高二数学人选修课件时复合函数求导及应用
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的技巧和应用。
应试技巧总结和备考建议
应试技巧
在解题时，注意先确定复合函数的内外层函数，再运用链式法则进行求导；同时 ，要注意导数的定义域和函数的定义域之间的关系。
备考建议
熟练掌握复合函数求导的基本法则和技巧，多做相关练习题；同时，要注重理解 导数的概念和性质，以及在实际问题中的应用。在备考过程中，可以结合历年高 考真题和模拟题进行针对性训练。
将隐式表达复合函数转化为参数方 程形式，再对参数求导得到导数表 达式。
变量代换法
通过变量代换将隐式表达复合函数 转化为显式表达形式，再求导。
05
高考真题回顾与模拟题训 练
历年高考真题剖析
2022年全国卷
考查复合函数求导法则及导数在解决 实际问题中的应用，如最值、单调性 等。
2020年全国卷
考查复合函数求导的基本技巧，如链 式法则、乘法法则等，并结合实际问 题进行应用。
2021年全国卷
结合实际问题背景，考查学生运用导 数研究函数性质的能力，包括判断函 数的单调性、求极值和最值等。
模拟题训练及答案解析
模拟题一
求复合函数$f(g(x))$的导数，并 讨论其单调性。
模拟题二
结合实际问题背景，运用导数研 究函数的性质，如最值、拐点等
。
答案解析
详细解析模拟题的解题思路和方 法，帮助学生掌握复合函数求导
04
复杂情境下复合函数求导 策略
多层嵌套复合函数处理方法
01
02
03
逐层求导法
从外层函数开始，逐层向 内求导，直到求出最终导 数。
链式法则应用
将多层嵌套复合函数视为 多个简单复合函数的组合 ，分别应用链式法则求导 。
变量代换法
通过变量代换将多层嵌套 复合函数转化为简单复合 函数，再求导。
分段定义复合函数求导技巧
02
复合函数求导法则与方法
链式法则原理及适用条件
链式法则原理
链式法则是复合函数求导的基本 法则，它指出复合函数的导数等 于内函数的导数与外函数的导数 的乘积。
适用条件
适用于两个或多个函数复合而成 的复合函数，且每个函数在其定 义域内均可导。
逐步求导过程演示
确定复合函数的构成
首先分析复合函数的构成，明 确哪些函数是内函数，哪些是
VS
示例
例如函数y=sqrt(1-x^2)可以看作是由 y=sqrt(u)和u=1-x^2两个函数复合而成 。
复合函数性质探讨
01 02
单调性
复合函数的单调性由内外层函数的单调性共同决定。当内外层函数单调 性相同时，复合函数为增函数；当内外层函数单调性相反时，复合函数 为减函数。
奇偶性
若内层函数为奇函数，外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数；若内 层函数为偶函数，外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数。
高二数学人选修课件
时复合函数求导及应
汇报人：XX
用20XX-01-17
目录
• 复合函数基本概念与性质 • 复合函数求导法则与方法 • 复合函数在生活中的应用举例
目录
• 复杂情境下复合函数求导策略 • 高考真题回顾与模拟题训练
01
复合函数基本概念与性质
复合函数定义及示例
复合函数定义
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu ，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为 Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于 Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确 定的y值与之对应，则变量x与y之间通过 变量u形成的一种函数关系，这种函数称 为复合函数(composite function)，记为 ：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中 间变量，y为因变量（即函数）。
典型例题解析与技巧总结
技巧总结 1. 熟练掌握ຫໍສະໝຸດ 本初等函数的导数公式以及导数运算法则；
2. 在求复合函数导数时，要正确识别出内函数和外函数；
典型例题解析与技巧总结
01
3. 注意链式法则的应用，确保每 一步的求导都是正确的；
02
4. 多做练习，通过实践加深对复 合函数求导的理解和掌握。
03
复合函数在生活中的应用 举例
THANKS
感谢观看
外函数。
对内函数求导
根据内函数的表达式，求出其 导数。
对外函数求导
将内函数的导数代入外函数中 ，求出外函数的导数。
计算复合函数的导数
根据链式法则，将内函数的导 数与外函数的导数相乘，得到
复合函数的导数。
典型例题解析与技巧总结
