数学分析傅立叶级数习题

第十五章 傅里叶级数
一．填空题
1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππ
x x x x f 0,2,0,0,0,2
)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .
2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数
()=++∑∞
=1
0sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,
0(),0,0
x x f x x ππ≤≤⎧=⎨
-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛
于 .
4. 设⎪⎩⎪
⎨⎧≤<=<<--=π
πx x x x x x f 0,,0,0,0,)(2
2，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛
于 .
5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,
05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .
6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则
()=++∑∞
=1
0sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题
1.下列说法正确的是（ ）
.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中
的⎰-=π
π
nxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n
.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的
⎰-=l
l
n dx l
x
n x f a πcos
)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上
可展开成余弦级数∑∞
=1
cos n n nx a .
.D 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上
可展开成正弦级数∑∞
=1
sin n n nx b .
2.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππ
x x x x f 0,4,0,0,0,4
)(，
则下列说法错误的是（ ）
.A )(x f 在),(ππ-上可以展开成傅里叶级数. .B )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于
4
π. .C )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于0. .D )(x f 的傅里叶系数0=n a .
3.设函数)(x f 满足)()(x f x f -=+π，则该函数的傅里叶级数具有性质（ ）
.A 0=n a .B 0=n b .C 022==n n b a .D 01212==--n n b a
4.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<<--=ππx x x f 0,4,0,4)(，
则下列说法正确的是（ ）
.A )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于4.
.B )(x f 的傅里叶展式在π-=x 处收敛于-4. .C )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4. .D )(x f 的傅里叶展式在π±=x 处均收敛于0.
5.将⎩⎨⎧<<-≤<-=42,3,
20,1)(x x x x x f 在)4,0(上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是
（ ）
.A )(x f 的傅里叶展式在2=x 处收敛于-1.
.B )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于1. .C )(x f 的傅里叶展式在4=x 处收敛于1. .D )(x f 的傅里叶展式在3=x 处收敛于1.
6. 若将函数x x f =)(在)2,0(内展成正弦级数，则下列说法正确的是（ ）
.A 40=a
.B )(x f 的正弦级数展式在2=x 处收敛于2. .C 当)2,0(∈x 时，展成的正弦级数收敛于)(x f 本身. .D )(x f 在)2,0(内不能展成余弦级数
三．判断题
1. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],[ππ-上的正交函数系. ( )
2.若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数收敛于)(x f 本身. （ ）
3.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成傅里叶级数. （ ）
4.函数)(x f 是在],[ππ-上的周期函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在
],[ππ-上可以展成正弦级数. （ ）
5.函数)(x f 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )
6.设函数,
0(),0,0
x x f x x ππ≤≤⎧=⎨
-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在x π=-处收敛于0.
( )
7. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],0[π上的正交函数系. ( ) 8.x x f =)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( ) 9.2
cos
)(x
x f =在],0[π上不能展成正弦级数. ( ) 10.若级数()∑∞=++1
0||||2||n n n b a a 收敛，
则级数()∑∞
=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个
数轴上一致收敛. ( ) 四．计算题
1.（1）将2
)(x
x f -=π在]2,0[π上展开成傅里叶级数；
（2）利用展开式证明： +-+-=71
513114π
2.将x x f =)(在)1,1(-上展开成傅里叶级数.
3.（1）将x x f =)(在]1,0[上展开成余弦级数； （2）根据展开式求()
2
11
.21n n ∞
=-∑
4.将x e x f =)(在],0[π上展开成正弦级数.
5.求⎩⎨⎧<≤<<-=T x x T C x f 0,0,
0,)(（C 是常数）在),[T T -上的傅里叶展开式.
五．证明题
1.设)(x f 在],[ππ-上可积或绝对可积，若对],[ππ-∈∀x ，成立)()(x f x f =+π，证明：01212==--n n b a .
2.设周期为π2的可积函数)(x f 在],[ππ-的傅里叶系数为n n b a ,，函数)(x g 的傅
里叶系数为n n b a ~,~，且)()(x f x g -=，证明：n n n n b b a a ==~,~.
3.根据2
)1()(-=x x f 在)1,0(的余弦级数展开式证明63
12112
22π=+++ .
4.已知帕萨瓦尔等式为∑⎰∞
=-++=1
2
22
02
)(2)]([1
n n n b a a dx x f π
ππ，
（n n b a ,为)(x f 的傅里叶系数），利用),(,cos )1(431
22
2
πππ-∈-+=∑∞
=x nx n x n n
证明9031211444π=
+++ . 5.已知),(,cos )1(43122
2
πππ-∈-+=∑∞
=x nx n
x n n
，利用逐项积分法证明3x 在)
,(ππ-的傅里叶级数为x n n n n sin )
6()1(21
3
22∑∞
=--π
第十六章——第十七章
一、判断题
1、设平面点集{}(,),D x y x y Z =∈，则(0,0)为其内点。

( )
2、若累次极限00
lim lim (,)x x y y f x y →→与00
lim lim (,)y y x x f x y →→存在且相等，则重极限
00
l i m (,)x x y y f x y →→必存在。

