湖南省怀化市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题含解析

湖南省怀化市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在6×4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，则sin∠ACB=（）
A．1
2
B．2 C．
25
5
D．
13
4
2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、
P，连接OE，∠ADC=60°，AB=1
2
BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=1
4
AD⑤S△APO=
3
12
，正确的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（）
A．20°B．35°C．45°D．70°
4．估计
1
927
3
⨯-的运算结果应在哪个两个连续自然数之间（）
A．﹣2和﹣1 B．﹣3和﹣2 C．﹣4和﹣3 D．﹣5和﹣4
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（）
A．2 B．3C3D．3
6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点H，连接DH，下列结论正确的是（）
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是25﹣2
A．①②⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③④
7．小苏和小林在如图①所示的跑道上进行450
米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是（）.
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
8．1
8
的绝对值是（）
A．8 B．﹣8 C．1
8
D．﹣
1
8
9．下列命题中，真命题是（）
A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离
B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切
C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切
D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离
10．甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）
A ．甲的速度是70米/分
B ．乙的速度是60米/分
C ．甲距离景点2100米
D ．乙距离景点420米
11．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和
的长分别为（ ）
A ．2，
B ．2 ，π
C ．，
D ．2，
12．下列等式正确的是（ ）
A ．x 3﹣x 2=x
B ．a 3÷a 3=a
C ．231(2)(2)2
-÷-=- D ．（﹣7）4÷（﹣7）2=﹣72 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．江苏省的面积约为101 600km 1，这个数据用科学记数法可表示为_______km 1．
14．已知点()13,y -、()215,y -都在反比例函数()k y k 0x
=
≠的图象上，若12y y >，则k 的值可以取______(写出一个符合条件的k 值即可)．
15．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．
16．分解因式：a 2b−8ab+16b=_____．
17．某种水果的售价为每千克a 元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回 元（用含a 的代数式表示）．
18．安全问题大于天，为加大宣传力度，提高学生的安全意识，乐陵某学校在进行防溺水安全教育活动中，
将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？20．（6分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．
21．（6分）计算：2sin30°﹣|1﹣3|+（1
2
）﹣1
22．（8分）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．
23．（8分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=,求BC和BF的长．
24．（10分）如图，AC 是O e 的直径，点B 是O e 内一点，且BA BC =，连结BO 并延长线交O e 于点D ，过点C 作O e 的切线CE ，且BC 平分DBE ∠．
()1求证：BE CE =；
()2若O e 的直径长8，4sin BCE 5∠=，求BE 的长．
25．（10分）如图，在东西方向的海岸线MN 上有A ，B 两港口，海上有一座小岛P ，渔民每天都乘轮船从A ，B 两港口沿AP ，BP 的路线去小岛捕鱼作业．已知小岛P 在A 港的北偏东60°方向，在B 港的北偏西45°方向，小岛P 距海岸线MN 的距离为30海里．
求AP ，BP 的长（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2）；
甲、乙两船分别从A ，B 两港口同时出发去小岛P 捕鱼作业，甲船比乙船晚到小岛24分钟．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时？
26．（12分）一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设慢车离乙地的距离为y 1（km ），快车离乙地的距离为y 2（km ），慢车行驶时间为x （h ），两车之间的距离为S （km ），y 1，y2与x 的函数关系图象如图①所示，S 与x 的函数关系图象如图②所示：
（1）图中的a=______，b=______．
（2）求快车在行驶的过程中S 关于x 的函数关系式．
（3）直接写出两车出发多长时间相距200km?
