【培优提高训练】浙教版九年级数学下册 第二章 直线与圆的位置关系 典型例题解析 (学生用)

【培优提高训练】浙教版九年级数学下册第二章直线与圆的位置关系典型例题解析
一、解答题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD=5，CD=3，求AD的长．
2.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC=90°，
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB=3，OC=4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．
3.如图，已知⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、Ｅ、Ｆ，S△ABC=10cm2，C△ABC=10cm,且∠C=60°求：
（１）⊙O的半径ｒ；
（２）扇形ＯＥＦ的面积（结果保留π）；
（３）扇形ＯＥＦ的周长（结果保留π）。

4.如图，已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D ，求证：AD 平分∠BAC.
5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于P ．弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连结BE ．
（1）求证：AC 平分∠DAB ；
（2）探究线段PC ，PF 之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan ∠PCB= ， BE= ， 求PF 的长．
3
452
6.（2017•福建）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延长线上，∠CAD=45°． （Ⅰ）若AB=4，求 的长；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP ，求证：PD 是⊙O 的切线．
7.如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD 与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．
8.如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．
（1）求证：四边形OECF为正方形；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AB的长．
9.如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：
（1）BC、AD的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．
10.如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且
∠CBF=∠CAB ．
12（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；
（2）若AB=5，sin ∠CBF= ， 求BC 和BF 的长．
5
5
11.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且
=， 连接
AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E ．
（1）求证：△ACD 是等边三角形；
（2）连接OE ，若DE=2，求OE 的长．
12.如图，点A 、B 在直线l 上，AB=10cm ，⊙B 的半径为1cm ，点C 在直线l 上，过点C 作直线CD 且∠DCB=30°，直线CD 从A 点出发以每秒4cm 的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （cm ）与时间t （秒）之间的关系式为r=1+t （t≥0），当直线CD 出发多少秒直线CD 恰好与⊙B 相切．
13.如图，⊙O 的直径AB=2，AM 、BN 是它的两条切线，CD 与⊙O 相切于点E ，与BN 、AM 交于点
C 、
D ，设AD=x ，BC=y 。

（1）求证：AM ∥BN 。

（2）求y 关于x 的函数关系式。

（3）若x 、y 是关于t 的方程2t -5t+m=0的两根，且xy= ，求x 、y 的值。

2m 214.如图，∠AOB=90°，OA=90cm ，OB=30cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？
二、综合题
15.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 在线段AB 上，以AD 为直径的⊙O 与BC 相交于点E ，与AC 相交于点F ，∠B=∠BAE=30°．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若AC=3，求⊙O 的半径r ；
（3）在（1）的条件下，判断以A 、O 、E 、F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．
16.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
17.如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长
线上，且GA=GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．
AB⊙O AC BCΔABC ABΔABD 18.如图，在以线段为直径的上取一点，连接、 .将沿翻折后得到 .
D⊙O
（1）试说明点在上；
AD E AB2=AC⋅AE BE⊙O
（2）在线段的延长线上取一点，使 .求证：为的切线；
AE CB F BC=2AC=4EF （3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.
19.如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
20.如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=12，CF=6，求DE的长．
21.如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若： =1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；
（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE CP的值．
22.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ．
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证： ．
