初三培优[下学期]浙教版

初三培优题〔一〕
1、〔山东枣庄市〕关于x的二次函数
2
2
1
2
m
y x mx
+
=-+与
2
2
2
2
m
y x mx
+
=--,
这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点．
(l〕试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点；
(2〕假设A点坐标为〔-1, 0),试求B点坐标；
(3〕在〔2〕的条件下,对于经过A, B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小？
2、〔重庆〕：m n 、是方程2
650x x -+=的两个实数根,且m n <,抛物线2
y x bx c
=-++的图像经过点A(,0m )、B(0n ，).
(1) 求这个抛物线的解析式；
(2) 设〔1〕中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C 、D 的坐标和△
BCD 的面积；〔注：抛物线2
y ax bx c =++(0)a ≠的顶点坐标为〔2
4(,)24b ac b a a
--〕 (3) P 是线段OC 上的一点,过点P 作PH ⊥x 轴,与抛物线交于H 点,假设直线BC 把△PCH 分成
面积之比为2：3的两局部,请求出P 点的坐标.
3、〔金华〕如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于
点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)假设S梯形OBCD＝43
3
,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.假设存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
4、〔济南〕某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm 的简易废纸箱．如图1,废纸箱的一面利用墙,放置在地面上,利用地面作底,其它的面用一张边长为60cm 的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的,所以废纸箱的横截面图形面积越大,那么它的容积越大．
〔1〕该小组通过屡次尝试,最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形,如图2,是根据这三种横截面图形的面积2
(cm )y 与(cm)x 〔见表中横截面图形所示〕的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有信息,在表中空白处填上适当的数、式,并完成y 取最大值时的设计示意图；
横截面图形
y 与x 的函
数关系式 21
302
y x x =-+
23
33034
y x x =-
+ y 取最大值
时x 〔cm 〕
的值
30 20
2(cm )y 取
得的最大值
450
3003
y 取最大值
时的设计示意图
〔2〕在研究性学习小组展示研究成果时,小华同学指出：图2中“底角为60的等腰梯形〞的图象与其他两个图象比拟,还缺少一局部,应该补画．你认为他的说法正确吗？请简要说明理由．
cm x
cm x
60
60
cm x
30cm
30cm
图1
10 15 20
30
40
50
60
100 200 300 400 450 500 550 600 2(cm )y
(cm)x
底角为60的等腰梯形
直角三角形
矩形
25题图
答 案
第一题：〔此题总分值12分〕
解：(l 〕对于关于x 的二次函数y =22
1
,2
m x mx +-+ 由于△＝(-m ) 2
-4×l ×21
2
m +=-m 2-2<0,
所以此函数的图象与x 轴没有交点……………………………………………… 1分
对于关于x 的二次函数 y =22
2
2
m x mx +--.
由于△＝(-m ) 2-4 ×l ×21
()2
m +=-m 2-2<0, 所以此函数的图象与x 轴没有交点
对于关于x 的二次函数22
2
,2
m y x mx +=-- 由于22
22
()41()340,2
m m m +∆=--⨯⨯-=+> 所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点.
故图象经过A 、B 两点的二次函数为22
2
,2
m y x mx +=--…………………3分 (2 )将A(-1,0)代入22
22m y x mx +=--,得22
12
m m ++-=0.
整理,得m 2-2m = 0 .
解之,得m=0,或m = 2．…………………………………………………………5分 当m =0时,y ＝x 2-1．令y = 0,得x 2-1 = 0. 解这个方程,得x 1=-1,x 2=1
此时,B 点的坐标是B (l, 0)．……………………………………………………6分 当m=2时,y=x 2-2x-3.令y=0,得x 2-2x-3=0. 解这个方程,得x 1=-1,x 2=3
此时,B 点的坐标是B 〔3,0〕. …………………………………………………8分 (3) 当m =0时,二次函数为y ＝x 2-1,此函数的图象开口向上,对称轴为x=0,所以当x<0
时,函数值 y 随：的增大而减小．……………………………………10分
当m=2时,二次函数为y = x 2-2 x-3 = (x-1)2-4, 此函数的图象开口向上,对称轴为x = l,所以当x < l 时,函数值y 随x 的增大而减小.……………12分
第二题：〔1〕解方程2
650,x x -+=得125,1x x ==
由m n <,有1,5m n ==
所以点A 、B 的坐标分别为A 〔1,0〕,B 〔0,5〕. 将A 〔1,0〕,B 〔0,5〕的坐标分别代入2
y x bx c =-++.
