北京市海淀区12—13上学期高三数学(文)期末考试试卷

北京市海淀区2012—2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（文） 2013．1
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项． 1．复数
2
1i
-化简的结果为 A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i
2．向量a ＝(1，1)，b ＝(2，t )，若a ⊥b ，则实数t 的值为
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
3．在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则2
3
ABP ABC S S ≤
△△的概率是 A ．
13
B ．
23
C ．
23
D ．
56
4．点P 是抛物线2
4y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的n ，S 的值分别为 A ．n ＝4，S ＝30 B ．n ＝4，S ＝45 C ．n ＝5，S ＝30 D ．n ＝5，S ＝45
6．已知点A （-1，0），B （cos α，sin α），且||AB =AB 的方程为
A ．y =y =
B ．y x =
或y x =
C ．y ＝x +1或y ＝-x -1
D
．y =
y =
7．已知函数sin ,sin cos ,
()cos ,sin cos ,
x x x f x x x x ≥⎧=⎨
<⎩则下面结论中正确的是
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 的值域是[-1，1]
C ．()f x 是偶函数
D ．()f x
的值域是[2
-
8．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是
A
．[1,
2
B
．[
]42
C
．
D
．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．tan 225°的值为________．
10．双曲线
22
133
x y -=的渐近线方程为________；离心率为________． 11．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则
6
5
S S =______． 12．不等式组0,31x x y y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥+⎩
，表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx -1与区域Ω有公共点，则
实数k 的取值范围是________．
13．三棱锥D －ABC 及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______．
14．定义,0,
,0.a b a b a b a a b b ⨯⨯≥⎧⎪
⊕=⎨⨯<⎪⎩
设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=________；
若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123()()()f a f a f a +++…
781()()f a f a a ++=，则1a =________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数2
1
()cos cos 2
f x x x x =-+
，△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a ＝7，b ＝5，求c 的值．
16．（本小题满分13分）
某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型
各100输汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，数据统计如下表：
（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小
关系（只需写出结果）；
（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计
这辆汽车是A 型车的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型
中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．
17．（本小题满分14分）
如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，且E 是BC
的中点．
（Ⅰ）求证：A 1B ∥平面AEC 1； （Ⅱ）求证：B 1C ⊥平面AEC 1．
18．（本小题满分13分） 已知函数211
()22
f x x =
-与函数()ln g x a x =在点（1，0）处有公共的切线，设()()()(0)F x f x mg x m =-≠． （Ⅰ）当a 的值；
（Ⅱ）求()F x 在[1，e ]上的最小值．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆M :22
21(0)3
x y a a +
=>的一个焦点为F （-1，0），左右顶点分别为A ，B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；
（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1-S 2|的最大值．
20．（本小题满分13分）
已知函数()f x 的定义域为（0，+∞），若()
f x y x
=
在（0，+∞）上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”．
（Ⅰ）已知2
()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 是“一阶比增函数”，求证：1x ∀，2(0,)x ∈+∞，
1212()()()f x f x f x x +<+；
（Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解．
北京市海淀区2012—2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（文）参考答案及评分标准 2013．1
说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为2
1()cos cos 2
f x x x x =-+
1
2cos 22
x x =
- πsin(2)6x =- ………………6分
又π
()sin(2)16
f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分
所以ππ7π
2(,)666A -∈-，262A ππ-=，3
A π= ………………9分
（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-
得到2
π492525cos
3
c c =+-⨯， 所以25240c c --=
……………11分
解得c ＝-3（舍）或c ＝8 ……………13分
所以c ＝8
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大
………………3分
（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为
3A 33
3A,B 10313
==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和
这辆汽车是A 类型车的概率为
313
………………7分
（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为
334305156775
4.6250
A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=
