弧长和扇形面积(解析版) 九年级数学下册

27.3第1课时弧长和扇形面积
姓名：_______班级_______学号：________
题型1三角形外接圆的说法辨析
1．
（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校考阶段练习）下列说法正确的是（）A ．经过三点可以作一个圆
B ．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C ．同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等
D ．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关知识点，包括圆的确定条件、外心、弧弦角等的关系，熟记相关结论即可．
【详解】解：A 、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A 错误；B 、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B 错误；
C 、同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故C 正确；
D 、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D 错误．
故选：C ．
2．
（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）在ABC 中，点P 是ABC 的外心，则点P （）
A ．到ABC 三边的距离相等
B ．到AB
C 三个顶点的距离相等C ．是ABC 三条高线的交点
D ．是ABC 三条角平分线的交点【答案】B
【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键．
【详解】解：∵点P 是ABC 的外心，
∴点P 是ABC 的三条边的垂直平分线的交点，
即：点P 到ABC 的三个顶点距离相等，
（1）当点O 在ABC ∵点O 是三角形ABC ∴12
A BOC ∠=∠，又240BOC A ∠+∠=
【答案】43
【分析】由三角形外心的性质结合
可得出
1
2
BAC BOC ∠=∠
【答案】()
1,2-【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作直平分线，两条线交于点D ，可得点定义．
【详解】解：如图，根据网格作∴点(1,2)D -是ABC 的外心，
ABC ∴ 的外心的坐标为(1,-故答案为：(1,2)-．
6．
（2023上·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()3,6A ，()1,4B 【答案】()52，
52，．
所以点P的坐标为()
52，．
故答案为：()
7．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点()
3,0，点C是第一象限内
0,3、()
为(),a b，则a b+的最大值为
【答案】222
++
【分析】如图，作等边三角形
BK为半径的优弧
AMB
=-+上，而
直线y x m
∵点A B 、的坐标分别为()0,3、()
3,0，∴2223AB OA OB =+=，sin OBA ∠∴60OBA ∠=︒，
∵60ABM AMB ∠=︒=∠，
∴AM OB ∥，
∴()23,3M ，3BN OA ==，AN MN =
(1)在正方形网格中画出ABC 的外接圆(2)若EF 是M 的一条长为4的弦，点【答案】(1)见解析，()
1,0M -(2)6
【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌
（2）连接MD，MG，ME，CM 点G为弦EF的中点，EM=∴⊥，
MG EF
，
EF=
4
∴==，
2
EG FG
221
∴=-=，
MG ME EG
A．3cm B
【答案】B
【分析】连接OB、OC
则90ODB ∠=︒，
60A ∠=︒ ，
120BOC ∴∠=︒，
60BOD ∴∠=︒，
OB OC = ，OD BC ⊥
∴OA OB =，AH BC ⊥，
∴116322
BH BC ==⨯=，
在Rt AHB △中，由勾股定理，得2225AH AB BH =-=-
题型5判断三角形外接圆的圆心位置
18．
（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）已知O 是ABC 的外接圆，那么点O 一定是ABC 的（）
A ．三个顶角的角平分线交点
B ．三边高的交点
C ．三边中线交点
D ．三边的垂直平分线的交点【答案】D
【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键．
【详解】解：已知O 是ABC 的外接圆，那么点O 一定是ABC 的三边的垂直平分线的交点，
故选：D ．
19．
（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点、、A B C 并顺次连接得到ABC ∆，则ABC ∆的外心是（）
(1)求证：AO平分BAC
∠(2)若O
的半径为5，AD
(3)若OD m
OB=，求
AD
DC的值（用含
【答案】(1)证明见解析(2)1.5
AB AC = ，⊥AP BC
PAB PAC ∴∠=∠，BP PC =，
∵点O 是ABC 的外接圆圆心，
∴点O 在AP 上，
∴OAB OAC ∠=∠，
OA ∴平分BAC ∠．
（2）解：5OA OB == ，
题型6判断确定圆的条件
21．（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
22．（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
（3）任意三点可以确定一个圆
（4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线
（5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．熟练掌握圆的性质是解题的关键．
根据圆心角、弧、弦的关系对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆判断（3），根据对称轴的定义对（4）（5）进行判断．【详解】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以（1）错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以（2）错误；
任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以（3）错误；
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以（4）正确；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心，所以（5）正确；
故正确的个数是2个，
故选：B．
23．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）下列命题正确的是（）
A．过三点一定能作一个圆B．相似三角形的面积之比等于相似比
C．圆内接平行四边形一定是矩形D．三角形的重心是三角形三边中垂线的交点【答案】C
【分析】根据不共线的三点确定一个圆；相似三角形的面积之比等于相似比的平方；圆内接四边形对角互补；三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项判断即可．
【详解】解：A.过不共线的三点一定能作一个圆，原命题错误；
B.相似三角形的面积之比等于相似比的平方，原命题错误；