( )
3、若累次极限00
lim lim (,)x x y y f x y →→存在，则累次极限00
lim lim (,)y y x x f x y →→也存在。

( )
4、若重极限0
lim (,)x x y y f x y →→存在，则累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与必00
lim lim (,)y y x x f x y →→存
在。

( )
5、若函数(,)f x y 在有界集D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界。

( )
6、若函数(,)f x y 在闭域D 上连续，则(,)f x y 在D 上有界。

( )
7、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在，则(,)f x y 在点
00(,)x y 处可微。

( )
8、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '都存在，则
(,)f x y 在点00(,)x y 处连续。

( )
9、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '都存在，则
(,)f x y 在点00(,)x y 处可微。

( )
10、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数
),(00y x f x '，),(00y x f y '都存在。

( )
11、若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微，则),(),,(y x f y x f y x ''在该点处连续。

( ) 12、若(,)f x y 在其定义域的内点00(,)x y 处连续0(,)f x y ⇔在0x 和0(,)f x y 在0y 都连续 ( )
13、若(,)f x y 在其定义域的内点00(,)x y 处连续0(,)f x y ⇒在0x 和0(,)f x y 在0
y
都连续 ( )
14. 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在，则(,)f x y 在点
00(,)x y 处偏导数存在。

15. 若(,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 处沿x 轴正向和负向的方向导数都存在，且互为相反数. 二、选择题
1、若0
lim (,)x y kx
f x y A →==对任何k 都成立，则必有( )
(A) (,)f x y 在(0,0)处连续 (B) (,)f x y 在(0,0)处有偏导数 (C) 00
lim (,)x y f x y A →→= (D) 00
lim (,)x y f x y A →→=不一定存在
2、(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的( ) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件
3、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；
（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）0)
()(),(),(lim
2
2
00000
=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y
y x f x y x f z y x y x 。

4、设函数2
2222
22,0(,)0,0
xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪
+=⎨⎪+=⎩
,则在点(0,0)处（ ）
（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。

5、设),(b a f x '存在，则x
b x a f b a x f x )
,(),(lim
--+→=（ ）
（A ）),(b a f x ' （B ）0 （C ）2),(b a f x ' （D ）2
1
),(b a f x ' 6、函数xy x
y
z +=arcsin
的定义域是（ ） （A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ； （C ）{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x 。

7、设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)
0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22y x y x y
x y
x y x f ，在点(0,0)处，
下列结论（ ）成立。

（A ）有极限，且极限不为0 （B ）不连续 （C ） 0)0,0()0,0(='='y x f f （D ）可微
8、设函数),(y x f z =有222=∂∂y f
，且1)0,(=x f ，(,0)y f x x '=，则),(y x f =（ ）
（A ）21y xy +- （B ）21y xy ++ （C ）221y y x +- （D ）221y y x ++
9、设函数),(y x f 满足方程2222y
f
x f ∂∂=∂∂及条件x x x f =)2,(，2)2,(x x x f x ='
则)()2,(=''x x f xx
(A)
34x (B) 34x - (C) 35x (D) 3
5x
- 10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '，),(00y x f y '存在是
),(y x f 在该点连续的（ ）
(A) 充分条件非必要条件 (B) 必要条件非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件
11、设函数),(y x f 在点(0,0)附近有定义，且3)0,0(='x f ，1)0,0(='y f ，则 （ ）成立。

(A) dy dx dz
+=3)
0,0(
(B)曲面),(y x f z =在点(0,0(0,0))f ，处的法向量为(3,1,1)
(C)曲线⎩⎨⎧==0)
,(y y x f z 在点(0,0(0,0))f ，处的切向量为(1,0,3)
(D)曲线⎩⎨⎧==0)
,(y y x f z 在点(0,0(0,0))f ，处的切向量为(3,0,1)
12、已知
2
)()(y x ydy
dx ay x +++为某个函数的全微分，则a =（ ）
(A)1- (B) 0 (C) 1 (D) 2
13、下列命题正确的是（ ）
(A) 若(,)f x y 在),(00y x 处可微，则),(),,(y x f y x f y x ''在该点处连续； (B) 若(,)f x y 在),(00y x 处可微，则),(),,(0000y x f y x f y x ''存在；
(C) 若(,)f x y 在),(00y x 处),(),,(0000y x f y x f y x ''都存在，则),(y x f 在),(00y x 处连
续；
(D) 若(,)f x y 在),(00y x 处的二阶偏导数都存在，则),(),,(y x f y x f y x ''在),(00y x 处连续。

14、下列论述正确的是（ ） (A) ),(y x f 的极值点必是),(y x f 的驻点； (B) ),(y x f 的驻点必是),(y x f 的极值点；
(C) 可微函数),(y x f 的极值点必是),(y x f 的驻点； (D) 可微函数),(y x f 的驻点必是),(y x f 的极值点。

