函数的幂级数展开式的应用-近似计算

函数的幂级数展开式的应用
近似计算
微分方程的幂级数解法欧拉公式
近似计算
例 计算5
240的近似值, 要求误差不超过0.0001.
解
5
2405
3243-=15
41313⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
15m =,41
3x =- 428312111411491315352!353!3
⋅⋅⋅⎛
⎫
=-⋅-⋅-⋅- ⎪⋅⋅⎝⎭
取前两项的和作为5
240的近似值,
其误差(也叫做截断误差)为:
||2r ⎝⎛⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1238231!3594131!25413⎪⎭
⎫
+⋅⋅⋅⋅⋅+ 16
431!4514941 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛++⋅⋅⋅⋅< 282811811131!25413
86111253181
=⋅⋅- 4027251
⋅⋅= 120000<，
为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与 截断误差之和不超过4
10-, 计算时应取五位小数,
然后再四舍五入. 因此最后得5
240 2.9926≈.
故取近似式为5
2404113153⎛⎫
≈-⋅ ⎪⎝⎭
例 计算ln 2的近似值,要求误差不超过0.0001.
解 在)1ln(x +1
1
(1)n n
n x n -∞
=-=∑(11)x -<≤中令1x =得
ln 2=11111(1)23n n --+-+-+, 要使1||1n r n ≤+41
10
≤, 必须取410n =. 计算量太大 影响近似值的精确度 将)1ln(x +的幂级数展开式中的x 换成x -,得
ln(1)x -1
1
(1)()n n
n x n -∞
=-=-∑ (11)x -≤<,
1ln ln(1)ln(1)1x x x x
+=+--- 3521
23521n x x x x n +⎛⎫=+++++ ⎪+⎝⎭
(11)x -<<.
令
121x x +=-, 解出13x =. 以1
3
x =代入上式,得:
ln 2 35211111111=2+++++333532+13n n +⎛⎫
⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
.
取前四项作为ln 2的近似值,其误差为
4||r 911211111112++++931132+13n n +⎛⎫
=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
211211113999n
⎡⎤⎛⎫⎛⎫
<+++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11211319=⋅-
1
70000
<.
于是 取ln 2357
1111111
23335373
⎛⎫≈+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭
. 考虑到舍入误差,
化为小数时应取小数点后五位, 得ln 20.6931≈.
例 利用!
3sin 3
x x x -≈求
9sin 的近似值,并估计误差.
解 ︒9sin πsin 9180⎛⎫
=⨯
⎪⎝⎭πsin 20=3
π1π203!20⎛⎫≈- ⎪⎝⎭. 在x sin 21
0(1)(21)!
n
n n x
n ∞
+=-=+∑()x -∞<<+∞中令π20x =得 35
21
ππ1π1π(1)πsin 20203!205!20(21)!20n n
n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-
++
⎪ ⎪
⎪+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
,
误差为
||2r 5
1π5!20⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 5
1(0.2)120<⋅ 3000001<. 取π
0.15708020≈,3
1π0.0006463!20⎛⎫≈ ⎪⎝⎭
, 得︒9sin 0.15643≈, 这时误差不超过5
10-.
3
ππ1πsin 20203!20⎛⎫≈- ⎪
⎝⎭
如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数,
那么把这个幂级数逐项积分,用积分后的级数就
可算出定积分的近似值.
例 计算定积分
2
120
2
e
d π
x x -⎰
的近似值，
要求误差 不超过0.0001(取1
0.56419π
≈).
解 将0e !
n
x
n x n ∞
==∑()x -∞<<+∞中的x 换成2
x -,
2
e
x
-20
(1)!n n n x n ∞
=-=∑()x -∞<<+∞. 21202e d πx x -⎰122002(1)d !πn n n x x n ∞=⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
∑⎰ 122002(1)d !πn n
n x x n ∞=-=∑⎰ 24
6211111
1(1)23252!273!
2(21)!
πn
n n n ⎛⎫=-+-++-+
⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭
. 2
120
2
e d π
x x
-⎰
其误差为
||4r 8
11294!π≤⋅⋅ 1
90000<, 2
120
2e
d π
x x -⎰
2461111123252!273!π⎛⎫
≈-+- ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭
0.5205≈.。