• 典型例题：例如，求函数$y = \sin(x^2)$的导数。首先识别出 内函数为$x^2$，外函数为$\sin u$（其中$u = x^2$）。然 后分别求出内函数和外函数的导数：内函数的导数为$2x$，外 函数的导数为$\cos u$。最后根据链式法则，将两者相乘得到 复合函数的导数为$y' = 2x\cos(x^2)$。
经济学中边际效应分析
边际成本
在经济学中，边际成本指的是生产或销售一个额外单位产品所引起的总成本的 变动。利用复合函数求导，可以计算出边际成本函数，进而分析生产过程中的 成本变化情况。
边际收益
边际收益指的是销售一个额外单位产品所带来的总收益的变动。通过复合函数 求导，可以得到边际收益函数，帮助企业决策者判断增加或减少生产量对收益 的影响。
工程学中最优化问题解决方法
最优化设计
在工程学中，经常需要解决最优化问题，如寻找最佳设计方 案、最优控制策略等。通过构建复合函数模型，并对其进行 求导，可以找到使目标函数达到极值的条件，从而实现最优 设计。
敏感性分析
敏感性分析用于研究输入变量对输出结果的影响程度。在工 程问题中，可以利用复合函数的导数进行敏感性分析，评估 不同因素对系统性能的影响大小，为工程决策提供依据。
03
周期性
若内层函数具有周期性，且外层函数的周期是内层函数周期的整数倍，
则复合函数也具有周期性。
复合函数图像变化规律
平移变换
当内层函数为一次函数时，复合函数的图像相对于外层函数的图像发生平移。
伸缩变换
当内层函数的绝对值大于1时，复合函数的图像相对于外层函数的图像发生伸缩变换。
对称变换
当内层函数具有对称性时，复合函数的图像也会表现出相应的对称性。例如，若内层函数 为奇函数或偶函数，则复合函数的图像关于原点或y轴对称。
分段点处理
在分段点处分别求出左右 导数，判断函数在该点的 可导性。
分段函数求导
对每一段分别求导，注意 各段间的连接点处的导数 计算。
导数性质应用
利用导数性质如单调性、 极值等分析分段定义复合 函数的性质。
隐式表达复合函数求导策略
隐式求导法
将隐式表达复合函数两边同时对 自变量求导，解出导数表达式。
参数方程法
物理学中速度与加速度关系探讨
速度与位移关系
在物理学中，速度是位移对时间的导 数。当位移与时间的关系为复合函数 时，可以通过求导得到速度函数，进 而分析物体的运动状态。
加速度与速度关系
加速度是速度对时间的导数。当速度 与时间的关系为复合函数时，通过求 导可以得到加速度函数，有助于深入 理解物体的运动规律。
应试技巧总结和备考建议
应试技巧
在解题时，注意先确定复合函数的内外层函数，再运用链式法则进行求导；同时 ，要注意导数的定义域和函数的定义域之间的关系。
备考建议
熟练掌握复合函数求导的基本法则和技巧，多做相关练习题；同时，要注重理解 导数的概念和性质，以及在实际问题中的应用。在备考过程中，可以结合历年高 考真题和模拟题进行针对性训练。
将隐式表达复合函数转化为参数方 程形式，再对参数求导得到导数表 达式。
变量代换法
通过变量代换将隐式表达复合函数 转化为显式表达形式，再求导。
05
高考真题回顾与模拟题训 练
历年高考真题剖析
2022年全国卷
考查复合函数求导法则及导数在解决 实际问题中的应用，如最值、单调性 等。
2020年全国卷
考查复合函数求导的基本技巧，如链 式法则、乘法法则等，并结合实际问 题进行应用。
2021年全国卷
结合实际问题背景，考查学生运用导 数研究函数性质的能力，包括判断函 数的单调性、求极值和最值等。
模拟题训练及答案解析
模拟题一
求复合函数$f(g(x))$的导数，并 讨论其单调性。
模拟题二
结合实际问题背景，运用导数研 究函数的性质，如最值、拐点等
。
答案解析
详细解析模拟题的解题思路和方 法，帮助学生掌握复合函数求导
04
复杂情境下复合函数求导 策略
多层嵌套复合函数处理方法
01
02
03
逐层求导法
从外层函数开始，逐层向 内求导，直到求出最终导 数。
链式法则应用
将多层嵌套复合函数视为 多个简单复合函数的组合 ，分别应用链式法则求导 。
变量代换法
通过变量代换将多层嵌套 复合函数转化为简单复合 函数，再求导。
分段定义复合函数求导技巧
02
复合函数求导法则与方法
链式法则原理及适用条件
链式法则原理
链式法则是复合函数求导的基本 法则，它指出复合函数的导数等 于内函数的导数与外函数的导数 的乘积。
适用条件
适用于两个或多个函数复合而成 的复合函数，且每个函数在其定 义域内均可导。
逐步求导过程演示
确定复合函数的构成
首先分析复合函数的构成，明 确哪些函数是内函数，哪些是
VS
示例
例如函数y=sqrt(1-x^2)可以看作是由 y=sqrt(u)和u=1-x^2两个函数复合而成 。
复合函数性质探讨
01 02
单调性