15、函数2
2)ln (yz z xy u +-=在点)1,3,1(沿方向)1,1,1(-=→
l 的方向导数等于（ ）
(A)
215 (B) 2
15 (C) 6315- (D)63
5
16、极限2
40
3lim
y x xy
y x +→→之值为（ ）
(A) 0 (B)不存在 (C)
31 (D) 4
1 17、设),(xz y x f u +=有二阶连续偏导数，则2u
x z
∂∂∂=（ ）
(A) 221211
2)(f xz f z x f x f ''+''++''+' (B) 2212f xz f x ''+'' (C) 2212
2f xz f x f ''+''+' (D) 22f xz '' 18、若),(00y x f x '，),(00y x f y '存在，则),(y x f 在点),(00y x 处( )
(A) 一定不可微 ( B)一定可微 (C) 有意义 (D)无意义
19、设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数
=),(00y x f x 0),(00=y x f y ，则点),(00y x 一定是函数),(y x f 的（ ） (A) 极大值点 (B) 极小值点 (C) 极值点 (D) 驻点 20、函数y x z -=的定义域为（ ）
(A)
0,0>>y x
(B) 0,≥≥y y x (C) 0,>>y y x
(D)0,0≥≥y x
21、设)arctan(y x z +=，则
y
z
∂∂=（ ） (A) 2)(11y x ++ (B) 2
2)(1)(sec y x y x +++ (C)2)(11
y x ++- (D) 2
)
(11y x +-;
22、函数z x y y x u 64232
2
++-=在原点沿)1,3,2(=→
l 方向的方向导数l
u
∂∂=（ ）
(A) 14
8-
( B)
14
8 (C) 6
8-
(D)
6
8
23、设),(y x f z =在),(00y x 处的偏导数),(00y x f x 存在，则),(00y x f x =（ ）
(A) h y x f h y h x f h ),(),(lim
00000
-++→ (B) h y h x f y h x f h )
,(),(lim 00000--+→
(C) h y h x f y x f h ),(),(lim
00000
--→ (D) h
y x f y h x f h )
,(),(lim 00000--→
24、函数)4ln(1),(2222y x y x y x f --+-+=的定义域是（ ）
(A){}21),(22<+<y x y x ; (B) {}
41),(22<+≤y x y x ; (C) {}21),(22≤+<y x y x ; (D) {
}
41),(22≤+≤y x y x ; 25、已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个领域内连续，且
()
2
2
20
(,)lim
=1
x y f x y xy
x
y
→→-+
则下列四个选项中正确的是（ ）
(A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点;
(C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 (D) 根据所给条件无法判断点
(0,0)是否为(,)f x y 的极值点
26、设(,)u x y ϕ=的偏导数连续，()f u ω=可导，则必有（ ）
(A)()grad f u gradu ω'=; (B) u u
grad i j x y ω∂∂=+
∂∂; (C) ()f f
grad i j f u x
y ω⎛⎫
∂∂'=+ ⎪∂∂⎝⎭
; (D) grad i j x y ϕϕω∂∂=
+∂∂ 27、设2
1sin ,
0(,)0,0
x y xy xy
f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
，则(0,1)=x f （ ）
(A)0 (B) 1 (C) 1- (D) 1
2
28..
曲线1,
z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
在点(1,1处的切线与y 轴的夹角为（ ）
A.
6π B. 3π C. 4π
D. 6π
-
29. 设(,)z f x y =在点00(,)x y 处取得极小值，则函数0()(,)y f x y ϕ=在0y 处( ) A. 取得极小值 B. 取得极大值 C.取得最小值 D. 取得最大值
30. 函数22
221(0,0)x y z a b a
b ⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭在点P 处沿曲线22221x y a b +=在此
点的内法线方向的方向导数为（ ）
A.
B
C.
22
31. 设可微函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处取得极小值，则下列结论正确的是（ ） A. 0(,)f x y 在0y y =处的导数等于0 B. 0(,)f x y 在0y y =处的导数大于0
C. 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于0
D. 0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在 32. 设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f == ，则（ ） A. 3dz dx dy =+
B. 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为(3,1,1)
C. 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,3)
D. 曲线(,)
z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为(3,0,1)
三、填空题
1、设平面点集{}(,)2,2,2D x y x y x y =<<+>，则D '=( )D ∂=( )。

2、设平面点集{}(,)0D x y xy =≠，则D '=____,D ∂=______。

3、设22
2(,)=
xy f x y x y +，则
(1,)=y
f x _____。

4、=+-→→xy
xy
y x 93lim
0 。

5、设⎰=yz
xz
t dt e u 2
， 则
=∂∂z
u。

6、函数)2s i n (),(y x xy y x f ++=在点（0，0）处沿)2,1(=的方向导数
)
0,0(l
f ∂∂= 。

7、设22),(y x x
y
y x f -=+，则),(y x f = 。

8、设z y x xy z y x z y x f 62332),,(222--++++=，则=)1,1,1(gradf 。

9、)ln(222z y x u ++=在)2,1,1(-M 处的梯度为=M gradu 。

10、设1()(),z f xy y x y f x ϕϕ=++，具有二阶连续导数，则=∂∂∂y
x z
2 。

11、若),(y x f z =在点),(00y x M 处存在一阶、二阶连续偏导数，且),(00y x f x '=0，
0),(00='y x f y ，则当 时，),(00y x M 必是),(y x f z =的极值点。

