高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题含解析
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【高中数学】数学高考《三角函数与解三角形》试题含答案
一、选择题
1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
( ) A
B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
, 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭, 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 令()cos 0,1t x =∈,()
32
61g t t t =--+为减函数,且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 所以当03
x π
<<时,
()1
1,02
t g t <<<,从而()'0f x <; 当
3
2
x π
π
<<
时,()1
0,02
t g t <<
>,从而()'0f x >. 故(
)min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选:A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题.
2.若函数()sin 2f x x =向右平移
6
π
个单位后,得到()y g x =,则关于()y g x =的说法
正确的是( ) A .图象关于点,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中心对称 B .图象关于6
x π
=-轴对称
C .在区间5,126ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦单调递增 D .在5,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】
利用左加右减的平移原则,求得()g x 的函数解析式,再根据选项,对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】
函数()sin 2f x x =向右平移6π
个单位,得()sin 2()sin(2)63
g x x x ππ=-=-. 由23
x π
-=k π,得26k x ππ=+()k ∈Z ,所以,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
不是()g x 的对称中心,故A 错; 由23
x π-
=2
k π
π+
, 得212k x π5π
=
+
()k ∈Z ,所以()g x 的图象不关于6
x π=-轴对称,故B 错;
由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
,得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+
()k ∈Z , 所以在区间5,12
6ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增,在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 故C 错,D 对; 故选:D . 【点睛】
解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++,从而可利用正(余)弦型周期计算公式2||
T π
ω=
周期,对正弦型函数,其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫
⎪⎝⎭
,且对称中心在函数图象上,而对称轴必经过图象的最高点或最低点,此时函数取得最大值或最小值.
3.如图,边长为1正方形ABCD ,射线BP 从BA 出发,绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ,在旋转的过程中,记([0,])2
ABP x x π
∠=∈,BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域(阴影部分)的面积为()y f x =,则函数()f x 的图像是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =,再根据函数图象作判断. 【详解】
当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时,()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时,()11112y f x tanx ==-⨯⨯
; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象,考查基本分析识别能力,属基本题.
4.已知函数f (x )=2x -1
,()2cos 2,0?
2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩
(a ∈R ),若对任意x 1∈[1,+
∞),总存在x 2∈R ,使f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是()
A .1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B .2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C .[]1,
1,22⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭U D .371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
U 【答案】C 【解析】 【分析】
对a 分a=0,a <0和a >0讨论,a >0时分两种情况讨论,比较两个函数的值域的关系,即得实数a 的取值范围. 【详解】
当a =0时,函数f (x )=2x
-1
的值域为[1,+∞),函数()g x 的值域为[0,++∞),满足题意.
当a <0时,y =22(0)x a x +<的值域为(2a ,+∞), y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2>2a , 所以此时函数g (x )的值域为(2a ,+∞), 由题得2a <1,即a <
1
2
,即a <0. 当a >0时,y =2
2(0)x a x +<的值域为(2a ,+∞),y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2], 当a ≥
2
3时,-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a
-+≤⎧∴≤≤⎨
+≥⎩. 当0<a <
23时,-a +2>2a ,由题得2a <1,所以a <12.所以0<a <1
2
. 综合得a 的范围为a <1
2
或1≤a ≤2, 故选C . 【点睛】
本题主要考查函数的图象和性质,考查指数函数和三角函数的图象和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.设函数f (x )=cos (x +
3
π
),则下列结论错误的是 A .f(x)的一个周期为−2π B .y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C .f(x+π)的一个零点为x=6
π D .f(x)在(
2
π
,π)单调递减 【答案】D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π,易知A 正确; f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭=cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
=cos3π=-1,为f (x )的最小值,故B 正确;
∵f (x +π)=cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭=-cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-cos ππ63⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
=-cos 2π=0,故C 正确;
由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=cosπ=-1,为f (x )的最小值,故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调,
故D 错误.
6.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭,若()π02f f
⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且仅有三个
零点,则ω= ( )
A .
2
3
B .2
C .
143
D .
263
【答案】C 【解析】
∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
,()02f f π⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
∴1
sin()sin()6262
π
ππω-=--=- ∴
22
6
6
k π
π
π
ωπ-
=+
或
52,2
6
6
k k Z π
π
π
ωπ-
=+
∈ ∴2
43k ω=+
或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有且仅有三个零点 ∴(,
)6
626
x π
πωπ
π
ω-∈-- ∴232
6
ωπ
π
ππ<-
≤
∴
1319
33
ω<≤ ∴14
3
ω=
或6ω= 故选C.
7.已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>,若集合()(){}
0,1x f x π∈=-含有4个元素,则实数ω的取值范围是( ) A .35,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B .35,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C .725,
26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D .725,26⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简f (x )的解析式,作出f (x )的函数图象,利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f (x )在(0,+∞)上的交点坐标,则π介于第4和第5个交点横坐标之间.
f (x )=2sin (ωx ﹣
3
π
), 作出f (x )的函数图象如图所示:
令2sin (ωx ﹣
3π)=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ,或ωx ﹣3π=
76
π
+2kπ, ∴x=6πω+2k πω,或x=32πω+2k πω
,k ∈Z , 设直线y=﹣1与y=f (x )在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ,第5个交点为B , 则x A =
322ππωω+,x B =46ππ
ωω
+, ∵方程f (x )=﹣1在(0,π)上有且只有四个实数根, ∴x A <π≤x B ,
即
322ππωω+<π≤46ππωω+,解得72526ω≤<. 故选B . 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换,三角函数的图象与性质,属于中档题.
8.已知函数f (x )=sin 2x +sin 2(x 3
π
+),则f (x )的最小值为( ) A .
12
B .
14
C .
34
D .