AM MN =CB BP 23.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在CB 的延长线上，连接AC ，AE ，∠ACB=∠BAE=45°
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若 AB=AD ，AC=2 ，tan ∠ADC=3，求CD 的长．
224.已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．
25.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE．
（1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离．
26.（2017•黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长
交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
27.（2017•孝感）如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．
（1）由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是________；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）求线段DE的长．
28.如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线
（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB
（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和⊙O的半径．
答案解析部分
一、解答题
1.【答案】（1）证明：如图，连接OD ，
∵BC 为圆O 的切线，
∴OD ⊥CB ，
∵AC ⊥CB ，
∴OD ∥AC ，
∴∠CAD=∠ODA ，
∵OA=OD ，
∴∠OAD=∠ODA ，
∴∠CAD=∠OAD ，
∴AD 平分∠BAC ；
（2）解：作ED ⊥AB 于E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴DE=DC=3，
在Rt △BDE 中，BD=5，DE=3，
根据勾股定理得：BE=4，
∵∠ABC=∠DBE ，∠C=∠BED=90°，
∴△ABC ∽△DBE ，
∴=，即=，
AB BD BC BE AB 55+34∴AB=10，
∴AE=AB﹣BE=10﹣4=6，
在Rt △ADE 中，AD===3．
AE 2+DE 262+325
2.【答案】解：（1）∵∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
又BE 与BF 为圆O 的切线，
∴BO 为∠EBF 的平分线，
∴∠OBC=∠OBF ，
同理可得∠OCB=∠OCG ，
∴∠OBF+∠OCG=90°，
∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG=180°，
即∠ABF+∠DCF=180°，
∴AB ∥CD ；
（2）连接OE ，OF ，OG ，如图所示：
由BE 和BF 为圆的切线，
可得OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，即∠OEB=∠OFB=90°，
∴BE=BF ，又OB=OB ，
∴Rt △OEB ≌Rt △OFB （HL ），
∴∠BOE=∠BOF ，S △OEB =S △OFB ，
∴S 扇形OEM =S 扇形OFM ，
∴S △OEB ﹣S 扇形OEM =S △OFB ﹣S 扇形OFM ，
即S 阴影BEM =S 阴影BFM ，
同理S 阴影NFC =S 阴影NCG ，
由∠BOC=90°，OB=3，OC=4，
根据勾股定理得：BC=5，
∵BC 为圆的切线，∴OF ⊥BC ，
∴OB•OC=BC•OF ，即OF=，
1212125∴S △BOC =OB•OC=6，
12S 扇形OMN = = ，
90π×(125)236036π25则阴影部分面积S=2（S 阴影BFM +S 阴影NFC ）
=2（S △BOC ﹣S 扇形OMN ）=12﹣．
72π25
3.【答案】解：(1)如图，连接AO 、BO 、CO ，
则S △ABC =S △AOC +S △AOB +S △BOC
=12×r ×AC +12×r ×AB +
12×r ×BC =，12r (AB +AC +BC )=10
又AB+BC+AC=10，
∴r=2cm ；
（2）因为OF ⊥AC ，OE ⊥BC ，∠C=60°
所以∠EOF=120°
所以S 扇形EOF = cm 2
120×π×
2360=4π3（3）扇形EOF 的周长=（cm ）.
120×π×2180+2×2=4π3+44.【答案】证明：如图，连接OD ，
∵BC 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ，∴OD ∥AC ，∴∠2＝∠3；∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD 平分∠BAC.
5.【答案】解：（1）连接OC ．
∵OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ．
∵PC 是⊙O 的切线，AD ⊥CD ，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC ∥AD ．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC ．即AC 平分∠DAB ．
（2）PC=PF ．
证明：∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB ．
又∵∠ACE=∠BCE ，∠PFC=∠CAB+∠ACE ，∠PCF=∠PCB+∠BCE ．
∴∠PFC=∠PCF ．
∴PC=PF ．
（3）连接AE ．
∵∠ACE=∠BCE ，
∴=，
∧AE ∧
BE ∴AE=BE ．
又∵AB 是直径，
∴∠AEB=90°．AB=，
2BE =10∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC ，∠P=∠P ，
∴△PCB ∽△PAC ．
∴．
PB
PC =BC
CA ∵tan ∠PCB=tan ∠CAB=．
3
4∴=．
PB PC =BC CA 3
4设PB=3x ，则PC=4x ，在Rt △POC 中，（
3x+5）2=（4x ）2+52 ，
解得x 1=0，．
x 2=30
7∵x ＞0，∴，
x =30
7∴PF=PC=．30
7
6.【答案】解：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴的长= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵= ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切线．