12、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z
13、设z y x
u )(=，则)1,1,1(du =
14、函数⎪⎩
⎪⎨
⎧≠==时
当时当0102
),(xy xy y x f 的连续点的集合为=D
15、函数3221)1ln(-++-+-=y x x y x z 的定义域是
16、设函数442
2),(y
x y x y x f +=，)0,0(),(≠y x ，则=→→),(lim 0
y x f y x 17、设2
2y
x
e z =，则)1,1(dz =
18、椭球面632222=++z y x 在点（1，1，1 ）处的切平面方程是
19、曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0
45320
3222z y x x z y x 在点（１，１，１）处的切线方程是 。

20、空间曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 在任意点处的切线的切向量=S
21、设),,(w v u F 是可微函数，且=)2,2,2(u F 3)2,2,2(=w F ，6)2,2,2(=v F ，曲
面0),,(=+++x z z y y x F 通过点)1,1,1(，则曲面在这点的法线方程是
22、设()y
z xyf x =，其中()f u 可微，则z z x y x y
∂∂+=∂∂
23、设(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===都是由方程(,,)0F x y z =确定的具有连续偏导数的函数，则 24、设20
(,)x y t z f t e dt =⎰
，其中f 是二元连续函数，则(
)dz =
四、计算题
1、设g f ,均为连续可微函数，)(),,(xy x g v xy x f u +==，求y
u
x u ∂∂∂∂,。

2、设⎰+-=t x t
x dz z f t x u )(),(，求
t
u x u ∂∂∂∂,
3、求函数)ln(22z y x u ++=在点(0,1,0)A 沿A 指向点(3,2,2)B -的方向的方向
导数。

4、求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D
上的最大值和最小值。

5、在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。

6、设,z
y x u =求
y
u x u ∂∂∂∂,z u ∂∂。

7、设),(z
y
y x f u =，f 具有连续偏导数，求du 。

8、已知函数)()(x y xg y x yf u +=，其中g f ,具有二阶连续导数，求 y x u
y
x
u x ∂∂∂+∂∂222的值
9、求1)2()1(),(22+-+-=y x y x f 在区域{}
20|),(22≤+=y x y x D 上的最大值和
最小值。

10、计算2
2
2
20
011lim
y
x y x y x ++-+→→。

11、设f 具有连续导数，)
(2
2y x f y
z -=
，求y z x z ∂∂∂∂,。

12、在椭圆132322=++y xy x 的第一象限部分上求一点，使得该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小，并求面积的最小值
13、设),(),,(),,(y x v v x u uv x f z ψϕ===，且所有函数均具有连续的偏导数，求
y
z x
z
∂∂∂∂,。

14、设),,(xyz xy x f u =，其中f 具有连续偏导，求x u ∂∂,y
u ∂∂ 15、设x xy z )1(+=，求1
,1==y x dz
（7分）
16、设),(),,(v u y y v u x x ==是由方程组⎩
⎨⎧=-=+01yv x y xu 所确定的隐函数，求u x ∂∂, u v y
∂∂∂2
17、设)(2
u f x z =，而x y u =，其中)(u f 二阶可导，求y
x z
∂∂∂2
18、设)(),(x
y
g y x xy f z +=，其中f 具有一阶连续偏导数，g 具有一阶连续导数，
求
x z
∂∂、y
z ∂∂ 五、证明题 1
、证明：x y →∞
→∞
不存在
2、证明：00
ln(1)
lim
tan x y xy x y →→++不存在
3、设()22
3222
,(,)(0,0)(,)0,
(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪⎪=+⎨⎪
=⎪⎩，
证明：(,)f x y 在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。

