2021年高考数学一轮复习 第47讲 直线与圆锥曲线

共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选 A.]
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．
3 [结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x＝0，过点(0,1)且平行于 x
轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x＝0). ]
(3)过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )
(4)若抛物线上存在关于直线 l 对称的两点，则 l 与抛物线有两个交点．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
x2 y2 2．(教材改编)直线 y＝k(x－1)＋1 与椭圆 ＋ ＝1 的位置关系是( )
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A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
A [直线 y＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]
3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公
线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个
公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点．( )
-1-
(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点．( )
5
8 10 D.
5
C [ 设 A，B 两点的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y ＝x＋t ，由
x2＋4y2＝4， 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
第 1 课时 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的位置关系
1．过抛物线 y2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于
2，则这样的直线( )
A．有且只有一条
B．有且只有两条C．有且只有三条D．来自且只有四条-2-p
p
B [设该抛物线焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋ ＋xB＋ ＝
m
m≠5，故 m≥1 且 m≠5.] 3．若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( )
15 15 －， A. 3 3
15 0， B. 3
15 － ，0 C. 3
15 － ，－1 D. 3
y＝kx＋2，
D [由
得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点
x2－y2＝6
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1－k2≠0，
Δ＝16k2－4 1－k2×
则
4k x1＋x2＝1－k2＞0，
－10 x1x2＝1－k2＞0，
－10 ＞0，
解得－ 15＜k＜－1， 3
15
－ ，－1
即 k 的取值范围是 3
.]
[规律方法] 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
代 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，
5．(教材改编)已知与向量 v＝(1,0)平行的直线 l 与双曲线x2－y2＝1 相交于 A，B 两点， 4
则|AB|的最小值为________．
4 [由题 意可设 直线 l 的方 程为 y ＝m ，代 入x2－y2＝1 得 x2＝4(1＋ m2) ，所 以 x1＝ 4
4 1＋m2 ＝2 1＋m2，x2＝－2 1＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4 1＋m2≥4，即当 m＝0 时， |AB|有最小值 4.]
数 此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标
法
几
何 即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数
法
-3-
弦长问题
►考法 1 与弦长有关的问题
【例 1】 斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) 4
A．2
45 B.
5
4 10 C.
2
2
xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．] x2 y2
2．若直线 y＝kx＋1 与椭圆 ＋ ＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) 5m
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1
D．m≥1 且 m≠5
1 D [由于直线 y＝kx＋1 恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则 0< ≤1 且
1 1＋ ·
k2
y1＋y2 2－4y1y2.
[常用结论]
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称
轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切
F x，y ＝0
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线 l 与圆锥
曲线 C 有两个公共点；
Δ＝0⇔直线 l 与圆锥曲线 C 有一个公共点；
Δ＜0⇔直线 l 与圆锥曲线 C 有零个公共点．
(2)当 a＝0，b≠0 时，圆锥曲线 C 为抛物线或双曲线．
当 C 为双曲线时，l 与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有 1 个或 0 个．
当 C 为抛物线时，l 与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有 1 个．
2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1
－x2|＝ 1＋k2·
x1＋x2 2－4x1x2＝
1 1＋k2|y1－y2|＝
第八节 圆锥曲线的综合问题
[考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线 的简单应用；3.理解数形结合的思想．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线 C：F(x，y)＝0，
Ax＋By＋C＝0，
由
消去 y 得到关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0.