C.∵圆内接四边形对角互补，且平行四边形的对角相等，
∴圆内接平行四边形的对角都是90 ，
∴圆内接平行四边形一定是矩形，正确；
D.三角形的重心是三角形三边中线的交点，原命题错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的性质，圆内接四边形的性质，平行四边形
的性质，矩形的判定，三角形的重心等知识；熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．24．（2023上·广东汕头·九年级校考阶段练习）下列命题在，正确的是由（）
①平分弦的直径垂直于弦；②经过三角形的三个顶点确定一个圆；③圆内接四边形对角相等；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
A．①②B．②③C．②D．①④
【答案】C
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；
②经过三角形的三个顶点确定一个圆，②正确；
③圆内接四边形对角互补，③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
题型7确定圆心（尺规作图）
25．（2023上·河北邯郸·九年级校考阶段练习）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）
A．(2,0)B．(2,1)C．(2,2)D．(3,1)
【答案】A
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是(2,0)．
故选：A ．
26．
（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、A B C ，请在网格图中进行下列操作：
(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为______；
(2)求出扇形DAC 的面积．
【答案】(1)见解析，()
2,0(2)5π
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
（1）根据网格和正方形的性质，分别作出AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而写成点D 的坐标；
（2）利用网格以及勾股定理和逆定理得出90ADC ∠=︒以及半径的平方，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
故答案为：(2,0)；
（2）解：由（1）图可知：
2222425,2AD CD =+==222DA DC AC += ，
ADC ∴ 为直角三角形，ADC ∠即D 的半径为25，ADC ∠的度数为(1)在网格图中画出圆M （包括圆心）
(2)判断M 与y 轴的位置关系：【答案】(1)见解析，(3,2)
(2)相交
点M 坐标为：(3,2)
故答案为：(3,2)；
（2）∵22(32)(25)MA =-+-=即：M 的半径10r =，
点M 到y 轴的距离3d =，
(1)画出圆心P ；
(2)画弦BD ，使BD 平分ABC ∠．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意得到BC ，AF 是圆的直径，BC 和AF 的交点即为要求的点P ；（2）连接AC ，AC 的中点为E ，连接PE 并延长交P 于点D ，连接BD ，即为所求．
【详解】（1）如图所示，点P 即为所求；
∵BC ，AF 是圆的直径，
∴BC 和AF 交于点P ，
∴点P 是圆心．
（2）如图所示，BD 即为所求；
连接AC ，AC 的中点为E ，
连接PE 并延长交P 于点D ，连接BD ，
∵AE CE
=∴PE AC
⊥∴ CD AD
=∴CBD ABD
∠=∠∴BD 平分ABC ∠．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，网格作图，解题的关键是熟练掌握以上知识点．题型8求能确定的圆的个数
29．（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,0-，以点P 为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（
）A ．1个B ．2个C ．3个
D ．无数个
【答案】A
【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键．
【详解】解：∵点()1,0P -为圆心，1为半径作圆，
∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，
故选：A ．
30．
（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，点A ，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
【详解】解：依题意A ，B ；A ，C ；A ，D ；B ，C ；B ，D ；C ，D 加上点P 可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：C ．
31．
（2023上·全国·九年级专题练习）平面上有不在同一直线上的4个点，过其中3个点作圆，可以作出n 个圆，那么n 的值不可能为（
）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4【答案】B
【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时；②当三点在一直线上时；③当A 、B 、C 、D 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时；分别画出图形讨论即可．
【详解】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时1n =，
②当三点在一直线上时，如图2
n=，
分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即3
③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
n=，分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时4
即n不能是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定一个圆的条件，正确分类、熟知不共线的三点确定一个圆是解题的关键．
32．（2023·江西·统考中考真题）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，,A B；,A C；,A D；,B C；,B D，,C D加上点P可以画出一个圆，∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．(1)求作A
，使得
(2)在（1）的条件下，设
于点G，求AB AD
【答案】(1)见解析(2)51-
如图，以A 为圆心AN 为半径画圆即为所求；
（2）解：设AB AD
α=，A 的半径为BD Q 与A 相切于点E ，CF AE BD ∴⊥，AG CG ⊥，
即90AEF AGF ∠=∠=︒，
CF BD ⊥ ，
90EFG ∴∠=︒，
∴四边形AEFG 是矩形，
又AE AG r ==，
∴四边形AEFG 是正方形，
，
【答案】图见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图，切线的性质，根据切线的定义，得到点
35．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系()4,4B -、()6,2.