4、证明：函数(
)22
(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)
x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨
⎪=⎩
在点(0,0)处连续
且偏导数存在，可微
5、设(,)f x y 可微，1l 与2l 是2R 上的一组线性无关向量，试证明：若
(,)0(1,2)i l f x y i ≡=，则(,)f x y ≡常数
6、函数(,)f x y 有一阶连续偏导数，220x y f f +≠对任意t ，有(,)(,)f tx ty tf x y =，证明曲面(,)z f x y =上任一点000(,,)x y z 处的法线与直线000
x y z x y z ==垂直
第18-19章
一、判断题
1.平面曲线2/32/32/3(0)x y a a +=>上任一点处的切线被坐标轴所截取的线段为定长. （ ）
2. 方程cos sin xy x y e +=在原点的邻域内不一定能确定隐函数().y f x = （ ）
3.
2
1
x y e dy +∞
-⎰
在[,],(0)a b a >上不一致收敛. （ ）
4. 设函数组(,),(,)u u x y v v x y ==与(,),(,)x x u v y y u v ==互为反函数组，且它们的雅可比行列式存在，则互为倒数. （ ） 5．若含参量x 的反常积分()(,)c
I x f x y dy +∞=⎰
在[,]a b 上绝对收敛，且(,)f x y 在
[,][,)a b c ⨯+∞上连续，则()I x 在[,]a b 上连续. （ ） 二、 填空题
1.已知12()Γ=32()Γ= ，11
22(,)B = . 2. 若2323x y z e x y z -++=+-，则
z
x
∂=∂ . 3.
222236x y z ++=在(1,1,1)的切平面方程 . 4. 已知函数3x y
z e
+=，求y
x z
∂∂∂2= .
5.求含参量积分2
2
()x xy x
F x e dy -=⎰的导数'()F x = .
6.设12()Γ=2
2x x e dx +∞
--∞
=⎰ .
7.由方程10xyz +=所确定隐函数(,)z z x y =，在点P(1,2,-2)处的全微分 .
8. 含参量反常积分2
cos 1xy
dx x
+∞
+⎰在 上一致收敛. 9. 对任何正数,,p q Γ函数和B 函数之间的关系(,)p q B = . 10. 利用Γ函数定义，4
x e
dx +∞
--∞⎰= .
三、选择题
1. 隐函数定理中的四个条件是隐函数存在的（ ）条件.
A. 充要
B. 充分不必要
C. 必要不充分
D. 不必要不充分
2. 反函数组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩的偏导数与原函数组(,)
(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩的偏导数之间的关系为
（ ）. A.
1x u u x ∂∂⋅=∂∂ B. 1x u x v u x v x
∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂ C.
2x u x v u x v x ∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂ D.1x u y u u x u y
∂∂∂∂⋅+⋅=∂∂∂∂ 3. 5 21 2⎛⎫Γ ⎪⎝⎭=⎛⎫Γ ⎪⎝⎭
（ ） .
A. 32
B.34
C. 3
D. 12
4.332()90x y xy +-=在点(2，1)的切线方程为 ( ).
A.5460x y --=
B. 5460x y -+=
C. 45130x y +-=
D. 45130x y --= 5. 关于含参量非正常积分的一致收敛，不正确的是 ( ). A. 0e cos px xydx +∞
-⎰在[,](0)a b p >上一致收敛
B.
xy xe dx +∞
-⎰
在[0,]b 上一致收敛
C. 2
0cos 1xy
dx x +∞
+⎰
在[,]-∞+∞上一致收敛 D. 2
e x y dx +∞
-⎰在[,](0)a b a >上一致收敛
6. 方程sin 0y y xe +=所确定的曲线()y f x =在(0,0)点的切线斜率为（ ）
A ．-1 B. 1 C. 0.5 D. -0.5 7. 函数xy y x =，则y '的值是（ ）
A.1
xy xyx
- B. 2
(ln 1)y x + C. 2(ln 1)1ln y x xy x
+- D. 2(ln 1)
1ln y x x x +-
8. 方程2sin 0x y xy ++=在原点（0,0）的某邻域内必可确定隐函数的形式为（ ）
A. ()y f x =
B. ()x g y =
C. 两种形式都能
D. 两种形式都不能 9. 椭圆27222=+y x 上横坐标与纵坐标相等的点的切线斜率为( )
A. -2 B ．-0.5 C. 0.5 D. 2
四、解答题
1. 求方程组2220
10
u v x y u v xy ⎧+--=⎨-+-+=⎩所确定的隐函数组(,),(,)x x u v y y u v ==
的偏导数
,,,x x y y u v u v
∂∂∂∂∂∂∂∂ 2. 求下面的方程组所确定的隐函数组的导数：
222222
z ,.x y z a dy d dx dx x y ax az
⎧++=⎪
⎨+=+⎪⎩求， 3. 方程ln 1xz xy z y e ++=在点(0,1, 1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量
的函数？
4. 设22z x y =+，其中()y f x =为由方程221x xy y -+=所确定的隐函数，求
22,dz d z
dx dx
. 5. 已知sin cos u
u
x e u v
y e u v
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求,,,x y x y u u v v . 6. 证明对任意常数,ρϕ，球面2222x y z ρ++=与锥面2222tan x y z ϕ+=是正交的
7. 已知ax bx b
xy
a
e e e
dy x
----=
⎰，计算积分0(0)ax bx
e e dx b a x --+∞->>⎰. 8. 已知sin sin cos b
a bx ax xydy x -=
⎰，求0sin sin ,(0,)px bx ax I e
dx p b a x
+∞--=>>⎰． 9. 求1
(0).ln b a
x x I dx b a x -=>>⎰
10. 对于()s Γ有()(1)sin s s s π
π
ΓΓ-=
，(01)s <<，利用该公式计算1
ln ()x dx Γ⎰（其
中0
ln sin ln 22
udu π
π
=-
⎰）
11.
应用
2
1
2
2
-
∞
+-=
⎰
a
dt e
at π
)0(>a ．证明2
302
4
2
-
∞
+-=
⎰a
dt e
t at π
12. 已知,)2
1(π=
Γ试证
.
2
2
2π=
⎰
∞
+∞
--dx e x x 13. 讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性．
(1)
dy e y x ⎰
+∞
-0
2
在],[b a )0(>a 上一致收敛；
（2）
x xe dx α+∞
-⎰
在[,)(0)b b +∞>上关于α的一致收敛性．
（3）
sin xu
x
e dx x
+∞
-⎰
在[)0,+∞上一致收敛． （4）2
sin 1y
x I y dx x
+∞
=
+⎰
（）在[0,)y ∈+∞中的一致收敛性． 14. 讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性．
1）()2
0tx I t e dx +∞
-=⎰
在()0,+∞上一致收敛吗？
2）()2
20cos tx I t e x x dx +∞
-=⎰
在()0,+∞上一致收敛吗？
3）()2
0tx I t dx -=⎰
在()0,+∞上一致收敛吗？
4）()0xy I x xe dy +∞
-=⎰在[]0,b 上一致收敛吗？ 5）()0
xy I x xe dy +∞
-=
⎰
在()0,+∞上一致收敛吗？
15. 求下列极限
(1)dx x ⎰
-→+1
1
2
20lim
α
α； (2)dx x x ⎰
→2
20cos lim
αα；
（3）110lim
α
α+-+→⎰ （4）122
lim 1dx
x α
αα
+→++⎰． 16. 1）设dy e x F x x
xy ⎰
-=
2
2
)(，求)(x F '．
2）设()()0
()y
F y x y f x dx =+⎰，其中()f x 可导，求()F y ''．
3）设()()2
2220
sin t x t
x t
F t dx x y t dy +-=
+-⎰
⎰
，求()F t '．
17. 应用含参变量积分性质计算 1）()22220
ln(sin cos ),I x x d π
θθθ=
+⎰
2）20
1cos 1
ln
,(||1)1cos cos x dx x x
π
ααα+⋅>-⎰
第二十章 曲线积分
一 选择题
1．设L 是连接)0,1(-A ，)1,0(B ，)0,1(C 的折线，则
()L
x y ds +=⎰
（ ）
（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）2
2．设L 为椭圆13
422=+y x ，并且其周长为S ，则22
(3412)L x y ds ++⎰ = （ ） （A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S 3．设L 以)1,1(，)1,1(-，)1,1(--，)1,1(-为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则
22L
x dy y dx +=⎰
（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）0 4．设L 是抛物线)11(2≤≤-=x x y ,x 增加的方向为正向，则L
xds ⎰
和L
xdy ydx -=
⎰（ ） （A ）32,
0 （B ）0,0 （C ）32,85 （D ）0,8
5 5．设L 为122=+y x ，则曲线积分⎰
+L
ds y x )(22＝（ ）．
A ．０； Ｂ．π； Ｃ．π3； Ｄ．２π 6. 设L 为从A （0，0）到
B （4，3）的直线，则曲线积分
=-⎰
ds y x L
)(（ ）
A.
⎰
-
4
)43(dx x x ； B.⎰+-4016
9
1)43(dx x x ；
C.⎰-4
0)34(dy y y ； D.⎰+-40169
1)34(dy y y
7． 设L 为取正向的圆周922=+y x ，则
⎰
=-+-L
dy x x dx y xy )4()22(2（ ）
A.0 ；
B.π18 ；
C. π18- ；
D. 以上答案都不对。

