高三文科数学第一学期期末考试

高三文科数学第一学期期末考试
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分：共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前：考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写
在答题卡上。

2．第小题选出答案后：用铅笔把题答卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动：用橡
皮擦干净后：再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。

在每小题给出的四个选项中：只有
一项是符合题目要求的。

1．已知集合A C x
y x A R U U 则集合},1
1|{,-
=== （ ）
A ．}10|{<≤x x
B ．}10|{≥<x x x 或
C ．}1|{≥x x
D ．}0|{<x x
2．设a 是实数：且2
11i
i a ++
+是实数：则a= （ ）
A ．1
B ．21
C ．2
3
D ．2 3．已知向量b a b a n b a ⋅=+==||),,2(),1,1(若：则n= （ ） A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
4．有关命题的说法错误的是
（ ）
A ．命题“若1,0232
==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12
≠+-≠x x x 则” B ．“x=1”是“0232
=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题：则p 、q 均为假命题
D ．对于命题使得R x p ∈∃:012
<++x x ：
则01,:2
≥++∈∀⌝x x R x p 均有
5．三视图如右图的几何体的全面积是 （ ） A ．22+ B ．21+
C ．32+
D ．31+
6．已知函数]4
,3[)0(sin 2)(π
πωω-
>=在区间x x f
上的最大值是2：则ω的最小值等于（ ）
A ．
3
2 B ．
2
3 C ．2 D ．3 7．设a,b 是两个实数：且a ≠b ： ①,3
2
2
3
5
5
b a b a b a +>+ ②)1(22
2
--≥+b a b a ：
③
2>+a
b
b a 。

上述三个式子恒成立的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
8．右面的程序框图中：输出的数是（ ） A ．2450 B ．2550 C ．5050 D ．4900
9．各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ：且132,2
1
,a a a 成等差数列：则5443
a a a a ++的值 为
（ ）
A ．
2
5
1- B ．
2
1
5+ C ．
2
1
5- D ．
215+或2
1
5- 10．设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系 中：不可能正确的是
（ ）
11．已知抛物线1)0(222
222
=->=b
y a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ：点A 是两曲线
的交点：且AF ⊥x 轴：则双曲线的离心率为 （ ）
A ．
2
1
5+ B ．13+ C ．12+
D ．
2
1
22+ 12．定义在R 上的函数|2|2)(,]3,1[),2()()(--=∈+=x x f x x f x f x f 时当满足：则
（ ） A ．)6(cos )6(sin
π
πf f <
B ．)1(cos )1(sin f f >
C ．)3
2(sin )32(cos π
πf f <
D ．)2(sin )2(cos f f >
第Ⅱ卷（非选择题：共90分）
注意事项：
1．用0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题：每小题4分：共16分。

13．若)2tan(,3)tan(,2tan αβαβα-=-=则的值为 ：
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人：并根据所得数据画了样本的
频率分布直方图（如下图）。

为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系：
要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查：则在[2500：3000]（元）月收入段应抽出 人：
15．以椭圆
1144
1692
2=+y x 的右焦点为圆心：且与
双曲线
116
92
2=-y x 的渐近线相切的圆的方程 为 ：
16．已知一个凸多面体共有9个面：所有棱长均为1：
其平面展开图如右图所示：则该凸多面体的体积 V= ：
三、解答题：本大题共6小题：满分74分。

解答须写出文字说明：证明过程和演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC 中：角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ：已知32,3
==
a A π。

设B=x ：△ABC 的周长为y 。

（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域： （2）求)(x f y =的单调区间。

18．（本小题满分12分）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2：红桃3：红桃4：方片
4）玩游戏：他们将扑克牌洗匀后：背面朝上放在桌面上：甲先抽：乙后抽：抽出的牌不放回：各抽一张。

（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字：写出甲乙二人抽到的牌的所有情况： （2）若甲抽到红桃3：则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大：则甲胜：否则：则乙胜。

你认为此游
戏是否公平：说明你的理由。

19．（本小题满分12分）已知数列的等比数列公比是首项为4
1
,41}{1==
q a a n ：设*)(log 324
1N n a b n n ∈=+：数列n n n n b a c c ⋅=满足}{。

（1）求证：}{n b 是等差数列： （2）求数列}{n c 的前n 项和S n ：
20．（本小题满分12分）如图：三棱锥P —ABC 中：PA ⊥底面ABC ：△ABC 为正三角形：
D 、
E 分别是BC 、CA 的中点。

（1）证明：平面PBE ⊥平面PAC ：
（2）如何在BC 上找一点F ：使AD//平面PEF ？
并说明理由：
（3）若PA=AB=2：对于（2）的点F ：求三棱锥
B —PEF 的体积。

21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点为F 1：F 2：椭圆上
一点M )3
3
,362(
满足.021=⋅MF MF （1）求椭圆的方程：
（2）若直线L ：y=2+kx 与椭圆恒有不同交点A 、B ：且1>⋅OB OA （O 为坐标原点）：
求k 的范围。

22．（本小题满分14分）设函数2
)1(ln 2)(--=x x x f ： （1）求函数)(x f 的单调递增区间：
（2）若关于x 的方程]3,1[03)(2
在区间---+a x x x f 内恰有两个相异的实根：求实
数a 的取值范围。

