高考数学压轴专题最新备战高考《矩阵与变换》真题汇编含答案解析

【最新】数学《矩阵与变换》复习知识点
一、15
1．给定矩阵，
；求A 4B ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意已知矩阵A=
，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，
λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．
解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0
（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由=2，得A 的属于特征值2的特征向量α1= 当λ1=3时，由=3，得A 的属于特征值3的特征向量α2=
由于B=
=2
+
=2α1+α2
故A 4B=A 4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =
+
=
点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．
2．解关于x ，y 的方程组93x ay a
ax y +=⎧⎨
+=⎩
.
【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】
分别计算得到29D a =-，6x D a =，2
3y D a =-，讨论得到答案.
【详解】
2
199
a D a a =
=-，639
x a a D a =
=，2133
y a D a a =
=-.
当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2
2
26939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】
本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.
3．已知方程组()(
)()11
,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪
∈⎨
+++=⎪⎩
（1）求证：方程组恰有一解；
（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值1
3
，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】
（1）利用二阶行列式证明
（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）
221111
23230,3,4,
23232234,33
y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a a
x y --=
=+---=-≠==-+==-++++--∴=
=，
即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33
a a
x y --=
=，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；
（3）1||||(|3|3x y a +=
-1
|4|)3
a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，x y +的最小值1
3
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题
4．已知直线1l ：420mx y m +--=，2l ：0x my m +-=，分别求实数m 满足什么条件时，直线1l 与2l 相交？平行？重合？
【答案】当2m ≠且2m ≠-时，相交；当2m =-时，平行；当2m =时，重合 【解析】 【分析】
计算出(2)(2)D m m =+-，(2)x D m m =-(1)(2)y D m m =+-，讨论是否为0得到答案. 【详解】
42
mx y m x my m
+=+⎧⎨
+=⎩ 244(2)(2)1
m D m m m m
=
=-=+-，24(2)4(2)x m D m m m m m m
m
+=
=+-=-
22(2)(1)(2)1
y m m D m m m m m
+=
=-+=+-
（1）当2m ≠且2m ≠-时，0D ≠，方程组有唯一解，1l 与2l 相交 （2）当2m =-时，0,80x D D ==≠，1l 与2l 平行 （3）当2m =时，0x y D D D ===，1l 与2l 重合 【点睛】
本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.
5．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
由题意，2a b x x M c d y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
g ，
所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；
所以矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6．已知矩阵11m A m ⎛⎫
=
⎪
-⎝⎭
（0m >）满足24A I =（I 为单位矩阵）． （1）求m 的值；
（2）设(,)P x y ，,()'Q x y '．矩阵变换11x m x y m y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可以将点P 变换为点Q ．当点P 在直线:1l y x =+上移动时，求经过矩阵A 变换后点Q 的轨迹方程．
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1
）m （2
）1)1)40x y ''--=（3
）存在，1:3
l y x =
，2:l y =．
【解析】 【分析】
（1）计算2A ，由24A I =可求得m ；
（2
）由1
1x x y y ⎛'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'-⎝⎭⎝⎭⎭
，得x x y y ⎧=+⎪⎨=-''⎪⎩
，解得44x x y y
⎧=+⎪⎨='-''
'⎪⎩．代入1y x =+可得；
（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l 方程为
(0)y kx b k =+≠，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k ，可分类
0b ≠和0b =．
【详解】
（1）0m >Q ，22
21110104110101m m m A m m m ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
m ∴=（2
）1
1x x x y y y ⎛⎛⎫
'+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎪⎪'--⎝⎭⎝⎭⎭⎭
Q ，
即x x y y ⎧=⎪⎨=-''⎪⎩
，44x x y y ⎧=+⎪∴⎨='
-''
'⎪⎩． ∵点(,)P x y 在直线1y x =+上，
4y x ''''-=++，
即点()','Q x y
的轨迹方程1)1)40x y ''--+-=． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．
设:(0)l y kx b k =+≠，(,)P x y
，()Q x y +-
()y k x b -=++Q ，
1)(y k x b ∴-+=+
当0b ≠
时，1)1,k k -+==，无解． 当0b =
220k =⇒+-=,
解得k =
k =
∴所求直线是1:3
l y x =
，2:l y =． 【点睛】
本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为
(,)P x y ，变换后为()','Q x y ，由矩阵运算得'(,)'(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩，然后解得(',')
(',')x h x y y i x y =⎧⎨=⎩
，
把(,)x y 代入原曲线方程即得新方程．
7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A
A c
B
B B -=-
求角C 的大小.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】
由sin
cos
sin 222sin
cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec
1
2
A A c
B
B A B
C B A B -=⇒++=-
sin sin 22A B C +⎛⎫
⇒+= ⎪
⎝⎭
又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫
+=⇔+= ⎪
⎝⎭
，
sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫
+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又Q 3,
2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，242C ππ
+=∴， 解得2
C π
=
【点睛】
本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题
8．已知函数()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
.
（1）求()f x 的单调增区间. （2）函数()f x 的图象F 按向量,13a π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
v 平移到'F ，'F 的解析式是()'y f x =.求()'f x 的零点.