8．曲线弧上的曲线积分和
上的曲线积分有关系( )
A (,)(,)AB
BA
f x y ds f x y ds =-⎰⎰ B (,)(,)AB
BA
f x y ds f x y ds =⎰
⎰ C
(,)(,)AB BA
f x y ds f y x ds =⎰
⎰
D (,)(,)AB BA
f x y ds f x y ds =--⎰
⎰
9 设L 是平面可求面积的有界闭区域D 的边界，则D 的面积可表示为（ ）
A.
⎰
-L
ydx xdy B.
⎰+L
ydx xdy 21
C.⎰
L
ydx D.⎰L
xdy
二 填空题
1．设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则曲线积分
22()L
x y ds +=⎰。

2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分()L
x y ds +=⎰
3．设设L 是由原点O 沿2x y =到点A )1,1(，则曲线积分()L
x y dy -=⎰。

4．设L 是由点)1,1(-A 到)1,1(B 的线段，则
22(2)(2)L
x xy dx y xy dy -+-⎰
=
5. 设L 为取正向的圆周922=+y x ，则曲线积分
⎰
-L
ydx xdy ＝
6. 设L 是抛物线x y =2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧 则
⎰
=++-L
dx y x dy x y )()( .
7.设L 为三顶点分别为（0，0）、（3，0）、（3，2）的三角形的边界正方向， 则曲线积分
⎰
-+++-L
dy x y dx y x )635()42(=
8设L 为椭圆
,13
42
2=+y x 其周长为a ,则=++⎰ds y x xy L )432(22
9已知曲线2:(0L y x x =≤≤，则_______L
xds =⎰
10．L 为圆周42
2
=+y x ，计算对弧长的曲线积分
ds y x L
⎰
+22=
三 计算题
1,计算22c
I xydx x dy =
+⎰，其中曲线C 分别为1）直线y x =，2）抛物线2
y x
=，3）立
方抛物线3
y x =，都是有原点（0,0）到点(1,1)。

2. 计算
⎰-L
dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4)的一段弧;
3．已知曲线弧:L (01)y x =≤≤，计算L
xyds ⎰。