………………9分
50辆B 类型车出租的天数的平均数为
31041051561075
4.850
B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=
………………11分
答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星
期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大，应该购买B 型车 ………………13分
答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星
期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分
17．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO
因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为A 1C 中点
又E 为CB 中点，所以EO 为△A 1BC 的中位线，
所以EO ∥A 1B ………………3分 又EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1
所以A 1B ∥平面AEC 1 ………………6分 （Ⅱ）因为AB ＝AC ，又E 为CB 中点，所以AE ⊥BC ………………8分
又因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC ，所以AE ⊥BB 1，
又因为BB 1∩BC ＝B ，所以AE ⊥平面BCC 1B 1，
又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以AE ⊥B 1C ………………10分
在矩形BCC 1B 1中，111tan tan CB C EC C ∠=∠= 所以∠CB 1C 1＝∠EC 1C ，
所以∠CB 1C 1+∠EC 1B ＝90°，
即B 1C ⊥EC 1 ……………12分 又AE ∩EC 1＝E ，所以B 1C ⊥平面BCC 1B 1
……………14分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为(1)(1)0f g ==，所以（1，0）在函数()f x ，()g x 的图象上
又()f x x '=，()a
g x x
'=，所以(1)1f '=，(1)g a '= 所以a ＝1
………………3分
（Ⅱ）因为211
()ln 22
F x x m x =
--，其定义域为{|0}x x > 2()m x m
F x x x x
-'=-=
………………5分
当m ＜0时，2()0m x m
F x x x x
-'=-=>，
所以()F x 在(0，+∞)上单调递增， 所以()F x 在[1，e ]上最小值为(1)0F =
………………7分
当m ＞0时，令2()0m x m
F x x x x
-'=-==，
得到120,0x x >= (舍)
1≤时，即01m <≤时，()0F x '>对(1，e )恒成立，
所以()F x 在[1，e ]上单调递增，其最小值为(1)0F = …………9分
e ≥时，即2m e ≥时，()0F x '<对(1，e )成立， 所以()F x 在[1，e ]上单调递减， 其最小值为211
()22
F e e m =-- ………………11分
当1e <
<，即21m e <<时，()0F x '<对(1成立，
()0F x '>对)e 成立
所以()F x 在(1单调递减，在)e 上单调递增
其最小值为1111ln 22222
m
F m m m m =
--=--……13分 综上，当1m ≤时，()F x 在[1，e ]上的最小值为(1)0F =
当21m e <<时，
()F x 在[1，e ]
上的最小值为11ln 222
m
F m m =
-- 当2m e ≥时，()F x 在[1，e ]上的最小值为211
()22
F e e m =--.
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为F (-1，0)为椭圆的焦点，所以c ＝1，又23b =，
所以2
4a =，所以椭圆方程为22
143
x y +=
………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y ＝x +1，和椭圆方程联立得到
22
14
31x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消掉y ，得到2
7880x x +-=………………5分 所以△＝288，1287x x +=
，1287
x x =
所以1224|||7
CD x x =-=
……………7分
（Ⅲ）当直线l 无斜率时，直线方程为x ＝-1，
此时3(1,)2D -，3(1,)2
C --，
△ABD ，△ABC 面积相等，12||0S S -=
………………8分
当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠， 设11(,)C x y ，22(,)D x y
和椭圆方程联立得到22
143
(1)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消掉y 得2
2
2
2
(34)84120k x k x k +++-= 显然△＞0，方程有根，
且2122834k x x k +=-+，2122
412
34k x x k -=+
………………10分
此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++
212
12||
2|()2|34k k x x k k =++=
+ ………………12分
因为k ≠0
，上式123
4||||
k k =
≤
==
+，
（2
k =±
时等号成立） 所以12||S S -
………………14分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题2()f x ax ax
y ax a x x
+===+在(0,)+∞是增函数， 由一次函数性质知
当a ＞0时，y ＝ax+a 在(0,)+∞上是增函数， 所以a ＞0
………………3分
（Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即
()
f x x
在(0,)+∞上是增函数， 又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+ 所以
112112()()f x f x x x x x +<+，212212
()()
f x f x x x x x +<
+ ………………5分
所以112112()()x f x x f x x x +<
+，212212
()
()x f x x f x x x +<+
所以11221212121212
()()
()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<
+=+++
所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >，
因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，
00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =
由（Ⅱ）知(2)2f t m >，
同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >>
所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >>，
所以()2013f x >一定有解 ………………13分 法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记
()f t k t = 因为当x ＞t 时，
()()f x f t k x t >=，所以()f x kx >对x ＞t 成立 只要2013x k
>，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x >一定有解
……………13分。