
. ∵sin α＝13
，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223
. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223
. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13
， ∴α为第一或第二象限角.
①当α为第一象限角时，cos α＝223
， ∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24
. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24
， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝
24
. 四、探究与拓展
14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)
＝ . 答案 －34
解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－
α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α
＝－34
. 15.已知α是第四象限角，且
f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α). (1)若cos ⎝
⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.
解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)
＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α
. (1)∵cos ⎝
⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15
， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15
， ∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α
＝－5. (2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α ＝
1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860° ＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°
＝－233
.。