得105b c c -++=⎧⎨=⎩解这个方程组,得45b c =-⎧⎨=⎩
所以,抛物线的解析式为2
45y x x =--+
〔2〕由2
45y x x =--+,令0y =,得2
450x x --+=
解这个方程,得125,1x x =-=
所以C 点的坐标为〔-5,0〕.由顶点坐标公式计算,得点D 〔-2,9〕. 过D 作x 轴的垂线交x 轴于M. 那么127
9(52)22
DMC S ∆=
⨯⨯-=
12(95)142MDBO S =⨯⨯+=梯形,125
5522
BOC S ∆=⨯⨯=
所以,2725
141522
BCD DMC BOC MDBO S S S S ∆∆∆=+-=+-=梯形.
〔3〕设P 点的坐标为〔,0a 〕
由于线段BC 过B 、C 两点,所以BC 所在的值线方程为5y x =+. 那么,PH 与直线BC 的交点坐标为(,5)E a a +,
PH 与抛物线2
45y x x =--+的交点坐标为2
(,45)H a a a --+.
由题意,得①32EH EP =,即23
(45)(5)(5)2a a a a --+-+=+ 解这个方程,得3
2
a =-或5a =-〔舍去〕
②23EH EP =,即2
2(45)(5)(5)3
a a a a --+-+=+
解这个方程,得2
3a =-或5a =-〔舍去〕
P 点的坐标为3(,0)2-或2
(,0)3
-.
第三
题
：
〔
1
〕
直
线
AB
解
析
式
为
：
y=3
3
-
x+3． ……………〔3分〕
〔2〕方法一：设点Ｃ坐标为〔x,33-
x+3〕,那么OD ＝x,CD ＝3
3-x+3． ∴OBCD S 梯形＝
()2
CD CD OB ⨯+＝36
32
+-
x ． ………〔2分〕
由题意：3632+-x ＝3
3
4,解得4,221==x x 〔舍去〕 ………〔2分〕
∴ Ｃ〔２,
3
3
〕 ………〔１分〕 方法二：∵ 23321=⨯=
∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334,∴6
3=∆ACD S ．…〔2分〕 由OA=3OB,得∠BAO ＝30°,AD=3CD ．
∴ ACD S ∆＝
2
1
CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ………〔2
分〕
∴ AD=１,OD ＝２．∴C 〔２,
3
3
〕． ………〔1分〕
〔３〕当∠OBP ＝Rt ∠时,如图
①假设△BOP ∽△OBA,那么∠BOP ＝∠BAO=30°,BP=3OB=3,
∴1P 〔3,
3
3
〕． ……〔2分〕 ②假设△BPO ∽△OBA,那么∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=
3
3
OB=1． ∴2P 〔1,3〕． …………〔１分〕 当∠OPB ＝Rt ∠时
③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图),此时△PBO ∽△OBA,∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．
方法一： 在Rt △PBO 中,BP ＝
21OB ＝23,OP ＝3BP ＝2
3．
∵ 在Rt △P ＭO 中,∠OPM ＝30°, ∴ OM ＝
21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P 〔4
3,43
3〕． 〔1分〕
方法二：设Ｐ〔x ,33-
x+3〕,得OM ＝x ,PM ＝3
3
-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．
∵tan ∠POM==
OM
PM =x x 3
33
+-
,tan ∠ABOC=OB
OA =3．
∴33-
x+3＝3x,解得x ＝43．此时,3P 〔43,4
3
3〕． …〔1分〕 ④假设△POB ∽△OBA(如图),那么∠OBP=∠BAO ＝30°,∠POM ＝30°． ∴ PM ＝
33OM ＝4
3
． ∴ 4P 〔
43,4
3〕〔由对称性也可得到点4P 的坐标〕．…………〔2分〕 当∠OPB ＝Rt ∠时,点P 在ｘ轴上,不符合要求. 综合得,符合条件的点有四个,分别是：
1P 〔3,
33〕,2P 〔1,3〕,3P 〔43,433〕,4P 〔43,4
3〕． 注：四个点中,求得一个Ｐ点坐标给２分,两个给３分,三个给４分,四个给６分． 第四题：〔1〕表中空白处填写工程依次为2
260y x x =-+；15；450． ···················· 3分 表中y 取最大值时的设计示意图分别为： 〔5分〕
〔2〕小华的说法不正确． ·········································································· 6分 由于腰长x 大于30cm 时,符合题意的等腰梯形不存在,所以x 的取值范围不能超过30cm,因此研究性学习小组画出的图象是正确的． ·················································· 7分
15cm
15cm
30cm
20cm
20cm
20cm 60。