2020高考数学文科大一轮复习课时作业：第六章 不等式、推理与证明课时作业38

课时作业38 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和
高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可
得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )
A ．类比推理、归纳推理
B ．类比推理、演绎推理
C ．归纳推理、类比推理
D ．归纳推理、演绎推理
解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A )
A ．S n ＝2n n ＋1
B ．S n ＝2n －1n ＋1
C ．S n ＝2n ＋1n ＋1
D ．S n ＝2n n ＋2 解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2
n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则
S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2n n ＋1
.故选A.
3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )
A ．n (n ＋1)
B.n (n －1)2
C.n (n ＋1)2 D ．n (n －1)
解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方
形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.
4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )
A ．3 125
B ．5 625
C ．0 625
D ．8 125
解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线
Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2
，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( B )
A ．3
B ．5 C.5217 D ．3 5
解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为
d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C
2， 则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋2
2＝5，故选B. 6．给出以下数对序列：
(1,1)
(1,2)(2,1)
(1,3)(2,2)(3,1)
(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
……
记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( A )
A ．(m ，n －m ＋1)
B ．(m －1，n －m )
C ．(m －1，n －m ＋1)
D ．(m ，n －m )
解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1)．
7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之
首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名
符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 艮
001 1 坎
010 2 巽 011 3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“
”，其表示的十进制数是( B )
A ．33
B ．34
C ．36
D ．35
解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.
二、填空题
8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，
f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论
为f (2n
)≥n ＋22(n ∈N *)．
解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n
)≥n ＋22(n ∈N *)． 9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.
解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.
10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020
＝a 1＋a 2＋…＋a 100100
成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.
解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为
20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.
11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一
个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形
式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个
人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，
这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，
27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1n (n ＋1)2
(n
＝5,7,9,11，…)．
解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，
余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29
＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将
这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，
211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分
成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.
由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1n (n ＋1)2
.
12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的(C)
A．己亥年B．戊戌年
C．庚子年D．辛丑年
解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．
13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有(C) A．58 B．59
C．60 D．61
解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，
小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.
14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E 两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．
则该参观团至多去了(C)
A．B，D两镇B．A，B两镇
C．C，D两镇D．A，C两镇
解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.
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15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平
方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14[c 2a 2－(c 2＋a 2－b 2
2
)2]，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A sin B sin C ＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( B )
A.32
B.34
C.52
D.54
解析：由正弦定理得sin A sin B sin C ＝a b c ＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝
14[(2＋1)2(2－1)2－(3＋22＋3－22－52
)2]＝34，故选B. 16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：
①数学课时数多于物理课时数；
②物理课时数多于体育课时数；
③体育课时数的两倍多于数学课时数．
则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.
解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体
育的课时数分别为x ，y ，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥1，
y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该
学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的
系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －r ＝1，－p ＋q ＝1，
－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x
－y )＋5(y －z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.
解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.
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