27．（12分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象的开
口方向、顶点坐标和对称轴．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
如图，由图可知BD=2、CD=1、BC=5，根据sin ∠BCA=
BD BC
可得答案． 【详解】
解：如图所示，
∵BD=2、CD=1，
∴22BD CD +2221+5
则sin ∠BCA=BD BC 525， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理．
2．D
【解析】
【分析】
①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA ，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE 是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE ∥AB ，根据勾股定理计算2213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭
和
OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=1
2
1
2
POE
AOP
S
S
=
V
V
，代入
可得结论．
【详解】
①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=1
2
AB=
1
2
，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，
=
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，
=，
∴
，故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
又AB=1
2
BC，BC=AD，
∴OE=1
2
AB=
1
4
AD，故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴
∴S△AOE=S△EOC=1
2
OE•OC=
1
2
×
1
2
=
∵OE∥AB，
∴
1
2 EP OE
AP AB
==，
∴
1
2
POE
AOP
S
S
=
V
V
，
∴S△AOP=2
3
S△AOE
=
2
38
⨯
=
12
，故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5个，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
3．B
【解析】
解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=1
2
∠AOB=35°，∵CD∥OB，∴∠BOC=∠C=35°，故选B．
4．C
【解析】
根据二次根式的性质，可化简得
1
927
3
⨯-=3﹣33=﹣23，然后根据二次根式的估算，由3
＜23＜4可知﹣23在﹣4和﹣3之间．
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简和估算，关键是根据二次根式的性质化简计算，再二次根式的估算方法求解.
5．B
【解析】
分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
详解：
如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OC=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM=60°，
∴OM=OBsin∠OBM=4×
3
2
＝3.
故选B.
点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°.
∵在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠ABE=∠DCF.
∵在△ADG和△CDG中，AD=CD，∠ADB=∠CDB，DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG.
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE，故③正确，
同理可证：△AGB≌△CGB.
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故①正确.
∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD，∠DAG=∠FCD，∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确.
取AB的中点O，连接OD、OH.
∵正方形的边长为4，
∴AO=OH=1
2
×4=1，
由勾股定理得，22
4225
+=
由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小5．
无法证明DH平分∠EHG，故②错误，
故①③④⑤正确.
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握它们的性质进行解题.
7．D
【解析】
【详解】
A.由图可看出小林先到终点，A错误；
B.全程路程一样，小林用时短，所以小林的平均速度大于小苏的平均速度，B错误；
C.第15 秒时，小苏距离起点较远，两人都在返回起点的过程中，据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程，C错误；
D.由图知两条线的交点是两人相遇的点，所以是相遇了两次，正确.
故选D.
8．C
【解析】
【分析】
根据绝对值的计算法则解答．如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
【详解】
解：11 88 ．
故选C．
【点睛】
此题重点考查学生对绝对值的理解，熟练掌握绝对值的计算方法是解题的关键.
9．D
【解析】
【分析】
根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
【详解】
A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；
B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；
C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；
D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r （R＞r）时两圆内含．
10．D
【解析】
【分析】
根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可.
【详解】
甲的速度=420
6
=70米/分，故A正确，不符合题意；
设乙的速度为x米/分．则有，660+24x-70×24=420，
解得x=60，故B正确，本选项不符合题意，
70×30=2100，故选项C正确，不符合题意，
24×60=1440米，乙距离景点1440米，故D错误，
故选D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．11．D
【解析】
试题分析：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，，
故选D．
考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．
12．C
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】
解：A 、x 3-x 2，无法计算，故此选项错误；
B 、a 3÷a 3=1，故此选项错误；
C 、（-2）2÷（-2）3=-12
，正确； D 、（-7）4÷（-7）2=72，故此选项错误；
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1.016×105
【解析】
【分析】
科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n 次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n 表示整数．n 为整数位数
减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂,
【详解】
解：101 600=1.016×
105 故答案为：1.016×
105 【点睛】
本题考查科学计数法，掌握概念正确表示是本题的解题关键.
14．-1
【解析】
【分析】
利用反比例函数的性质，即可得到反比例函数图象在第一、三象限，进而得出k 0<，据此可得k 的取值．
【详解】
解：Q 点()13,y -、()215,y -都在反比例函数()k y k 0x
=≠的图象上，12y y >， ∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
k 0∴<，
k
∴的值可以取1-等，(答案不唯一)
故答案为：1
-．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．15．50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：
【详解】
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.
∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为50°．
16．b（a﹣4）1
【解析】
【分析】
先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
解：a1b-8ab+16b=b（a1-8a+16）=b（a-4）1．
【点睛】
本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练运用公式法分解因式是本题的关键．
17．（50-3a）.
【解析】
试题解析：∵购买这种售价是每千克a元的水果3千克需3a元，
∴根据题意，应找回（50-3a）元．
考点：列代数式.
18．2 3
【解析】【分析】
根据事件的描述可得到描述正确的有①②③⑥，即可得到答案.
【详解】
∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，
∴抽到内容描述正确的纸条的概率是42 63 =，
故答案为：2
3
．
【点睛】
此题考查简单事件的概率的计算，正确掌握事件的概率计算公式是解题的关键.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．15天
【解析】
试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需（x-1）天，乙工程队单独做需（x+6）天，根据题意可得等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1，根据等量关系列出方程，解方程即可．
试题解析：设工程期限为x天．
根据题意得，
x4
1 x6x-1
+= +
解得：x=15.
经检验x=15是原分式方程的解．
答：工程期限为15天.
20．（1）详见解析；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出
△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形.
（2）利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积.
【详解】
（1）证明：由题意可知：
∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
∴直线DE是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；
且AD=CD、AO=CO，
又∵CE∥AB，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△COE中
∴△AOD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∵A0=CO，DO=EO，
∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AC⊥DE，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：当∠ACB=90°时，OD∥BC，
即有△ADO∽△ABC，
∴
又∵BC=6，
∴OD=3，
又∵△ADC的周长为18，
∴AD+AO=9，
即AD=9﹣AO，
∴
可得AO=4，
∴DE=6，AC=8，
∴
【点睛】
考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强. 21．4﹣3
【解析】
【分析】
原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的法则计算即可．【详解】
原式=2×1
2
﹣（3﹣1）+2
=1﹣3+1+2
=4﹣3．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（1）详见解析；（2）∠CEF=45°．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得出∠DCO＝∠ACB＝90°，然后根据等角的余角相等即可得出结论；
（2）根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解．
试题解析：
（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，
∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，
∴∠DCO＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，
∵AB是直径，∴∠1＋∠B＝90°，
∴∠3＝∠B．
（2）解：∵∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，∠CFE＝∠B＋∠FDB，
∵∠CDE＝∠FDB，∠ECD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠ECF＝90°，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°．
23．（1）证明见解析；（2）BC=；.
【解析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB．
∵∠CBF=∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE==2， ∴sin ∠2===，cos ∠2===，
在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC ∥BF ，
∴△AGC ∽△ABF ， ∴=．
∴BF==．
24．（1）证明见解析；（2）25BE 6=
． 【解析】
【分析】 ()1先利用等腰三角形的性质得到BD AC ⊥，利用切线的性质得CE AC ⊥，则CE ∥BD ，然后证明13∠=∠得到BE=CE ；
()2作EF BC ⊥于F ，如图，在Rt △OBC 中利用正弦定义得到BC=5，所以1522BF BC ==，然后在Rt △BEF 中通过解直角三角形可求出BE 的长．
【详解】
()1证明：BA BC =Q ，AO CO =，
BD AC ∴⊥，
CE Q 是O e 的切线，
CE AC ∴⊥，
CE //BD ∴，
12∠∠∴=．
BC Q 平分DBE ∠，
23∠∠∴=，
13∠∠∴=，
BE CE ∴=；
()2解：作EF BC ⊥于F ，如图，
O Q e 的直径长8，
CO 4∴=．
4OC sin 3sin 25BC
∠∠∴===， BC 5∴=，
BE CE Q =，
15BF BC 22
∴==， 在Rt BEF V 中，EF 4sin 3sin 1BE 5∠∠==
= 设EF 4x =，则BE 5x =，
BF 3x ∴=，即53x 2=，解得5x 6
=， 25BE 5x 6∴==． 故答案为（1）证明见解析；（2）256
BE =
． 【点睛】 本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了解直角三角形．
25．（1）AP ＝60海里，BP ＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时
【解析】
【分析】
（1）过点P 作PE ⊥AB 于点E ，则有PE=30海里，由题意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，从而可得 AP ＝60海里，在Rt △PEB 中，利用勾股定理即可求得BP 的长；
(2)设乙船的速度是x 海里/时，则甲船的速度是1.2x 海里/时，根据甲船比乙船晚到小岛24分钟列出分式方程，求解后进行检验即可得.