7.【答案】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵又AO=CO，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵又CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
∴CD 为⊙O 的切线；
（2）解：∵直径AB=2BE ，
∴OE=2OC ，
在Rt △EOC 中，设CO=x ，即OE=2x ，
由勾股定理得：CE=x ，
3又∵CE=，
3∴x=1
即OC=1，
∵OC ∥AD （已证）
∴△EOC ∽△EAD ，∴，OC AD
=OE AE 即，
1AD =2
3∴AD=
3
28.【答案】（1）证明：∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，分别切BC ，AC ，AB 于点E ，F ，G ，∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，
∴四边形CFOE 是矩形，
∵OF=OE ，
∴四边形OECF 为正方形；
（2）解：由题意可得：EO ∥AC ，
∴△DEO ∽△DCA ，∴，
DE CD =EO
AC 设⊙O 的半径为x ，
则，2-X X =X
6解得：x=1.5，
故⊙O 的半径为1.5；
（3）解：∵⊙O 的半径为1.5，AC=6，
∴CF=1.5，AF=4.5
∴AG=4.5，
设BG=BE=y ，
∴在Rt △ACB 中
AC 2+BC 2=AB 2 ，
∴62+（y+1.5）2=（4.5+y ）2 ，
解得：y=3，
∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．
9.【答案】解：（1）∵AB 是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt △ABC 中，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，
∴BC==2，
AB 2-AC 23∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，
∴∠DCA=∠BCD
∴=，
∧AD ∧
BD ∴AD=BD ，
∴在Rt △ABD 中，AD=BD=AB=2；
2
22（2）连接OC ，OD ，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，
∵OA=OB ，
∴S △AOC =S △ABC =××AC×BC=××2×2=，
121212121
233由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S △AOD =×AO×OD=×22=2，
121
2∴S 阴影=S 扇形COD ﹣S △AOC ﹣S △AOD =﹣﹣2=π﹣﹣2．
150π×22
36035
33
10.【答案】（1）证明：连接AE ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC ，
∴∠1=∠CAB ．
12∵∠CBF=∠CAB ，
12∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB 是⊙O 的直径，
∴直线BF 是⊙O 的切线．
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于G ．
∵sin ∠CBF=，∠1=∠CBF ，
55∴sin ∠1=5
5∵在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin ∠1=，5∵AB=AC ，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
5在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE==2，
AB 2-BE 25∴sin ∠2===，cos ∠2===，AE AB 255CG BC BE AB 55BG
BC 在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，∵GC ∥BF ，∴△AGC ∽△ABF ，
∴GC BF =AG
AB
∴BF=GC·AB
AG =20
3
11.【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，BM 是⊙O 的切线，
∴AB ⊥BE ，
∵CD ∥BE ，
∴CD ⊥AB ，∴， ∵=， ∴，
∴AD=AC=CD ，
∴△ACD 是等边三角形；
（2）解：连接OE ，过O 作ON ⊥AD 于N ，由（1）知，△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°
∵AD=AC ，CD ⊥AB ，
∴∠DAB=30°，
∴BE=AE ，ON=AO ，
1212设⊙O 的半径为：r ，
∴ON=r ，AN=DN=，
123
2∴EN=2+r ，BE=AE=，
32123r +2
2在R t △NEO 与R t △BEO 中，
OE 2=ON 2+NE 2=OB 2+BE 2 ，
即（）2+（2+）2=r 2+，
r 23r 2(3r +22)2
∴r=，
23∴OE 2=+25=28，
(3)2∴OE=．
27
12.【答案】解：当直线与圆相切时，点C 在圆的左侧，
∵∠DCB=30°，直线CD 与⊙B 相切，
∴2DB=BC ，
即2（1+t ）=10-4t ，
解得：t=
当直线与圆相切时，点C 在圆的右侧，
∵∠DCB=30°，直线CD 与⊙B 相切，
∴2DB=BC ，
即2（1+t ）=4t-10，
解得：t=6，
故答案为： 或6．
13.【答案】（1）证明：∵AM 和BN 是⊙O 的两条切线，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴AM ∥BN
（2）解：作DF ⊥BN 交BC 于F ，
∵AB ⊥AM ，AB ⊥BN ．
又∵DF ⊥BN ，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD 是矩形，
∴BF=AD=x ，DF=AB=2，
∵BC=y ，
∴FC=BC-BF=y-x ；
∵AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DE 切⊙O 于E ，
∴DE=DA=x CE=CB=y ，
则DC=DE+CE=x+y ，
在Rt △DFC 中，
由勾股定理得：（x+y ）2=（x-y ）2+22 ，
整理为：y= ，
1x ∴y 与x 的函数关系为：y= 1x
（3）解：由xy= 及（2）问的结论，得xy= =1，m=2
m 2m 2所以原方程可以转化为2t 2-5t+2=0，
即（t-2）（2t-1）=0，解得t=2或t= .
12因为x ＜y ，所以x= ，y=2.
