高三数学9月份联考试题 理含解析 试题

五大联盟2021届高三数学9月份联考试题理〔含解析〕
一、选择题
1. 集合，，那么中的元素的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】因为或者，所以，应选答案C。

2. ，为虚数单位，，那么( )
A. 9
B.
C. 24
D.
【答案】A
【解析】因为，所以
，那么，应选答案A。

3. 幂函数的图象过点，那么函数在区间上的最小值是( )
A. B. 0 C. D.
【答案】B
【解析】由题设，故在上单调递增，那么当时取最小值，应选答案B。

4. ，，，这三个数的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，应选答
案C。

5. 设等比数列的前项和为，且，那么( )
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】由题设，，所以，应选答案B。

6. 设满足约束条件，那么的最大值为( )
A. 3
B.
C. 1
D.
【答案】A
【解析】
画出不等式组表示的区域如图，那么问题转化为求动直线在上的截距的最小值的问题，结合图形可知：当动直线经过点时，，应选答案A。

7. 函数的最大值为3，的图象的相邻两条对称轴间的间隔为2，与轴的交点的纵坐标为1，那么( )
A. 1
B.
C.
D. 0
【答案】D
【解析】由题设条件可得，那么，所以，将点代入可得，即，又，所以，应选答案D。

8. 执行如下图的程序框图，假设输入，那么输出的结果为( )
A. 80
B. 84
C. 88
D. 92
【答案】A
【解析】
9. 在长方体中，，，，点在平面内运动，那么线段的最小值为( )
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由题意问题转化为求点到平面的间隔，由于，所以边上的高，故三角形的面积为，又三棱锥的体积，所以，应选答案C。

10. 假设关于的不等式在上恒成立，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不等式，可化为，那么问题转化为求函数的图像在函数下方，画出函数的图像及函数的图像，显然当不成立，故，结合图像当且仅当时满足题设，即，也即，应选答案D。

11. 双曲线的虚轴上、下端点分别为，右顶点为，右焦点为，延长与交于点，假设四个点一共圆，为坐标原点，那么该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题设，即，也即，应选答案C。

12. 函数在区间上有最大值，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以由题设在只有一个零点且单调递减，那么问题转化为，即，应选答案B。

点睛：解答此题的关键是如何借助题设条件建立不等式组，这是解答此题的难点，也是解答好此题的打破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。

第二卷〔一共90分〕
二、填空题
13. 向量，，且，那么__________．
【答案】
【解析】由题设，那么，，，所以
，应填答案。

14. 集合，集合，，那么下列图中阴影局部所表示的集合为
__________．
【答案】
【解析】因为，，所以或者，那么图中阴影局部所表示的集合为，应填答案。

15. 假设函数的图象在点处的切线斜率为，那么函数的极小值是__________．
【答案】
【解析】因为，所以由导数的几何意义可得切线的斜率
，故，令可得，那么函数的极小值为，应填答案。

16. 假设函数至少有3个零点，那么实数的取值范围是__________．【答案】
【解析】
由可得，那么问题转化为函数的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当时，即时满足题设，应填答案。

点睛：此题的求解过程表达了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围。

三、解答题
17. 函数的定义域为，，函数的值域为.
(1)当时，求；
(2)是否存在实数，使得？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.
【答案】〔1〕存在实数，使得；〔2〕。

【解析】【试题分析】〔1〕先求出时的集合，再计算；〔2〕先求出集合，
再根据建立方程求；
解：(1)由，解得，即.
当时，因为，所以，即.
所以.
(2)因为，假设存在实数，使，那么必有，解得.
故存在实数，使得.
18. 函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域.
【答案】〔1〕；〔2〕。

【解析】【试题分析】〔1〕先求出函数的导数，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，建立方程求出，进而将切点坐标代入求出；〔2〕借助〔1〕的结论先断定函数的单调性，再根据所给区间求出函数的最大值和最小值，然后确定函数的值域：
解：(1)因为，所以.
又，.
解得.
(2)由(1)知.
因为，所以函数在上递增，
因为，.
所以函数在上的值域为.
19. 如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，
，，平面平面.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】〔1〕见推证过程；〔2〕。

