等比数列求和公式

等比数列求和公式
万年历2013 年3月6 日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟
站内搜索支持本站公益活动等比数列等比数列的通项公式
等比数列求和公式⑴ 等比数列：a (n+1)/an=q (n € N)。

(2)通项公式：an=a1 x q A(n-1);
推广式：an=am x qA(n-m);
(3)求和公式：Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-qAn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q 工1)
(q 为比值，n 为项数)
(4)性质：
①若m、n、p> q € N，且m+ n=p + q,贝H am*an=ap*aq ;
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q€ N，且m+n=2q，贝U am*an=aqA2
(5)"G 是a、b 的等比中项""GA2=ab (G 工0)".
(6)在等比数列中，首项a1 与公比q 都不为零.
注意：上述公式中an 表示等比数列的第n 项。

等比数列
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比
通常用字母q表示(q z 0)。

(1)等比数列的通项公式是：An=A1*q A(n—1)
若通项公式变形为an=a1/q*qAn(n € N*),当q> 0时，贝U
可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qAx上的一群孤立的点。

(2)等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-qAn)/(1-q)
=(a1-a1qAn)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qAn ( 即A-AqAn)
(前提：q工1)
任意两项am, an的关系为an=am • qA(n-m)
( 3)从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：al • an=a2 • an-仁a3 • an-2=, =ak • an-k+1 , k € {1,2,, ,n}
(4)等比中项：aq • ap=a「A2, ar则为ap, aq等比中项记n n=a1 • a2, an,贝U有n 2n-1=(an)2n-1 , n 2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幕Can,则是等比数列。

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等比中项定义：从第二项起，每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。

(5)无穷递缩等比数列各项和公式：无穷递缩等比数列各项和公式：
对于等比数列的前n 项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和。

性质
①若m、n、p、q € N*，且m + n=p + q,贝H am*an=ap*aq ;
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项” “ G A2=ab( G工0)” .
③若(an)是等比数列，公比为q1, (bn)也是等比数列，公比是q2，则
(a2n)，( a3n) , 是等比数列，公比为q1A2，q1A3,
(can), c是常数，(an*bn), (an/bn)是等比数列，公比为q1 ，q1q2，q1/q2。

( 4)按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。

(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q,则(log 以a 为底an 的对数) 成等差，公差为log 以a 为底q 的对数。

(7)等比数列前n 项之和
(8) 数列{An} 是等比数列，An=pn+q ，则An+K=pn+K 也是等比数列，
在等比数列中，首项A1 与公比q 都不为零.
注意：上述公式中A A n表示A的n次方。

(6)由于首项为al,公比为q的等比数列的通向公式可以写成
Sn=A1(1 -q5"(1 -q)=A1(q5-1)/(q-1)=(A1q5)/(q-1)-A1/(q-1)
an*q/a1=qAn ，它的指数函数y=aAx 有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

求等比数列通项公式an 的方法： (1)待定系数法：已
知a(n+1 )=2an+3，a1=1 ，求an
构造等比数列a(n+1 )+x=2(an+x)
a (n+1) =2an+x, v a (n+1) =2an+3 x=3
所以a( n+1 )+3/an+3=2
•••{ an+3}为首项为4,公比为2的等比数列，所以
an+3=a1*qA(n-1)=4*2A(n-1),an=2A(n+1)-3
等比数列的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式——复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金, 在计算下一期的利息,也就是人们通常说
的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)A
存期等比数列小故事：
根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最
早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国
王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知
晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很
需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他
便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口
说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1 粒麦子，第二个格子上放2 粒，
第三个格子上放4 粒，第四个格子上放8 粒,, 即每一个次序在后的格子
中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64 格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一
下就可以得出：1+2+2八2+2八3+2八4+ ,, +2八63=2八64-1，直接
写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所
要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500 圈，或在日地之间打个来回。

国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他
欠宰相西萨•班•达依尔的一笔永远也无法还清的债。

正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2 一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。

其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。

假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615 粒麦子所需要的时间，大约是5800 亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。

就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。

这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。

”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。

西萨•班•达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐,, 我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）。