1214.【答案】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC ，
设BC=AC=xcm ，
则OC=（90﹣x ）cm ，
在Rt △BOC 中，
∵OB 2+OC 2=BC 2 ，
∴302+（90﹣x ）2=x 2 ，
解得x=50．
答：机器人行走的路程BC 为50cm
二、综合题
15.【答案】（1）解：如图1，
连接OE ，∴OA=OE ，
∴∠BAE=∠OEA ，
∵∠BAE=30°，
∴∠OEA=30°，
∴∠BOE=∠BAE+∠OEA=60°，
在△BOE 中，∠B=30°，
∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，
∴OE ⊥BC ，
∵点E 在⊙O 上，
∴BC 是⊙O 的切线
（2）解：如图2，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，
在Rt △ACE 中，AC=3，sin ∠AEC= ，
AC AE ∴AE= ，
AC
sin ∠AEC =3
sin60°=23连接DE ，∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠AED=90°，
在Rt △ADE 中，∠BAE=30°，cos ∠DAE= ，
AE
AD ∴AD= ，
AE cos ∠BAE =2
3
cos30°=4∴⊙O 的半径r= AD=2
12（3）解：以A 、O 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，
在Rt △ABC 中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
连接OF ，∴OA=OF ，
∴△AOF 是等边三角形，
∴OA=AF ，∠AOF=60°，
连接EF ，OE ，
∴OE=OF ，
∵∠OEB=90°，∠B=30°，
∴∠AOE=90°+30°=120°，
∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，
∵OE=OF ，
∴△OEF 是等边三角形，
∴OE=EF ，
∵OA=OE ，
∴OA=AF=EF=OE ，
∴四边形OAFE 是菱形
16.【答案】（1）证明：∵E 是△ABC 的内心，
∴∠BAE=∠CAE ，∠EBA=∠EBC ，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA ，∠DBE=∠EBC+∠DBC ，∠DBC=∠EAC ，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
3
∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线
17.【答案】（1）证明：如图，
连接OA，
∵OA=OB，GA=GE
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°，
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
即AG与⊙O相切
（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，
∵∠EBF=∠CBA ，∠BFE=∠BAC ，
∴△BEF ∽△BCA ，
∴ = =
∴EF=1.8，BF=2.4，
∴0F=0B﹣BF=5﹣2.4=2.6，
∴OE= =
18.【答案】（1）解：连接OC ，OD ，
由翻折可得OD=OC ，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴点D 在⊙O 上。

（2）证明：∵点D 在⊙O 上，∴∠ADB=90°，
由翻折可得AC=AD ，
∵AB 2=AC·AE ，
∴AB 2=AD·AE ，
∴ ，又∵∠BAE=∠DAB ，
AB AD =AE AB ∴△ABE~△ADB ，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵OB 是半径，
∴BE 为的⊙O 切线。

（3）解：设EF=x ，∵AB 2=AC 2+BC 2=AC·AE ，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，
∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC ，
∴△BDF~△ACF ，
∴ 即 BF AF =BD AC BF
5+x =24
则BF= ，
5+x 2在Rt △BDF 中，由勾股定理得BD 2+DF 2=BF 2 ，
则22+（1+x ）2=( )2 ，
5+x 2
解得x 1= ,x 2=-1（舍去）,
53则EF=
5319.【答案】（1）解：∵∠ABC 与∠D 都是弧AC 所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA ⊥AE ，
∴AE 是⊙O 的切线
（3）解：如图，连接OC ，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC 的长为 ．
20.【答案】（1）证明：连接OD ，
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴ = ，∴OD ⊥EF ，
∵EF ∥BC ，
∴OD ⊥BC ，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）解：连接DE ，
∵ = ，∴DE=DF ，
∵EF ∥BC ，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠DFC=∠AED ，
∴△AED ∽△DFC ，
∴ = ，即 = ，
AE DF DE CF 12DE DE 6∴DE 2=72，
∴DE=6 ．
221.【答案】（1）解：PD 与⊙O 相切．理由如下：连接OP ，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP ，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD ，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠OPD=120°﹣30°=90°，
∵OP 为半径，
∴PD 是⊙O 的切线；
（2）解：连BC ，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ ： =1：2，∴∠ABC=2∠BAC ，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE 垂直平分PC ，如图，
设BE=x ，在Rt △BCE 中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x ，在Rt △ABC 中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x ，
