福建省福州八中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

福州八中2013-2014学年高二上学期期末考试数学〔理〕试题
第1卷
一、选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上〕
1. 命题“∀x R ∈，2210x x -+<〞的否认是
A ．∀x R ∈，2210x x -+≥
B ．∃x R ∈，2210x x -+≥
C ．∃x R ∈，2210x x -+≤
D ． ∃x R ∈，2210x x -+< 2．抛物线2
2y x =的焦点坐标是 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)8D ．1(0,)4
3. 如图，四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，如此
1
()2
AB BD BC ++化简的结果是
A ．DM
B ．BM
C ．CM
D ． 4. 有如下四个命题：
①“假设0x y += , 如此,x y 互为相反数〞的逆命题； ②“全等三角形的面积相等〞的否命题；
③“假设1q ≤ ,如此2
20x x q ++=有实根〞的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等〞逆命题； 其中真命题为
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
5.设集合{}
2|40A x x x =-<，集合{}|03B x x =<<，如此""m A ∈是""m B ∈ 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.
双曲线的渐近线为y =，且双曲线的焦点与椭圆
19
252
2=+y x 的焦点一样，如此双曲线方程为
A ．
221824x y -=B ．22
1124x y -= C ．
221248x y -=D ．22
1412
x y -= 7. 直线l : x －2y+2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B, 如此该椭圆的离心率为 A.
15B. 25
8. 平面α过点(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,3)C ，如此原点O 到平面α的距离为 A ．3 B ．6 C
D
．二、填空题〔本大题共3小题，每一小题5分，共15分〕
9. 顺次连接椭圆
22
12516
x y +=的四个顶点，得到的四边形面积等于_________。

10. 向量a =(1，2，-2)，b =〔-2，x ，y 〕，且a //b ，如此x y -=。

11.抛物线x y 82
=过其焦点F 的直线交抛物线于B A 、两点,过AB 中点M 作y 轴垂线交y 轴于点N ,假设2=MN ,如此AB =_______.
三、解答题〔本大题共有3个小题，共45分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.〕
13.〔本小题总分为15分〕
R m ∈，设命题P ：方程
22
132x y m m +=-+表示的图象是双曲线；命题Q ：关于x 的不等式220x x m ++<有解。

假设命题“P ⌝〞与“Q P ∨〞
都为真
命题，求m 的取值范围． 14.〔本小题总分为15分〕
如图，在几何体ABCDE 中，⊥BE 平面ABC ，
BE CD //，ABC ∆是等腰直角三角形
，
090=∠ABC ，且1,2===CD AB BE ，点F 是AE 的中点．建立适当的空间直角坐标系，利
用空间向量方法解答以下问题： 〔Ⅰ〕求证：//DF 平面ABC ；
〔Ⅱ〕求AB 与平面BDF 所成角的正弦值．
15. 〔本小题总分为15分〕点(4,4)-在抛物线C ：2
2(0)y px p =>上，过焦点F 且斜率为
k (0)k >的直线交抛物线
C
于A 、B 两点，
第2卷
一、选择题〔本大题共3小题，每一小题5分，共15分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上〕
16. 假设向量a 、b 的坐标满足)2,1,2(--=+b a ，)2,3,4(--=-b a ，如此a ·b 等于 A ． 5B ．5-C ．7D ．1-
17.AB =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，12
33
OP OA OB =+,如此动点P 的轨迹方程是
A ．2214x y +=
B ．2214y x +=
C ．2219x y +=
D ．22
19
y x += 18.过点M (-2,0)作斜率为1k (1k ≠0)的直线与双曲线2
2
13
y x -=交于A 、B 两点，线段AB 的中点
为P ，O 为坐标原点，OP 的斜率为2k ，如此12k k 等于
A.
1
3
B.3
C. -13
D. -3
二、填空题〔本大题共2小题，每一小题5分，共10分〕
19.正四面体A BCD -的棱长为1，O 为底面BCD 的中心，如此AO AB ⋅=________.
20.双曲线
125
162
2=-y x 的左焦点为1F ，点P 为双曲线右支上一点，且1PF 与圆1622=+y x 相切于点N ，M 为线段1PF 的中点，O 为坐标原点，如此MN MO -=_________.
三、解答题〔本大题共有2个小题，共25分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.〕
21.〔本小题总分为12分〕
如图在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄AD ,AB 丄BC ,45BAC ∠=︒,2PA AD ==,1AC =.建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：
(Ⅰ)证明PC AD ⊥;
(Ⅱ)求二面角A PC D --的余弦值;
(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒,求AE 的长.
的离心率为
3
，焦距为23，点∵P
⌝与Q
P∨都为真命题
∴P假且Q真，可得：21
m
-≤<…………14分
∴实数m的取值范围为[2,1)
-…………15分
14．解：依题得，以点B为原点，,,
BA BC BE所在的直线分别为z
y
x,
,轴，建立如图的空间直角坐标系，………………1分
如此)0,0,0(B ，)0,0,2(A ，)0,2,0(C ，)1,2,0(D ，)2,0,0(E ，)1,0,1(F ， 所以)1,2,0(=BD ，)0,2,1(-=DF ．………………2分 〔Ⅰ〕易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,2)BE = 又10(2)0020DF BE =⨯+-⨯+⨯=
DF BE ∴⊥
又因为⊄DF 平面ABC ，
所以//DF 平面ABC ． …………………8分 〔Ⅱ〕设平面BDF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，
如此20,20,BD y z DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 即⎩⎨⎧-==y
z y x 22，
取1=y ，得，(2,1,2)=-n ． ……10分
又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，(2,0,0)BA =， 如此4002
sin cos ,3
94
BA BA BA
θ⋅++=<>=
=
=
⋅⋅n n n ， 故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为
3
2
．…………………………………15分 15．解：〔Ⅰ〕由得，1624p =⨯2p ∴=
所以抛物线C 的标准方程为2
4y x =。

……………………6分
第II 卷
一、选择题〔本大题共3小题，每一小题5分，共15
分〕
x
y
z
E
C B
D
A
F
P
A
B
C
y
z
BBB
二、填空题〔本大题共2小题，每一小题5分，共10分〕
23
-1 三、解答题〔本大题共有2个小题，共25分〕
21．解：〔1〕以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz -
……4分
630
cos ,sin ,66
AD n AD n AD n AD n
<>=
=
⇒<>=
得：二面角A PC D --的余弦值
6
6。

……8分 〔3〕设[0,2]AE h =∈；如此(0,0,)AE h =，11(,,)22
BE h =-，(2,1,0)CD =-
2
310cos ,1020BE CD BE CD h BE CD
h <>=
⇔
=
⇔=+
即10
AE = 。

……12分
设直线l 与直线AB 平行与椭圆相切于x 轴下方的P 点，显然当C 点与P 点重合时， △CAB 的面积取到最大值． 可设直线AB 的方程为1
2
y x m =-
+， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,14
,2122y x m x y 消去y 得222220x mx m -+-=． ……5分
令△=()()
2
2
24220m m ---=，
解得2,m =-或2m =〔舍去〕．
……6分
所以直线l 方程为2220x y ++=，
点C 到直线AB 的距离d 等于直线l 与直线AB 的距离， 即d 21025
+，
所以△CAB 的面积的最大值=
S 1121025521225
AB d ⋅⋅==． ……7分
〔Ⅱ〕设[]00011(,),0,2,(,)D x y x C x y ∈，
因为OD OC =λ，所以0101x x y y =λ⎧⎨=λ⎩，如此0
1
1......(1)......(2)x x y y ⎧
=⎪⎪λ
⎨
⎪=
⎪λ
⎩
……8分。