22
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛
⎫=-
+ ⎪⎝
⎭,再求最值.
已知函数f (x )=sin 2x +sin 2(x 3
π
+
), =21cos 21cos 2322
x x π⎛
⎫
-+
⎪-⎝⎭
+
,
=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
, 因为[]cos 21,13x π⎛
⎫
+
∈- ⎪⎝
⎭
, 所以f (x )的最小值为12
. 故选:A 【点睛】
本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
9.函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为( ) A
.1B
1 C
D .2
【答案】A 【解析】
由题意,得()2
2sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+
π2114x ⎛
⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭;故选A.
10.已知π1
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α=( )
A .
725
B .725
-
C .
2325
D .2325
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式,求得sin α,再由余弦二倍角,即可求解. 【详解】
由π1cos α25
⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得1sin α5=,又由2
123cos2α12sin α122525=-=-⨯
=. 故选C .
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值,其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
11.若θ是第二象限角,则下列选项中能确定为正值的是( ) A .sin B .cos
C .tan
D .cos2θ
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用三角函数象限角的三角函数的符号判断即可. 【详解】
由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角,所以tan >0.故选C 【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断,是基础题.
12.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1b =,3c =
,且
2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-,则ABC V 的面积是( )
A 3
B .
12
C 33
D .
14或1
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知关系求出1
sin 2
B =,根据余弦定理求出边a ,根据面积公式即可得解. 【详解】
因为2sin()cos 12cos sin B C C A C +=-,所以2sin cos 12cos sin A C A C =-, 所以2sin cos 2cos sin 1A C A C +=,所以2sin()1A C +=, 所以2sin 1B =,即1sin 2
B =
, 因为b c <,所以B C <,所以角B 为锐角,所以23cos 1sin 2
B B =-=, 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得231323a a =+-⨯, 整理可得2320a a -+=,解得1a =或2a =. 当1a =时,AB
C V 的面积是1113
sin 132224
S ac B =
=⨯=
;
当2a =时,ABC V
的面积是111sin 22222
S ac B ==⨯=
. 故选:C. 【点睛】
此题考查根据余弦定理解三角形,关键在于熟练掌握定理公式,结合边角关系解方程,根据面积公式求解.
13.在ABC ∆中,60B ∠=︒,AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D
,BD =
,
1
cos 4
BAC ∠=
,则AD =( ) A .2 B
C
D
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出sin BAD ∠=,再利用正弦定理求AD. 【详解】
∵2
1cos 12sin 4
BAC BAD ∠=-∠=,
∴sin 4
BAD ∠=
.在ABD ∆中,sin sin AD BD B BAD =∠,
∴sin 2sin B
AD BD BAD =⋅
==∠. 【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔>⇔> ,所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件,选C.
15.已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示,A ,B 分别是()f x 图象的最高点与最低点,C 是()f x 图象与x 轴的交点,则tan ∠BAC =( )
A .
12
B .
47
C 255
D 7
6565
【答案】B 【解析】 【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ,AB 与x 轴交于E ,设C (a ,0),可得32
CD =
,11,2AD DE ==
,3
tan 2CD CAD AD ∠=
=,1tan 2
ED EAD AD ∠==,再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ,AB 与x 轴交于E , 由题可得周期为2,设(,0)C a ,则1(,1)2B a +-,3
(,1)2
A a +, 所以32
CD =
,1
1,2AD DE ==,
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=,1tan 2
ED EAD AD ∠=
= 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠
31422317122-=
=+⨯. 故选:B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式,涉及到正弦型函数图象等知识,考查学生数学运算能力,是一道中档题.
16.在ABC ∆中,若2sin sin cos
2C A B =,则ABC ∆是( ) A .等边三角形
B .等腰三角形
C .不等边三角形
D .直角三角形 【答案】B
【解析】 试题分析:因为2sin sin cos 2C A B =,所以,1cos sin sin 2
C A B +=,即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ,三角形为等腰三角形,选B 。
考点:本题主要考查和差倍半的三角函数,三角形内角和定理,诱导公式。
点评:简单题,判断三角形的形状,一般有两种思路,一种是从角入手,一种是从边入手。
17.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,3b =c =( )
A .3
B .2
C 2
D .1
【答案】B
【解析】 1333sin A ===3cos A =, 所以22231323c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =,则三角形为等腰三角形,0030,60A C B ===不满足内角和定理,排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查运算能力和分类讨论思想. 当求出3cos 2
A =后,要及时判断出0030,60A
B ==,便于三角形的初步定型,也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2,会增大出错率.
18.4
0cos2d cos sin x x x x
π
=+⎰( ) A
.1)
B
1 C
1 D
.2【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换中的倍角公式,对被积函数进行化简,再求积分.
【详解】 因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x
-==-++,
∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x π
ππ
=-=+=+⎰⎰,故选C . 【点睛】
本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.
19.化简21sin 352sin 20︒︒-
=( )
A .12
B .12-
C .1-
D .1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式,由此求得正确结论.
【详解】 依题意,原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ,故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式,考查三角函数诱导公式,属于基础题.
20.在极坐标系中,曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭关于( ) A .直线3πθ=
对称 B .直线6πθ=对称 C .点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D .极点对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭,得直角坐标方程:2220x x y -+-= ,圆心为( ,又
因为直线3πθ=即:y = 过点(,由此便可得出答案. 【详解】 由曲线4sin 6πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,即:24sin 6πρρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭,又因为cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩,化简得曲线
的直角坐标方程:2220x x y -+-= ,故圆心为( .
又因为直线3πθ=
,直角坐标方程为:y = ,直线y =过点(,故曲线关于直线3π
θ=对称
故选:A.
【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化,以及圆关于过圆心的直线对称的知识,属于中等难度题目.。