高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》全集汇编

【最新】高中数学《矩阵与变换》专题解析(1)
一、15
1．给定矩阵，
；求A 4B ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意已知矩阵A=
，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，
λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．
解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0
（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由=3，得A 的属于特征值3的特征向量α2=
由于B=
=2
+
=2α1+α2
故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =
+
=
点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．
2．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪
-+=-⎨⎪-=⎩
，并加以讨论.
【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩
；
当5
2
a =-
时，方程组无解；
当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪
=+∈⎨⎪=⎩
【解析】 【分析】
分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】
()()21312
2510
1
D a a a a
-=-=-+--，()()113
32
11111
x D a a a a
--=--=-+-，()21313
210
1
1
y D a a --=-=---，()211123510
1
z D a a
-=--=-
当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩；
当5
2a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧
⎪+-=-⎪
⎪--=-⎨⎪
⎪---=⎪⎩
，方程组无解；
当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪
-+=-⎨⎪-=⎩，
方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪
=+∈⎨⎪=⎩
【点睛】
本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.
3．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42
mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩
.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441
m D m m
=
=-，()242x m D m m m
m
+=
=-，
()()222211
y m m D m m m m m
+=
=--=-+.
①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，
原方程组有唯一解()()()22242
21142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩
；
②当240D m =-=时，2m =±.
（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；
（ii ）当2m =时，0x y
D D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪
⎨=-⎪⎩
.
【点睛】
本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.
4．用行列式解关于的二元一次方程组：1
2(1)x y x k y k +=⎧⎨
++=⎩
.
【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12
,11
k x y k k -==-- 【解析】 【分析】
由题方程组中x ,
y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】
由题意可得:11
D 21
k =+= 1k -,11
D 11
X k
k ==+,11 D 22y k k
=
=-,
∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1
D 1X x k ==-,D 2 D 1
y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.
综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解11
21x k k y k ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
; 1k =时,方程组无解. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.
5．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
g ， 所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =； 所以矩阵2011M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
； （2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'；
代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6．用行列式方法解关于x y 、的方程组：(
)()1
R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进
行讨论.
【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
【解析】 【分析】
本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】
Q 关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨
+=⎩，()(
)1R 214ax y a x a y a
-=⎧∈⎨--=⎩ ∴21
|
|1(1)(1)1a D a a a a
==-=+-，21
|
|(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a
-==-+=-++=--+-
211|
|(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121
x D a a a a a
==-+=+-- 21|
|21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21
||41(21)(21)14y a D a a a a
==-=+-.
（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x a
a y a ⎧
=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，
（2）当1a =时，无解； （3）当1
2
a =-，时无穷解． 【点睛】
本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．
7．已知命题P ：lim 0n n c →∞
=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5
236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.
【答案】112
c -<< 【解析】 【分析】
先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代
数余子式写出2
()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最
后即可解决问题． 【详解】
由已知命题:lim 0n
n P c →∞
=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

三阶行列式5
23
641
8x c
x
-中第一行、第二列元素的代数余子式记为()f x ，则2()4f x x cx =-+-，且函数()f x 在上单调递增．
∴函数()f x 在1(,]4-∞上单调递增，11
242c c ⇒厖，
Q 命题Q 是假命题，1
2
c ∴<
． ∴命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，
实数c 的取值范围是112
c -<<． 【点睛】
本题主要考查极限及其运算、三阶行列式的代数余子式，解答的关键是代数余子式的符号问题．
8．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
的解.
（1）求证：()111
a b
c a b c
a b a b c c a b
c
a
b c =++；
（2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；
（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222
000o x y z ++>”的 条
件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】
（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；
（2）由方程组有非零解得出a b
c c
a b b
c a =0，即1
11
a b c a b c =0，将行列式展开化简即可得出a ＝b ＝c ；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】
（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，
得：a b c
a b a b c c
a b c a a b c b c a b c a b c ++=++=++（a +b +c ）•1
11
a b c a b c ．
（2）∵z 0＝1，∴方程组有非零解，
∴a b
c c
a b b
c
a
=0，由（1）可知（a +b +c ）•111
a b c a b c =0． ∵a 、b 、c 分别为△ABC 三边长，∴a +b +c ≠0，
∴1
11
a b c
a b c =0，即a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝0，
∴2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ＝0，即（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0， ∴a ＝b ＝c ，
∴△ABC 是等边三角形．
（3）若a +b +c ＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x 02+y 02+z 02＝0， ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的充分条件； 若x 02+y 02+z 02＞0，则方程组有非零解，
∴a b
c c
a b b
c a =（a +b +c ）•1
11
a b c a b c =0．
∴a +b +c ＝0或1
11
a b c
a b c =0． 由（2）可知a +b +c ＝0或a ＝b ＝c ． ∴a +b +c ＝0”不是“x 02+y 02+z 02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】
本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．
9．计算：12131201221122120-⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【答案】91559124-⎛⎫
⎪--⎝⎭
【解析】 【分析】
直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】
121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.