C -(1)在图中画出经过A 、B 、C (2)M 的半径为__；
(3)点O 到M 上最近的点的距离为【答案】(1)见解析，()
2,0-(2)25
故答案为：()2,0-；
（2）()6,2C - ，()2,0M -22(62)22MC ∴=-++=即M 的半径为25，
A ．5π2
【答案】D 【分析】先确定圆心由题意得：221OA =+∴222OA OC AC +=，
∴AOC 是等腰直角三角形，
∴=90AOC ∠︒，
A．1
2
【答案】A
【分析】此题考查圆锥的计算，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形的弧
【答案】5π
【分析】本题考查了弧长，三角形内角和．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．由题意知，三条弧的半径相同为
计算求解即可．
【答案】1m 3
【分析】本题考查圆锥的有关计算，
是解决问题的关键．
根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
A．0.9米B．0.8米
【答案】B
【分析】本题考查通过弧长计算半径，熟练掌握弧长公式是解题关键． OA
【答案】4
【分析】本题考查圆锥展开图及扇形弧长公式，直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
【答案】4
【分析】本题考查圆锥的侧面积，由圆锥侧面展开图是扇形，可以利用求扇形面积公式
12
S lr =即可求解，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【答案】500OCD S π
=扇形【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求 180n r l π=扇形和2360
n r S π=扇形是解题的关键．【详解】解：由题意得
(1)点O 在线段BP 上．若以点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，O （2）解：连接CO ，
∵BC PC
=∴CBP P
∠=∠∵ 6AB AC =，的长为π．
(1)画出点A 的对应点A '（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知336AB ABC ∠=︒=，，点A 运动到点果保留π）
；
（2）解：∵336AB ABC ∠=︒=，，
∴18036144ABA '∠︒-︒=︒＝
，∴点A 经过的路线长为
1443121805
π⨯=π，故答案为：125π．49．
（2023上·河南商丘·九年级商丘市第六中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点(1)请作出△ABC 绕点B 逆时针旋转点E ．分别写出点D ，点E 的坐标．
(2)请直接写出（1）中点A 在旋转过程中经过的弧长为【答案】(1)图见解析，()03D ，
，(2)10π2
【分析】本题考查旋转变换的作图、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）利用勾股定理求出AB 的长，再利用弧长公式计算即可．
由图可得，D （0，3），E （3，1）．
（2）解：由勾股定理得，23AB =+∴点A 在旋转过程中经过的弧长为
90π故答案为：10π2
．50．
（2023上·山东聊城·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，个顶点坐标分别为()2,1A -，()1,4B -(1)ABC 绕原点O 逆时针旋转90︒径长度；
(2)以原点O 为位似中心，位似比为如果点(),D a b 在线段AB 上，那么请直接写出点
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，画位似图形，求位似图形对应点坐标，勾股定理，求弧长等等，正确根据变换方式找到对应点的位置是解题的关键．A ．54π【答案】C
【分析】本题考查扇形面积的计算，角形的判定得出BOD
9π
(1)求证：PA PB =；
(2)若O 的半径为6，60P ∠=︒， 3CD
=【答案】(1)证明见解析
(2)39
π-【分析】（1）连接OA ，OC ，OD ，OB ，
AC BD
=，AC BD ∴=，
OA OC OB OD === ，OM AC ⊥，ON BD ⊥，
CM AM ∴=，BN DN =，90OMC OND ∠=∠=︒，
CM DN ∴=，
在Rt OMC 和Rt OND 中，
CM DN OC OD
=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)OMC OND \ ≌，
OM ON ∴=，
在Rt POM ∆和Rt PON ∆中，
OP OP OM ON
=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)POM PON ∴≅ ，
PM PN ∴=，
AM BN = ，
PA PB ∴=．
（2）解：60APB ∠=︒ ，90PMO PNO ∠=∠=︒，
120MON ∴∠=︒，
POM PON ≌，
60POM PON ∴∠=∠=︒，
3CD
AC =，
∴1163
22
AJ OA ==⨯=912
AOC O J S C A ∴=⋅= ，2306939360AOC AOC S S S ππ⨯⨯∴=-=-=- 阴扇形．【点睛】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【基础巩周】（2）如图，正方形ABCD 的比值；
【尝试应用】（3）如图，在半径为
【答案】（1）相等，理由见解析；【分析】本题考查的是平行线的性质，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，扇形面积，勾股定理等，解决本题的关键是熟练掌握两条平行线之间的距离处处相等．（1）根据等底等高的三角形面积相等可直接得出答案；
（2）根据OAN ODN S S = MN AD ∥，正方形ABCD ∴BC MN AD ∥∥，
∴OAN ODN S S =，OBN S =∴阴影面积等于扇形DOC
BD CD =，OB OC =∴OD BC ⊥，
∴2BDC BDO ∠=∠=∴2BAC BDC ∠=∠= 2ACO BDO ∠=∠，
A ．π
【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出式，即可求解．
【答案】84π-/84
π-+【分析】由图知，要求的面积有两部分：与原三角形相似，已知了原三角形的周长和面积，三角形内部被圆滚过部分的三角形的内切圆半径，
【点睛】此题主要考查的是圆的综合题，图形面积的求法，切线的性质、扇形面积的计算方法、相似三角形以及三角形内切圆半径的求法等知识，
与原三角形相似，原三角形边界的三个扇形正好构成一个单位圆是解题的关键．57．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图所示，在平面直角坐标系
顶点均在格点上，点C的坐标为(4-,
绕原点O顺时针方向旋转
(1)将ABC
(2)C点运动到1C的过程，线段OC
【答案】(1)见解析
π
(2)5
4
【分析】（1）根据旋转的性质，分别作出
（2）解：如图，线段OC扫过的图形的面积即为扇形()
，
4,1
C-。