(1)证明：如图，取的中点，连接，因为，，
所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，从而.
同理可证，因此.
由于四边形为正方形，且平面平面，平面平面，故平面，从而，
又，故平面，即.
(2)解：由(1)知可建立如下图的空间直角坐标系.
那么，，，，.
故，，设为平面的一个法向量，故，即，故可取.
又，，设为平面的一个法向量，
故，即，故可取.
故.
易知二面角为锐角，那么二面角的余弦值为.
点睛：空间向量是解决空间角度和间隔的计算问题的有效工具，此题的第二问巧妙地借助题设条件建立了空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式的坐标形式及待定系数法先求出两个平面的法向量，然后再运用数量积的公式的两种形式建立方程求出其二面角的余弦值，使得问题获解。

20. 函数.
(1)当时，为上的增函数，求的最小值；
(2)假设，，，求的取值范围.
【答案】〔1〕；〔2〕。

【解析】【试题分析】〔1〕先求函数的导数，再根据题设条件建立不等式，然后运用根本不等式求的最小值，进而得到，求出的最小值；〔2〕先判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式等价转化为，进而转化为求解：
解：(1)当时，.
由为上的增函数可得对恒成立，
那么，∵，∴，∴，那么的最小值为.
(2)，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴为上的增函数，
又，∴为奇函数，
由得，
∵为上的增函数，
∴，∴，∵，∴，∴.
故的取值范围为.
点睛：此题以含参数的函数解析式为背景，旨在考察导数知识在研究函数的单调性、极值最值等方面的综合运用。

求解第一问时，先求函数的导数，再根据题设条件建立不等式，然后运用根本不等式求的最小值，进而得到，求出的最小值为-4；第二问的求解过程中，先判断函数
的奇偶性与单调性，从而将不等式等价转化为，进而转化为求解，表达了等价转化的数学思想的巧妙运用。

21. ，函数，.
(1)假设恒成立，求的取值范围；
(2)证明：不管取何正值，总存在正数，使得当时，恒有.
【答案】〔1〕；〔2〕总存在，使得当时，恒有.
【解析】【试题分析】〔1〕先将不等式等价转化为，然后构造函数，那么，运用导数知识探求其最大值，进而求出实数的取值范围；〔2〕先对函数求导，从而将问题等价转化为，进而转化为函数的最大值进展分析探求：
解：(1)函数，的定义域均为.
因为，，所以可化为，
令，那么，
由得，
所以，当，；当，，
所以的单调增区间是，单调减区间是.
所以.
所以.
(2)(方法一)：，
令，得；令，得，∴，
当，即时，显然存在正数满足题意，
当时，
∵在上递减，且，
∴必存在，.
故存在，使得当时，.
(方法二)：，令，，
所以，当，；当，.
所以的单调增区间是，单调减区间是，
因为，所以当，即时，存在，使得当，恒有.即.
当时，由(1)知，即，
所以，
由得，所以，
因为，所以，根据函数的图象可知存在，
使得当，恒有，即.
综上所述，总存在，使得当时，恒有.
22. 直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程(化为HY方程)；
(2)设直线与曲线交于两点，求.
【答案】〔1〕；〔2〕2。

【解析】试题分析：〔1〕先运用消参法将直线的参数消去化为普通方程，再借助直角坐标与极坐标之间的互化公式将曲线的极坐标方程化为普通坐标方程；〔2〕先将直线的普通方程化为极坐标方程，然后代入曲线的极坐标方程中，借助根与系数的关系及极径的几何意义求出：
解：(1)直线的普通方程为即，
曲线的直角坐标方程是，
即.
(2)直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，所以，
.
不妨设，那么，
所以.
23. 函数.
(1)证明：；
(2)假设，求的取值范围.
【答案】〔1〕见证明过程；〔2〕.
【解析】试题分析：〔1〕运用绝对值不等式的三角形式求出函数的最小值
，然后运用根本不等式分析推证出；〔2〕先将不等式等价转化化为，再运用分类整合思想进展求解：
解：(1)证明：因为，
又，所以，
所以.
(2)解：可化为，
因为，所以(*)，
①当时，不等式(*)无解，
②当时，不等式(*)可化为，
即，解得，
综上所述，.
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