10．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a
x +=
--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8
{|3
x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】
(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由
01x
x
>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围;
(3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-,
即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270
721
x x x -≤⎧⎨
-≥-⎩, 解得6x ≥或83
x ≤
, 故不等式的解集为8
{|3
x x ≤或6}x ≥; (2)由
01x
x
>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,
当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥, 设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70
(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩
解得5a ≥-,
因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21
()1
x g x a
x +=
--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,
即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.
11．已知向量102
11
2A ⎡
⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【解析】
【分析】
先求得1
A -u r
，以及其特征多项式()f
λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】 设1
A
-u r
a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭，
解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1
A
-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα
-=r
，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．
已知矩阵2312A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
． （1）求A 的逆矩阵1A -；
（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．
【答案】（1）1
A -2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
（2）点P 的坐标为(3，–1)
【解析】 分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P 点坐标.
详解：（1）因为2312A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，()det 221310A =⨯-⨯=≠，所以A 可逆， 从而1A - 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 因此，点P 的坐标为(3，–1)．
点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.
13．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 求AB;
若曲线C 1;22
y =182
x + 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程. 【答案】（1）0210⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
（2）228x y += 【解析】
试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程． 试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点，
它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,
则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188
x y +=，
从而22
188
x y +=，即228x y +=. 因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：
228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦
'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．
14．已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.
【答案】矩阵A 的特征值为1-或3．
【解析】
【分析】
根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值．
【详解】
由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，得13a +=-，所以4a =-， 故1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
， 则矩阵A 的特征多项式为221
1()(1)42341f x -==--=---λλλλλ，
令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=，
所以矩阵A 的特征值为1-或3．
【点睛】
本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．
15．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；
（2）求属于2λ的一个特征向量α.
【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u r .
【解析】
【分析】
（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值；
（2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．
【详解】
（1）令2()()(4)(4)4014
a b f a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =.
（2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r ， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r ． 【点睛】
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
16．已知矩阵14a b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
u u r ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u u r 求矩阵A . 【答案】2314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
根据矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
u u r 得到33-=a b ，属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
u u r ，故5a b +=，解得答案. 【详解】
矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为131a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r ，1114a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦u r u r ，故33-=a b ； 属于特征值5的一个特征向量为211a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r ，21514a b a a ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦u u r u r ，故5a b +=， 解得23a b =⎧⎨=⎩
，故2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.
17．已知矩阵
12
A
c d
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
（c，d为实数）.若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分
别为
2
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
1
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，求矩阵A的逆矩阵1
A-.
【答案】121 33 11 66
A-
⎡⎤
-⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
根据特征值的定义可知Aαλα
=，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A，即可求出逆矩阵1
A-．
【详解】
解：由题意知，
12242
2
121
c d c d
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
12131
3
11
c d c d
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
所以
22
3
c d
c d
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
4
c
d
=-
⎧
⎨
=
⎩
.
所以
12
14
A
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，所以1
21
33
11
66
A-
⎡⎤
-
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
.
【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．
18．已知变换T将平面上的点
1
1,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，(0,1)分别变换为点
9
,2
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
3
,4
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．设变换T
对应的矩阵为M．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的特征值．
【答案】（1）
3
3
2
44
M
⎡⎤
-
⎢⎥
=
⎢⎥
-⎣⎦
（2）1或6
【解析】【分析】
（1）设
a b
M
c d
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d
,,
,的方程，解方程即可得到答案；
（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即1924122324
a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244
a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． （2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得
23
3()(3)(24)676244
f λλλλλλ-==---=-+-，
令()0f λ=，可得1λ=或6λ=．
【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
19．设变换T 是按逆时针旋转
2
π的旋转变换，对应的变换矩阵是M . （1）求点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标； （2）求曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程.
【答案】（1）()1,1-；（2）2y x =-.
【解析】
【分析】
（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；
（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C '的方程.
【详解】
（1）由题意变换T 是按逆时针旋转2
π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ， 可知cos sin 012210sin cos 22M ππππ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪⎝⎭， 1011111011M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以点(1,1)P 在T 作用下的点P '的坐标为()1,1-.
（2）设x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是变换后曲线C '上任意一点，与之对应的变换前的点为00x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则00x x M y y ⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即000110x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以00y x x y -=⎧⎨=⎩，即00
x y y x =⎧⎨=-⎩， 因为00x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
在曲线2:C y x =上，将00x y y x =⎧⎨=-⎩代入可得2x y -=， 即2y x =-， 所以曲线2:C y x =在变换T 的作用下所得到的曲线C '的方程为2
y x =-.
【点睛】
本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.
20．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式1324
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨
+=⎩. 【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，t R ∈；当23q ≠且0q ≠时，方程组无解.
【解析】
【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论；
（2）由二元一次方程组解的情况分析求解．
【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴1
324
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=，
解为
4
3
9
x t
y t
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
当
2
3
q≠且0
q≠时，方程组无解．
【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．。