∴AE=AB﹣BE=3x ，
∵PA=PD ，PE ⊥AD ，
∴AE=DE ，
∴DB=3x﹣x=2x ，
∴AE ：EB ：BD 的值为3：1：2
（3）解：如图，连接OC ，
∵弧AC=弧BC ，CO ⊥AD ，
∴∠CAB=∠APC ，OC ⊥AB ，
而∠ACE=∠PCA ，
∴△ACE ∽△PCA ，
∴ ，即AC 2=PC CE ，
AC PC =CE AC ∵A02+OC 2=AC 2=8，
∴PC CE=AC 2=8．
22.【答案】（1）证明：∵AC 为⊙O 直径，∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC ，
∴∠BAN=∠CAN ，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN ，
∴∠BCP=∠BAN ；
（2）证明：∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN ，
由（1）知∠BCP=∠BAN ，
∴△BPC ∽△MNA ，
∴ ．
AM MN =BC PB 23.【答案】（1）证明：
连接OA 、OB ，如图1所示：
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB ，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，
∴AE ⊥OA ，
∴AE 是⊙O 的切线
（2）解：
作AF ⊥CD 于F ，如图2所示：
∵AB=AD ，
∴ ，
=∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AF ⊥CD ，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∵AC=2 ，
2∴在Rt △AFC 中，AF=CF=AC•sin ∠ACF=2 × =2，
22
2∵在Rt △AFD 中，tan ∠ADC= =3，
AF
DF ∴DF= ，
23∴CD=CF+DF=2+ = ．
238
324.【答案】（1）证明：连接OD ．
∵OA=OD ，
∴∠OAD=∠ODA ．
∵∠OAD=∠DAE ，
∴∠ODA=∠DAE ．
∴DO ∥MN ．
∵DE ⊥MN ，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD ⊥DE ．
∵D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴ ．AD =DE 2+AE 2=62+32=35连接CD ．
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∵∠CAD=∠DAE ，
∴△ACD ∽△ADE ．
∴ ．
AD AE =AC AD ∴ ．
35
3=AC
35则AC=15（cm ）．
∴⊙O 的半径是7.5cm
25.【答案】（1）证明：连接OF ，
∵AB 切半圆O 于点F ，OF 是半径，∴∠OFB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OFB=∠ABC ，
∴OF ∥BC ，
∵BC=OE ，OE=OF ，
∴BC=OF ，
∴四边形OBCF 是平行四边形，∴DE ∥CF
（2）解：若△OBF ∽△ACB ，∴ = ，OB OF AC
AB ∴OB= ，
AC ⋅OF
AB ∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2，∴AC=4，AB=2 ．
3又∵OF=OE=2，
∴OB= = ；
4×22343
3
若△BOF ∽△ACB ，
∴ = ，
OB OF AC BC ∴OB= ，
AC ⋅OF BC ∴OB= =4；
4×22综上，OB= 或443
3（3）解：画出移动过程中的两个极值图，
由图知：点B 移动的最大距离是线段BE 的长，
∵∠A=30°，
∴∠ABO=30°，
∴BO=4，
∴BE=2，
∴点B 移动的最大距离是线段BE 的长为2．
26.【答案】（1）证明：∵E 是△ABC 的内心， ∴∠BAE=∠CAE ，∠EBA=∠EBC ，∵∠BED=∠BAE+∠EBA ，∠DBE=∠EBC+∠DBC ，∠DBC=∠EAC ，
∴∠DBE=∠DEB ，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD ．
∵DA 平分∠BAC ，∴∠DAB=∠DAC ，
∴ = ，
∴BD=CD ，
∵BD=DF ，
∴CD=DB=DF ，
∴∠BCF=90°，
∴BC ⊥CF ，
∴CF 是⊙O 的切线．
27.【答案】（1） + 25225π4
（2）证明：由（1）知∠AOD=90°，即OD ⊥AB ，∵DE ∥AB ，
∴OD ⊥DE ，
∴DE 是⊙O 的切线；
（3）解：∵AB=10、AC=6，
∴BC= =8，
AB 2-AC 2过点A 作AF ⊥DE 于点F ，则四边形AODF 是正方形，∴AF=OD=FD=5，
∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC ，
∴tan ∠EAF=tan ∠CBA ，
∴ = ，即 = ，
EF AF AC BC EF 56
8∴ ，EF =15
4∴DE=DF+EF= +5= ．
15435
428.【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EDB=∠EAB ，∠BDE=∠CBE ，
∴∠EAB=∠CBE ，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴CB ⊥AB ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）证明：∵BD 平分∠ABE ，
∴∠ABD=∠DBE ，=，
∴∠DEA=∠DBE ，
∵∠EDB=∠BDE ，
∴△DEF ∽△DBE ，
∴=，
DE DB DF
DE
∴DE 2=DF•DB ；
（3）解：连接DA 、DO ，
∵OD=OB ，
∴∠ODB=∠OBD ，
∵∠EBD=∠OBD ，
∴∠EBD=∠ODB ，
∴OD ∥BE ，
∴=，
PD PE PO PB ∵PA=AO ，
∴PA=AO=OB ，
∴=PD PE 23
∴=，
PO PB 23∴=，
PD PD +DE 23∵DE=2，
∴PD=4，
∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE ，
∵OD ∥BE ，
∴∠AOD=∠ABE ，
∴∠PDA=∠AOD ，
∵∠P=∠P ，
∴△PDA ∽△POD ，
∴=，
PD PO PA PD 设OA=x ，
∴PA=x ，PO=2x ，
∴=，
42x x 4
2∴2x2=16，x=2，
2
∴OA=2．。