4．设L 是曲线2
1,1x t y t =+=+上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 2(2)L
I ydx x dy =
+-⎰
5． 求
2
()L
x y ds +⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=. 6．计算
2L
x ds ⎰
，其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周。

7．计算第一类曲线积分
L
x ds ⎰
，其中L 为双纽线22222()x y x y +=-。

8． ()()L
x y dx x y dy ++-⎰ ，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22
221x y a b +=周。

9．计算
L
⎰ ,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成
的扇形的边界。

10．计算2
2222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰ ,其中L 是222
x y a +=,顺时针方向
11． 计算
224L xdy ydx
x y -+⎰ ，其中L 为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.
12．利用曲线积分求下列星形线
33
cos ,
sin ,
x a t y a t ⎧=⎨=⎩ (02t π≤≤)） 这个平面曲线所围成图形的面积:。

第二十一章 重积分
一、判断题
1、若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，则(,)f x y 在D 上必然可积。

（ ）
2、在区域，1
1
:002
3D x
y ＃＃上有2()()D
D
x y d x
y d s s +?蝌蝌。

（ ） 3、二元函数在某点的两个累次极限存在，则在该点的重极限必存在。

（ ） 4、 积分
(,,)f x y z d n W
蝌?在球面坐标下其体积微元将变成rdrd d j q 。

（ ）
5、在区域，1
1
:002
3D x
y ＃＃上有2()()D
D
x y d x
y d s s +?蝌蝌。

（ ）
二、填空题 1、交换二重积分次序10
(,)y dy f x y dx 蝌
=
2、
||||1
||x y xy dxdy +≤=⎰⎰
3、由椭圆+++2
111)(c y b x a 1)(2
222=++c y b x a ，1221(0)a b a b -≠所围区域的面积为
4、设密度均匀的平面薄板方程为半椭圆0,122
22≥≤+y b
y a x ，则其重心为
三、选择题
1、设222{(,)|}D x y x y a =+?
，若
D
p =，则a = （ ）
A 1
B
C
D 2、设22{(,)|1}D x y x y =+?，1D 为D 在第一象限部分，则下列各式中不成立的是（ ）
A
1
4D D =
B 1
4D
D xydxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰ C 32
()0D
x x y dxdy +=⎰⎰
D
2332D
D
x y dxdy x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
3、设22{(,)|1}D x y x y =+?，22sin()D
M x y x y dxdy =
+⎰⎰， 22()cos()D
N x xy xy dxdy =+⎰⎰，22ln()D
P x y dxdy =+⎰⎰，则（ ）
A N P M <<
B M P N <<
C N M P <<
D P M N << 4、将2
31
2
(,)x x
I dx f x y dy -=
⎰
⎰交换积分次序后为（ ）
A. 4
302(,)y
y I dy f x y dx -=⎰⎰
B. 12330
01
2(,)(,)y
y
y I dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰
⎰⎰
C. 2
31
2
(,)y y
I dy f x y dx -=
⎰
⎰ D. 1
23
30
1
(,)(,)y
y
I dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰
⎰⎰
5、设22
20
(,)y
y
I dy f x y dx =⎰
⎰，则更换积分次序后I = ( )
A.
dy y x f dx x
x ⎰
⎰22
2
),( B. dy y x f dx x
x
⎰
⎰24
),(
C.
dy y x f x d x x
⎰⎰
2
22
),( D. dy y x f dx x
x ⎰⎰2
40
),(
6、设(,)b
x
a
a I dx f x y dy =⎰
⎰ ()a b <，则改变积分次序后I =( )
A (,)b
y
a
a dy f x y dx ⎰
⎰ B
(,)b
a
a y
dy f x y dx ⎰
⎰
C
(,)b
b
a
y
dy f x y dx ⎰
⎰ D
(,)b
y
a
b
dy f x y dx ⎰
⎰
7、设L 是平面可求面积的有界闭区域D 的边界，则D 的面积可表示为（ ） A.
⎰
-L
ydx xdy B.
⎰+L ydx xdy 2
1
C.⎰
L
ydx D.⎰L
xdy
8、设有空间有界闭区域{}
0,),,(2
2221≥≤++=Ωz R z y x z y x ，
{}
0,0,0,),,(22222≥≥≥≤++=Ωz y x R z y x z y x ，则有（ ）
A 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4xdv xdv B 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4ydv ydv
C 、
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4xyzdv xyzdv D 、⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4zdv zdv
9、设D 为平面上一个闭区域, L 是包围了区域D 的边界正向曲线，则D 的面积为( ) A.
L 1
2
xdy ydx +⎰ B. L
xdy ⎰
C.
L
ydx ⎰ D. L
xdy ydx -⎰
四、计算题 1
、计算二重积分D
，其中D 是由圆周22x y x +=所围区域.
2、计算二重积分()D
x y dxdy +⎰⎰，其中22
{(,)}D x y x y x y =+≤+。

