2020版高考数学第八章立体几何3第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系题培优练文(含解析)新人教A

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以 EO ∥AB ，OF ∥CD ，且 EO ＝OF ＝ CD ，又 AB ⊥CD ，所以 EO ⊥OF ，∠OEF 为异面直线 EF 与 AB
所成的角，由△EOF 为等腰直角三角形，可得∠OEF ＝π ，故选 B.
第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
[基础题组练]
1．已知异面直线 a ，b 分别在平面 α ，β 内，且 α ∩β ＝c ，那么直线 c 一定( )
A ．与 a ，b 都相交
B ．只能与 a ，b 中的一条相交
C ．至少与 a ，b 中的一条相交
D ．与 a ，b 都平行
解析：选 C.若 c 与 a ，b 都不相交，则 c 与 a ，b 都平行，根据公理 4，知 a ∥b ，与 a ，b
异面矛盾．
2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(
)
A ．空间四边形
C ．菱形
B ．矩形
D ．正方形
解析：选 B.
如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形． 因为 E ，F 分别为 AB ，BC 的中点， 所以 EF ∥AC . 又 FG ∥BD ，
所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角． 而 AC 与 BD 所成的角为 90°，
所以∠EFG ＝90°，故四边形 EFGH 为矩形．
3．已知直线 a ，b 分别在两个不同的平面 α ，β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平
面 α 和平面 β 相交”的(
)
A ．充分不必要条件
C ．充要条件 B ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选 A.若直线 a ，b 相交，设交点为 P ，则 P ∈a ，P ∈b .又 a ⊂ α ，b ⊂ β ，所以 P ∈α ，
P ∈β ，故 α ，β 相交．反之，若α ，β 相交，则 a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直
线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件．
4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体 ABCD 中，E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，AB
＝CD ，AB ⊥CD ，则异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为(
)
A.
C.
π 6
π 3
π B.
π D.
解析：选 B.取 BD 的中点 O ，连接 OE ，OF ，因为 E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，所
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5．已知棱长为 a 的正方体 ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为 CD ，AD 的中点，则 MN 与
A ′C ′的位置关系是________________________________________________________．
解析：如图，由题意可知 MN ∥AC .又因为 AC ∥A ′C ′，
所以 MN ∥A ′C ′.
答案：平行
6．给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交，则 α 与 β 相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面． 其中真命题的序号是________．
解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一
个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线
可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线 也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．
答案：①②③
7.如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，O 为正方形 ABCD 的中心，H 为直线 B 1D 与平面 ACD 1 的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．
证明：如图，连接 BD ，B 1D 1， 则 BD ∩AC ＝O ，
因为 BB 1 綊 DD 1，
所以四边形 BB 1D 1D 为平行四边形， 又 H ∈B 1D ，
B 1D 平面 BB 1D 1D ，
则 H ∈平面 BB 1D 1D ，
因为平面 ACD 1∩平面 BB 1D 1D ＝OD 1， 所以 H ∈OD 1.
即 D 1、H 、O 三点共线．
8．在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， (1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小；
(2)若 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，求 A 1C 1 与 EF 所成角的大小． 解：(1)如图，连接 B 1C ，AB 1，由 ABCD A 1B 1C 1D 1 是正方体，易知 A 1D ∥
B 1
C ，从而 B 1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A 1
D 所成的角．
因为 AB 1＝AC ＝B 1C ，
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又因为|BC 1|＝|C 1D |＝ 6，所以∠BC 1D ＝
.
2 解析：取 A ′C ′的中点 M ，连接 EM ，MK ，KF ，EF ，则 EM 綊 CC ′綊 KF ，
所以∠B 1CA ＝60°.
即 A 1D 与 AC 所成的角为 60°.
(2)连接 BD ，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，
所以 EF ∥BD ，所以 EF ⊥AC . 所以 EF ⊥A 1C 1.
即 A 1C 1 与 EF 所成的角为 90°.
