§2 自然数

性质3（自然数的离散性）任两个相邻的
自然数a与a′之间，不存在自然（阿基米德性质）对任意自然数a、
b，必有自然数n，使na＞b.
性质5（最小数原理）N*的任何一个非空子集必 有最小数. 证明
用反证法.设非空集合A N，但A没有最小数.令 所有小于A中任何一个数的自然数组成的集合为M.
罗马数字
罗马数字是古代罗马人创造的。 十三世纪以前，欧洲各国普遍使用 罗马数字来计数。这种数字只有七 个： Ⅰ(表示1) Ⅴ(表示5) Ⅹ(表示 10) L(表示50) C(表示100) D(表示 500)， M(表示1000) 这七个罗马数字在计数时，不 论排列在什么位置上，它本身所表
二、自然数的运算
（一）自然数的加法定义
定义 自然数的加法是指这样的对应：对于每一 对自然数a、b，有且仅有一个自然数（记为 a+b）与之对应，且具有下列性质： （1）对任意a∈N*，a+1=a′， （2）对任意a、b∈N*，a+b′=（a+b）′，其中 a、b称为加数，a+b称为a、b的和.
（二）自然数的加法满足结合律与交换律
因为1是自然数集N*的最小数，而A没有最小数，所以，A 这说明1∈M.假设m∈M，现在设法证明m′∈M.事实上， 如果m′ M，则存在a1∈A，使a1≤m′.又因A中没有最小 数，故存在a2∈A，使a2＜a1≤m′，于是a2≤m，与m∈M 矛盾. 所以M= N.因为A非空，A中至少有一数t，且t∈N=M，由 集M的定义知t＜t，矛盾，所以集A有最小数.
定义 非空集合N* 中的元素叫做自然数,如果N* 的元素 之 间 有 一 个 基 本 关 系 “ 后 继 ” (b 后 继 于 a, 记 为 b=a′)，并满足下列公理： N* （1）1∈ ，1不是N*中任何元素的后继元素； （2）对N*中任何元素a，有唯一的a′∈N*； （3）对N*中任何元a，如果a≠1，则a必后继于N*中某 一元素b； （4）（归纳公理）如果M是N*的一个子集，且 ①1∈M； ②若a∈M，则a′∈M. 那么，M= N*.
定理6 自然数集中的顺序关系“＞”满 足加法和乘法的保序性.即 （1）若a＞b，则a+c＞b+c； （2）若a＞b，则a· c＞b· c.
四、自然数的性质
性质1 在自然数集中，消去律 成立.即 （1）若a+c=b+c，则a=b； （2）若a· c，则a=b. c=b· 性质2 在自然数集N*中，1是 最小数，即对于任何自然数a， a≥1.
五、数学归纳法 （一）、数学归纳法第一基本形式 设f（n）是一个与自然数有关 的命题，如果（1）f（l）成 立； （2）若f（k）成立，则 f（k′） 成立. 那么，f（n）对一切自然数n 都成立.
（二）、数学归纳法第二基本形式
设f（n）是一个与自然数有关 的命题， 如果（1）f（1）成立； （2）假设f（m）对所有小 于k（k＞1）的自然数m都成 立，那么，f（k）也成立. 那么，f（n）对一切自然数n都 成立.
定理1 自然数的加法满足结 合律与交换律.即对任何a、 b、c∈N*，有 （1）a+（b+c）=（a+b）+c； （2）a+b=b+a.
（三）自然数的乘法定义
定义 自然数的乘法是指这样 的对应：对于每一对自然数a、 b，有且仅有一个自然数（记 为a· b）与之对应，且具有下 述性质： （1）a· 1=a； （2）a· b′=a· b+a. 这里a、b称为乘数，a· b称为a、 b的积.
叫做减数，求两数差的运算叫做减法. 定义 设a、b∈N*，如果存在x∈N*，使b•x=a，则
称x是a除以b的商，记作a/b，a叫做被除数，b
叫做除数，求两数商的运算叫做除法.
三、自然数的顺序关系
定义6 设a、b∈N*，如果存在一个 自然数k，使a=b+k，就说a大于b， 记为a＞b；或说b小于a，记为b＜ a. 定理5 自然数集中的关系“＞”满 足下列性质： （1）（反自反性）a≯a， a∈N*. （2）（传递性）若a＞b，b＞c，则 a＞c. （3）（全序性）对于N中任两个数a、 b，
（四）自然数乘法满足的运算律
右 分 配 律 （a+b）· c+b· c=a· c 交换律 a· b=ba 左分配律 c· （a+b）=c· a +c· b 结 合 律 a· c)=(a· c （b· b)·
（五）自然数的减法与除法的定义
定义 设a、b∈N*，如果存在x∈N，使b+x=a，则
称x为a减去b的差，记作a-b，a叫做被减数，b
§2
自然数
一、自然数的公理化系 统 二、自然数的运算 三、自然数的顺序 四、自然数的性质 五、数学归纳法
一、自然数的公理化系统
（一）公理化方法
所谓公理化方法，就是 从尽可能少的原始概念和一 组公理出发，运用逻辑规则， 去定义其它概念，证明其它 命题，把一门理论建成演绎 系统的方法.
（二）自然数的公理化系统