参考答案
一、选择题
AADCA CBACD CD 二、填空题 13．
7
1 14．25 15．16)5(2
2=+-y x 16．621+
三、解答题
17．解（1）：△ABC 的内角为A+B+C=π
由A=
.3
200,0,3
π
π
<
<>>B C B 得……………………2分 由正弦定得知：
x x B A
BC AC sin 4sin 3
sin
3
2sin sin ===
π…………………………4分
).3
2sin(4sin sin x C A BC AB -==
π
……………………6分 因为y=AB+BC+AC 所以).3
20(32)32sin(
4sin 4π
π<<+-+=x x x y ……………………7分 （2）因为32)sin 2
1
cos 23(sin 4+++
=x x x y 32)6
sin(34++
=π
x ……………………9分
而,3
20π
<
<x
.6
56
6
π
π
π
<+<∴
x …………………………11分 当
)(,3
0,26
6
x f x x 时即π
π
π
π
≤
<≤
+
<单调递增
当)(,3
23,6562x f x x 时即πππππ<≤<+≤单调递减 ).3
2,3[],3,0()(πππ递减区间为的单调递增区间为x f y =∴………………12分
18．解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为
（2：3）、（2：4）（2：4′）、（3：2）、（3：4）、（3：4′）、（4：2）、（4：3）、
（4：4′）、（4：2′）、（4′：3）、（4′：4）：共12种不同情况。

………………4分
（2）甲抽到3：乙抽到的牌只能是2：4：4。

因此乙抽到的牌的数字大3的概率为
;3
2
……………………8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3：2）、（4：2）、（4：3）（4′：2）、（4′：3）共5种
………………11分
甲胜的概率p 1=
125：乙获胜的概率为,12
72=p ,12
7
125<
∴此游戏不公平………………………………12分
19．解：（1）由题意知：*)()4
1(N n a n n ∈=……………………4分
12log 3,2log 314
114
1=-=-=a b a b n n
3log 3log 3log 3log 34
11
4
1
4
114
11===-=-∴+++q a a a a b b n
n n n n n ∴数列3,1}{1==d b b n 公差是首项的等差数列……………………6分 （2）由（1）知：*)(23,)4
1(N n n b a n n
n ∈-==
*)(,)4
1
()23(N n n c n n ∈⨯-=∴…………………………8分
,)41
()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴-
于是1
432)4
1()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S
两式相减得1
32)4
1()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S
.)4
1
()23(211+⨯+-=
n n *)()41(3812321
N n n S n n ∈⨯+-=∴+……………………12分
20．（1）∵PA ⊥底面ABC ：
∴PA ⊥BE 。

又∵△ABC 是正三角形：且E 为AC 的中点： ∴BE ⊥CA 。

又PA CA=A ：
∴BE ⊥平面PAC 。

∵BE ⊂平面PBE ：
∴平面PBE ⊥平面PAC …………………………4分 （2）取CD 的中点F ：则F 即为所求。

∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点： ∴EF//AD 。

又EF ⊂平面PEF ：AD ⊄平面PEF ：
∴AD//平面PEF 。

…………………………8分 （3）.4
423232123131=⋅⋅⋅⋅=⋅=
=--BEF BEF P PEF B S PA V V ……………………12分 21．解：（1）设F 1（－c,0）：F 2（c ：0）
)3
3,362(1--
-=c MF )3
3,362(2--
=c MF 021=⋅MF MF
0)3
3
()362(
222=++-∴c 32=∴c ……………………………………………………2分 322=-∴b a ①
又点M 在椭圆上
131382
2=+∴
b
a ② 由①代入②得
1)
3(31382
2=-+a a 整理为：0862
4
=+-a a
4222==∴a a 或 32>a
1,422==∴b a …………………………4分
∴椭圆方程为14
22
=+y x …………………………5分 （2）由0122)41(,2
1
4
222
2=+++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 解得消去………………7分 设),(),,(2211y x B y x A
则)2)(2(21212121+++=+=⋅kx kx x x y y x x OB OA
141462)(2)1(2
2
21212
>+-=++++=k
k x x k x x k ………………10分 ,41
041,85222>>-=∆<∴k k k 得又由
,8
5412<<∴k )4
10
,21()21,410(
-∈∴k ……………………12分 22．解：（1）函数)(x f 的定义域),0(+∞：……………………1分
.)
1(2)]1(1[2)(2x
x x x x x f +-=--=' ……………………2分
x x f x 的则使0)(,0>'> 的取值范围为),2
5
1,
0(+ ).2
5
1,
0()(+∴的单调递增区间是函数x f ……………………4分 （2）方法1：2
)1(ln 2)(--=x x x f
.0ln 2103)(2=-++⇔=--+∴x a x a x x x f ………………6分
令x a x x g ln 21)(-++=
0,221)(>-=-
='x x
x x x g 且 由.200)(,20)(<<<'>>'x x g x x g 得得
)(x g ∴在区间[1：2]内单调递减：在区间[2：3]内单调递增：………………9分
故]3,1[03)(2
在区间=--+a x x x f 内恰有两个相异实根
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≥⇔.0)3(,0)2(0
)1(g g g …………………………12分
即32ln 243ln 2:.03ln 24,02ln 23,02-<≤-⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+<-+≥+a a a a 解得 综上所述：a 的取值范围是[2ln3－4：2ln2－3)。

……………………14分 方法2：2
)1(ln 2)(--=x x x f
.0ln 2103)(2=-++⇔=--+∴x a x a x x x f ………………6分
即,1ln 2--=x x a 令,1ln 2)(--=x x x h
,0,212)(>-=-=
'x x
x x x h 且 由.2,0)(,200)(><'<<>'x x h x x h 得得
)(x h '∴在区间[1：2]内单调递增：在区间[2：3]内单调递减。

……………………9分 ,43ln 2)3(,32ln 2)2(,2)1(-=-=-=h h h ),3()1(h h <又
故]3,1[03)(2
在区间=--+a x x x f 内恰有两个相异实根
).2()3(h a h <≤⇔…………………………12分 .32ln 243ln 2-<≤-a 即
综上所述：a 的取值范围是[2ln3－4：2ln2－3)。

……………………14分。