[综合题组练]
1．如图所示，平面α ∩平面 β ＝l ，A ∈α ，B ∈α ，AB ∩l ＝D ，C ∈β ，C l ，则平面 ABC
与平面 β 的交线是(
)
A ．直线 AC
C ．直线 CD
B ．直线 AB
D ．直线 BC
解析：选 C.由题意知，D ∈l ，l β ，所以 D ∈β ， 又因为 D ∈AB ，所以 D ∈平面 ABC ，
所以点 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上． 又因为 C ∈平面 ABC ，C ∈β ，
所以点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上， 所以平面 ABC ∩平面 β ＝CD .
2．在正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，|AB |＝ 2|BB 1|，则 AB 1 与 BC 1 所成角的大小为(
)
A.
C.
π 6
5π 12
π
B.
π D.
解析：选 D.将正三棱柱 ABC A 1B 1C 1 补为四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1，连接 C 1D ，BD ，则 C 1D ∥B 1A ， ∠BC 1D 为所求角或其补角．设|BB 1|＝ 2，则|BC |＝|CD |＝2，
∠BCD ＝120°，|BD |＝2 3，
π
3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱 ABC A ′B ′C ′中，点 E ，F ，H ，
K 分别为 AC ′，CB ′，A ′B ′，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从 K ，
H ，G ，B ′四点中取一点作为 P ，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，
则 P 为________．
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得四边形 EFKM 为平行四边形，若取点 K 为 P ，则 AA ′∥BB ′∥CC ′∥PF ，故与平面 PEF 平行
的棱超过 2 条；因为 HB ′∥MK ，MK ∥EF ，所以 HB ′∥EF ，若取点 H 或 B ′为 P ，则平面 PEF
在 △R t
EGF 中，由 EG ＝FG ＝ AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线 EF 与
与平面 EFB ′A ′为同一平面，与平面 EFB ′A ′平行的棱只有 AB ，不符合题意；连接 BC ′，
则 EF ∥A ′B ′∥AB ，若取点 G 为 P ，则 AB ，A ′B ′与平面 PEF 平行．
答案：G
4．如图，已知圆柱的轴截面 ABB 1A 1 是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C 1 是圆柱上
底面弧 A 1B 1 的中点，那么异面直线 AC 1 与 BC 所成角的正切值为________．
解析：取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D ，连接 C 1D ，AD ， 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，
所以 AD ∥BC ，
所以直线 AC 1 与 AD 所成角等于异面直线 AC 1 与 BC 所成角，因为 C 1 是 圆柱上底面弧 A 1B 1 的中点，
所以 C 1D ⊥圆柱下底面，所以 C 1D ⊥AD ，
因为圆柱的轴截面 ABB 1A 1 是正方形， 所以 C 1D ＝ 2AD ，
所以直线 AC 1 与 AD 所成角的正切值为 2，
所以异面直线 AC 1 与 BC 所成角的正切值为 2. 答案： 2
5.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是 BC ，AD 的中 点．
(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；
(2)若 AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求 EF 与 BD 所成的角．
解：(1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF
与 BE 共面，即 AD 与 BC 共面，所以 A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 所在平面外的
一点相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线．
(2)取 CD 的中点 G ，连接 EG ，FG ，则 AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线
EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角．
又因为 AC ⊥BD ，则 FG ⊥EG .
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BD 所成的角为 45°.
6.(综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的
点，且 AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .
(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；
(2)m ，n 满足什么条件时，四边形 EFGH 是平行四边形？
n ＋1 因为 ＝EH BD AE ＋EB m ＋1 m ＋1 (3)在(2)的条件下，若 AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .
解：(1)证明：因为 AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以 EH ∥BD . 又 CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以 FG ∥BD .所以 EH ∥FG . 所以 E ，F ，G ，H 四点共面．
(2)当 EH ∥FG ，且 EH ＝FG 时，四边形 EFGH 为平行四边形．
AE m m
＝ ，所以 EH ＝ BD .
n
同理可得 FG ＝ BD ，由 EH ＝FG ，得 m ＝n .
故当 m ＝n 时，四边形 EFGH 为平行四边形．
(3)证明：当 m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以 EF ∥AC ，又 EH ∥BD ，所以∠FEH 是 AC 与
BD 所成的角(或其补角)，因为 AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形 EFGH 为矩形，所
以 EG ＝FH .。