【成才之路】2021学年高中数学 3.3综合法与分析法同步检测 北师大版选修1-2(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学 3.3综合法与分析法同步检测 北师大版选修
1-2
一、选择题
1．分析法证明问题是从所证命题的结论动身，寻求使那个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分条件又非必要条件
[答案] A
2．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，那么f (a )＋f (b )＋f (c )的值( ) A ．必然大于零 B ．一定等于零 C ．必然小于零 D ．正负都有可能 [答案] A
[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数， 由a ＋b >0得a >－b ，
因此f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，
同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，因此f (a )＋f (b )＋f (c )>0. 3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，那么必有( ) A ．1≤ab ≤
a 2＋
b 2
2
B ．ab <1<
a 2＋
b 2
2
C ．ab <
a 2＋
b 2
2
<1 D ．
a 2＋
b 2
2
<1<ab
[答案] B
[解析] ab <⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22<a 2＋b 2
2(a ≠b )． 4．设0<x <1，那么a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝1
1－x
中最大的一个是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．不能确定
[答案] C
[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－1
1－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 2
1－x
＜0，因此b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，因此b ＝1＋
x >2x ＝a ，因此a <b <c .
5．p ＝
ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·
b
m ＋d
n
(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，那么p 、q 的大小为( )
A ．p ≥q
B ．p ≤q
C ．p >q
D ．不确定
[答案] B [解析] q ＝
ab ＋
mad n
＋
nbc m
＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .
6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b ，那么A 、B 、C 的大小关系为( )
A ．A ≤
B ≤
C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
[答案] A [解析]
a ＋b
2
≥
ab ≥2ab
a ＋
b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b
2
)≤f (
ab )≤f (2ab
a ＋b
)．
二、填空题
7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b
2
，n ＝lg
a ＋b
2
，那么m 与n 的大小关系为________．
[答案] m >n [解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，因此
a ＋b
2
>
a ＋b
2
，因此m >n .
8．若是a
a ＋
b b >a b ＋b a ，那么实数a 、b 应知足的条件是________．
[答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0 [解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a
－b )(
a －
b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0
只需a ≠b 且a 、b 都不小于零即可．
9．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，那么a ，b ，c 的大小关系为________．
[答案] a >c >b [解析] b ＝
47＋
3，c ＝
46＋
2
，显然b <c ，而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－
48<8－
36＝2＝a 2，
因此a >c ，综上知a >c >b .
三、解答题
10．设a 、b 、c ∈R ，求证a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2. [证明]
∵(a －1)2＋(b －
1
2
)2＋c 2≥0， ∴a 2－2a ＋1＋b 2－b ＋
1
4＋c 2≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥2a ＋b －
54
， ∵2a ＋b －5
4>2a ＋b －2.
∴a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2. 一、选择题
11．在R 上概念运算⊙a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，那么知足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1＋∞)
D ．(－1,2)
[答案] C
[解析] x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1.
12．要使3
a －3
b <3
a －
b 成立，a 、b 应知足的条件是( )
A ．ab <0且a >b
B ．ab >0且a >b
C ．ab <0且a <b
D ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b
[答案] D
[解析] 3
a －3
b <3
a －
b ⇔a －b ＋33
ab 2－3
3
a 2
b <a －b .∴
3
ab 2<
3
a 2
b .
∴当ab >0时，有
3
b <
3
a ，即
b <a ；
当ab <0时，有3
b >3
a ，即
b >a .
13．(2021·哈六中期中)假设两个正实数x 、y 知足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y
4<m 2－3m 有解，那么实数m
的取值范围是( )
A ．(－1,4)
B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C ．(－4,1)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4x
y ≥2＋2
y 4x ·4x
y
＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y
4
的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋
y
4
有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，应选B.
14．(2021·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m ，n 都有： (1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出以下三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个．( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
[答案] A
[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．
又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)组成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，应选A.
二、填空题
15．假设sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，那么 cos(α－β)＝________.
[答案] －1
2
[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ
②
①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－1
2.
三、解答题
16．(2021·山东肥城二中高二期中)已知a 、b 、c 、d 为正实数，试用分析法证明：a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac
＋bd .
[解析] 要证
a 2＋
b 2·
c 2＋
d 2≥ac ＋bd 成立，只需证
(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ， 也确实是(bc ＋ad )2≥0. ∵(bc ＋ad )2≥0显然成立， ∴
a 2＋
b 2·
c 2＋
d 2≥ac ＋bd .
17．已知a ≥－12，b ≥－1
2，a ＋b ＝1，求证：
2a ＋1＋
2b ＋1≤2
2.
下面是证明进程：要证2a ＋1＋
2b ＋1≤2
2，只需证2(a ＋b )＋2＋2
2a ＋1·
2b ＋1≤8.
∵a ＋b ＝1，∴即证2a ＋1·2b ＋1≤2，只需证(2a ＋1)(2b ＋1)≤4，
即证ab ≤1
4
.∵
ab ≤a ＋b
2，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14
.∵ab ≤1
4成立，因此2a ＋1＋2b ＋1≤22成立．试分析找出上述证明进程中的错误，并给予订正．
[解析] 上述解法中，对ab ≤1
4的证明是错误的．因为
ab ≤a ＋b
2
成立的条件是a ≥0，b ≥0，而原题条件是
a ≥－12，
b ≥－1
2
，不知足上述条件．
正确解答为：在错解中，得
2a ＋1·
2b ＋1≤2.
∵a ≥－12，b ≥－12，
∴2a ＋1≥0,2b ＋1≥0. ∴
2a ＋1·
2b ＋1≤
2a ＋1＋2b ＋1
2
＝
2a ＋b ＋1
2
＝2，即2a ＋1·
2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．。