3、求sgn(1)D
xy dxdy -⎰⎰，其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤。

4、计算如下积分
[]02
02
x y x y d σ≤≤≤≤+⎰⎰.
5、计算：⎰+-=
L y x ydx
xdy I 22, 其中L 为任一闭区域的边界线.
6、应用Green 公式计算⎰+-=
L y x ydx
xdy I 22（L 的方向取逆时针方向）,其中（1）原点不在L
所围成的闭区域的内部和边界上；（2）原点在L 所围成的闭区域的内部. 7、计算
22
()x y dxdydz Ω
+⎰⎰⎰
，其中Ω是由曲面222()x y z +=与4z =为界面的闭区域。

8、计算V
I zdxdydz =⎰⎰⎰，其中V 由椭球222
22210x y z z a b c ++≤≥与围成的区域.
9、设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线2
y x =及直线y x =所围成，它在点(,)x y 处的面
密度2
(,)x y x y μ=，求该薄片的质心。

五、证明题
1、证明：由椭圆+++2
111)(c y b x a 1)(2
222=++c y b x a 所围的面积1
221b a b a D -=∆π
，
其中01221≠-b a b a . 2、验证曲线积分
⎰++L
dy y x dx y x )cos ()sin 2(与路径无关，并求
dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数.
3、设 (,),(,)u x y v x y 是具有二阶连续偏导的函数，证明：
(1) 2222()()D D L
u u u v u v u
v dxdy d v ds x y x x y y n σ∂∂∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ . 其中D 为光滑曲线L 所围成的平面区域，而
cos(,)sin(,)u u u
n x n x n x y
∂∂∂=+∂∂∂ 是(,),(,)u x y v x y 沿着曲线L 的外法线n 的方向导数.
(2) 并利用该公式计算
()D
f f
x
y dxdy x y
∂∂+∂∂⎰⎰. 其中{}
22(,)1D x y x y =+≤, (,)f x y 在D 上有二阶连续偏导数且2222()
22x y f f e x y
-+∂∂+=∂∂.
第二十二章 曲面积分
1计算下列对面积的曲面积分 1）⎰⎰∑⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++dS y x z 342，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的一部分。

2）
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰，其中∑是锥面z =
被柱面222x y ax +=所截得的有限
部分。

2计算第一型的曲面积分
dS z y x S
⎰⎰++)(，其中S 是上半球面0,2222
≥=++z a z y x
.
3．计算3
I z dS ∑=⎰⎰，其中∑为上半球面z =
4．计算2I xdydz ydzdx zdxdy ∑
=
++⎰⎰，其中∑为曲面2
21z x
y =--在第一卦限的部分
取上侧。

5．计算曲面积分⎰⎰∑
-++=
dxdy z dzdx y dydz x I )1(3222
33, 其中∑是曲面 )0(122≥--=z y x z 的上侧。

6 求∑
⎰⎰
，其中∑为锥面z =介于0z =及1z =之间的部分.
7计算曲面积分I zdS ∑
=
⎰⎰
，其中∑为锥面z =在柱体22
2x y x +≤内的部分。

8 设曲面:1x y z ∑++=求ds y x )(⎰⎰∑
+。

9.设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，计算⎰⎰∑
-++)1(32dxdy z ydzdx xdydz 。

10.设曲面∑是z =的上侧，计算dxdy x xdzdx xydydz ⎰⎰∑
++2。

.
11计算
zdxdy xdydz ydxdz ∑
++⎰⎰
，其中∑是柱面22
1x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一象向部分的前侧。

12 求球面2
2
2
2
a z y x =++含在柱面ax y x =+2
2
内部的那一部分面积。

13 应用Gaus s 公式计算曲面积分，
zdxdy
dzdx y xdydz S
++⎰⎰,其中
S
是上半球面
222y x a z --=的外侧.（7分）
14 利用高斯公式计算曲面积分：
()()x y dxdy x y z dydz
∑
-+
-⎰⎰ ，其中∑为柱面221x y +=及平面0z =及3z =所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。

15 利用高斯公式计算曲面积分
()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-⎰⎰ ，其中∑为曲面
z =及平面0z =﹑(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界的外侧。

16利用高斯公式计算曲面积分
222(cos cos cos )x y z dS αβγ∑
++⎰⎰，其中∑为锥面222x y z +=介于平面0z =﹑(0)z h h =>之间的部分的下侧，cos α﹑cos β﹑cos γ是
∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦。

17利用高斯公式计算三重积分
()xy yz zx dxdydz Ω
++⎰⎰⎰，
其中Ω是由0x ≥，0y ≥，01z ≤≤及221x y +≤所确定的空间闭区域。

18 利用斯托克斯公式计算曲线积分：
222222
()()()L
y z dx z x dy x y dz +++++⎰ ，其中L 为平面1x y z ++=与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面1x y z ++=上侧的法向量之间符合右手规则；
19 利用斯托克斯公式计算曲线积分：
()()()L
z y dx x z dy y x dz -+-+-⎰ ，其中L 为
以点(,0,0)A a ﹑(0,,0)B a ﹑(0,0,)C a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向。

20 利用斯托克斯公式计算曲线积分：⎰
++L
xdz zdy ydx ，其中L 为球面2
222a
z y x =++与平面0=++z y x 的交线（此交线为圆周），从X 轴的正方向看，此圆周的方向为逆时针方向。