复合函数的单调性由内外层函数的单调性共同决定。当内外层函数单调 性相同时，复合函数为增函数；当内外层函数单调性相反时，复合函数 为减函数。
奇偶性
若内层函数为奇函数，外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数；若内 层函数为偶函数，外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数。
高二数学人选修课件
时复合函数求导及应
汇报人：XX
用20XX-01-17
目录
• 复合函数基本概念与性质 • 复合函数求导法则与方法 • 复合函数在生活中的应用举例
目录
• 复杂情境下复合函数求导策略 • 高考真题回顾与模拟题训练
01
复合函数基本概念与性质
复合函数定义及示例
复合函数定义
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu ，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为 Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于 Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确 定的y值与之对应，则变量x与y之间通过 变量u形成的一种函数关系，这种函数称 为复合函数(composite function)，记为 ：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中 间变量，y为因变量（即函数）。
典型例题解析与技巧总结
技巧总结 1. 熟练掌握ຫໍສະໝຸດ 本初等函数的导数公式以及导数运算法则；
2. 在求复合函数导数时，要正确识别出内函数和外函数；
典型例题解析与技巧总结
01
3. 注意链式法则的应用，确保每 一步的求导都是正确的；
02
4. 多做练习，通过实践加深对复 合函数求导的理解和掌握。
03
复合函数在生活中的应用 举例
THANKS
感谢观看
外函数。
对内函数求导
根据内函数的表达式，求出其 导数。
对外函数求导
将内函数的导数代入外函数中 ，求出外函数的导数。
计算复合函数的导数
根据链式法则，将内函数的导 数与外函数的导数相乘，得到
复合函数的导数。
典型例题解析与技巧总结
• 典型例题：例如，求函数$y = \sin(x^2)$的导数。首先识别出 内函数为$x^2$，外函数为$\sin u$（其中$u = x^2$）。然 后分别求出内函数和外函数的导数：内函数的导数为$2x$，外 函数的导数为$\cos u$。最后根据链式法则，将两者相乘得到 复合函数的导数为$y' = 2x\cos(x^2)$。
经济学中边际效应分析
边际成本
在经济学中，边际成本指的是生产或销售一个额外单位产品所引起的总成本的 变动。利用复合函数求导，可以计算出边际成本函数，进而分析生产过程中的 成本变化情况。
边际收益
边际收益指的是销售一个额外单位产品所带来的总收益的变动。通过复合函数 求导，可以得到边际收益函数，帮助企业决策者判断增加或减少生产量对收益 的影响。
工程学中最优化问题解决方法
最优化设计
在工程学中，经常需要解决最优化问题，如寻找最佳设计方 案、最优控制策略等。通过构建复合函数模型，并对其进行 求导，可以找到使目标函数达到极值的条件，从而实现最优 设计。
敏感性分析
敏感性分析用于研究输入变量对输出结果的影响程度。在工 程问题中，可以利用复合函数的导数进行敏感性分析，评估 不同因素对系统性能的影响大小，为工程决策提供依据。
03
周期性
若内层函数具有周期性，且外层函数的周期是内层函数周期的整数倍，
则复合函数也具有周期性。
复合函数图像变化规律
平移变换
当内层函数为一次函数时，复合函数的图像相对于外层函数的图像发生平移。
伸缩变换
当内层函数的绝对值大于1时，复合函数的图像相对于外层函数的图像发生伸缩变换。
对称变换
当内层函数具有对称性时，复合函数的图像也会表现出相应的对称性。例如，若内层函数 为奇函数或偶函数，则复合函数的图像关于原点或y轴对称。
分段点处理
在分段点处分别求出左右 导数，判断函数在该点的 可导性。
分段函数求导
对每一段分别求导，注意 各段间的连接点处的导数 计算。
导数性质应用
利用导数性质如单调性、 极值等分析分段定义复合 函数的性质。
隐式表达复合函数求导策略
隐式求导法
将隐式表达复合函数两边同时对 自变量求导，解出导数表达式。
参数方程法
物理学中速度与加速度关系探讨
速度与位移关系
在物理学中，速度是位移对时间的导 数。当位移与时间的关系为复合函数 时，可以通过求导得到速度函数，进 而分析物体的运动状态。
加速度与速度关系
加速度是速度对时间的导数。当速度 与时间的关系为复合函数时，通过求 导可以得到加速度函数，有助于深入 理解物体的运动规律。