【详解】
(1)如图，过点P 作PE ⊥MN ，垂足为E ，
由题意，得∠PAB ＝90°－60°＝30°，∠PBA ＝90°－45°＝45°，
∵PE ＝30海里，∴AP ＝60海里，
∵PE ⊥MN ，∠PBA ＝45°，∴∠PBE ＝∠BPE ＝ 45°，
∴PE ＝EB ＝30海里，
在Rt △PEB 中，BP ＝≈42海里，
故AP ＝60海里，BP ＝42(海里)；
(2)设乙船的速度是x海里/时，则甲船的速度是1.2x海里/时，
根据题意，得
604224 1.260
x x
-=，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
甲船的速度为1.2x＝1.2×20＝24(海里/时).，
答：甲船的速度是24海里/时，乙船的速度是20海里/时.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，分式方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各相关知识是解题的关键.
26．（1）a=6, b=15
4
；（2）
15
1606000
4
15
1606006
4
60(610)
x x
S x x
x x
⎧⎛⎫
-+<
⎪
⎪
⎝⎭
⎪
⎪⎛⎫
=-<
⎨ ⎪
⎝⎭
⎪
⎪
⎪
⎩
…
…
剟
；（3）
5
2
h或5h
【解析】
【分析】
（1）根据S与x之间的函数关系式可以得到当位于C点时，两人之间的距离增加变缓，此时快车到站，指出此时a的值即可，求得a的值后求出两车相遇时的时间即为b的值；
（2）根据函数的图像可以得到A、B、C、D的点的坐标，利用待定系数法求得函数的解析式即可. （3）分两车相遇前和两车相遇后两种情况讨论，当相遇前令s=200即可求得x的值.
【详解】
解：（1）由s与x之间的函数的图像可知：
当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，由此可以得到a=6，
∵快车每小时行驶100千米，慢车每小时行驶60千米，两地之间的距离为600，
∴
15 600(10060)
4
b=÷+=；
（2）∵从函数的图象上可以得到A、B、C、D点的坐标分别为：（0，600）、（15
4
，0）、（6，360）、（10，
600），
∴设线段AB所在直线解析式为：S=kx+b，
∴6001504
b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：k=-160，b=600，
设线段BC 所在的直线的解析式为：S=kx+b ， ∴15046360
k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
解得：k=160，b=-600，
设直线CD 的解析式为：S=kx+b ，
636010600k b k b +=⎧⎨+=⎩
解得：k=60，b=0 ∴1516060004151606006460(610)x x S x x x x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎩
……剟 （3）当两车相遇前相距200km ，
此时：S=-160x+600=200，解得：52x =
， 当两车相遇后相距200km ，
此时：S=160x-600=200，解得：x=5， ∴52
x =或5时两车相距200千米 【点睛】
本题考查了一次函数的综合知识，特别是本题中涉及到了分段函数的知识，解题时主要自变量的取值范围. 27．开口方向：向上;点坐标：（-1，-3）;称轴：直线1x =-.
【解析】
【分析】
将二次函数一般式化为顶点式，再根据a 的值即可确定该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【详解】
解：()
2221y x x =+-， ()
222121y x x =++--，
()2213y x =+-，
x=-. ∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线1【点睛】
熟练掌握将一般式化为顶点式是解题关键.。