【答案】（1）42,233k k ππππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）23
x k π
π=±，k Z ∈. 【解析】 【分析】
（1）由题意根据二阶行列式的运算法则及利用两角和差的三角公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()2cos 1f x x '=-，再根据函数零点的定义和求法求得()f x '的零点． 【详解】
解：（1）()2cos 2sin 3sin cos 3x f x x παα
παα
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭=
⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
Q
()2cos cos 2sin sin 33f x x x ππαααα⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2cos 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令223
k x k π
πππ-≤+
≤，k Z ∈，求得42233
k x k ππ
ππ-≤≤-，k Z ∈， 则()f x 的单调增区间42,233k k ππππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）()2cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 按向量,13a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移到'F
'F ∴的解析式是()'2cos 1y f x x ==-，令2cos 10x -=，
解得23
x k π
π=±
，k Z ∈.
所以()'f x 的零点为23
x k π
π=±，k Z ∈.
【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的单调性，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，函数零点的定义和求法，属于基础题．
9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 9
01
lg 4
m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】
由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，
则2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
又由lg 919
lg ln 9lg ln 1
44lg 4
m m n m n n
=-⨯=-，所以lg 9
01lg 4m n <. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）12
- 【解析】 【分析】
(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】
解：(1)不等式
2
01
x a
x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =． (2)由(1)知
1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为
纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得12
tan α=-. 【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11．已知矩阵4321M -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
，向量75α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r . （1）求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求3M α.
【答案】（1）特征值为11λ=，22λ=，分别对应的特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦和32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，（2）
34933M α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
r .
【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2）7132512α⎛⎫
⎡⎤
⎡⎤
==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g ，即可求3M αr
．
【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为()(1)(2)f λλλ=--， 令()0f λ=，可求得特征值为11λ=，22λ=， 设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
则由1M λαα=，得330x y -+=，可令1x =，则1y =-，
所以矩阵M 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
同理可得矩阵M 的一个特征值22λ=对应的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
（2）7132512α⎛⎫⎡⎤
⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
r g
所以33
1349221233M α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
r ．
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．解关于x 、y 的方程组(1)20
24160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩
，并对解的情况进行讨论.
【答案】答案见解析； 【解析】 【分析】
将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b
为2个常数项构成列向量． 而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解． 【详解】 解：Q (1)20
24160
x m y m mx y +++-=⎧⎨
++=⎩化成矩阵形式Ax b =
则1124m A m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，216m b -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
()()()24212242111
24
2m m D m m m m m m ∴==-+=+=-++---,
()()()421611221
16422412x D m m m m m m ==-++-=-+=++,
()()()162222412216
y D m m
m m m m =
=----+-=-
当系数矩阵D 非奇异时，或者说行列式24220D m m =--≠， 即1m ≠且2m ≠-时，方程组有唯一的解， 61x D x D m =
=-，4
1y D m y D m
-==-． 当系数矩阵D 奇异时，或者说行列式24220D m m =--=， 即1m =或2m =-时，方程组有无数个解或无解．
当2m =-时，原方程为4044160x y x y --=⎧⎨-++=⎩无解，
当1m =时，原方程组为210
24160x y x y +-=⎧⎨++=⎩
，无解．
【点睛】
本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立，属于中档题．
13．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.
【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2）2
92y x x =-
【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即31333a b -+=⎧
⎨
-+=-⎩，解得2
0a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦，即23x x y
y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
14．己知矩阵1221M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
. （1）求1M -；
（2）若曲线22
1:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.
【答案】（1）1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）223y x -= 【解析】 【分析】
（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对
应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】
解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21202021
a c
b d a
c b
d +=⎧⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧
=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-
⎩
，所以1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ， 则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000022x y x x y y
+=⎧⎨+=⎩， 解得0023
23y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩
. 因为220
1x y -=，所以22
22133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，整理得22
3y x -=， 所以2C 的方程为22
3y x -=. 【点睛】
本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.
15．已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．设变换T 对应的矩阵为M ． （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
【答案】（1）33244M ⎡
⎤-
⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6
【解析】 【分析】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,
的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案； 【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c
d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即1924122324
a b c d b d ⎧
+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-
⎪⎪⎪=⎩，解得33244a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦．
（2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得
2
3
3
()(3)(24)676244
f λλλλλλ-=
=---=-+-， 令()0f λ=，可得1λ=或6λ=． 【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
16．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，
属于特征值的一个特征向量为
.求矩阵.
【答案】
【解析】 【分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得
，
，，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
17．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】 设a b C c d ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1
2
1
4
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f
λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
； 当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
. 【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
18．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵12a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下
得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A .
【答案】1102-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点，根据题意变换得到直线
220x ay bx y +++-=，对比得到答案.
【详解】
设(,)P x y 是直线20x y +-=上任意一点， 其在矩阵2a a A b ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦对应的变换下得到122a x x ay b y bx y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
仍在直线上， 所以得220x ay bx y +++-=，与20x y +-=比较得1121b a +=⎧⎨
+=⎩，解得0
1
b a =⎧⎨=-⎩，
故1102A -⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19．已知矩阵1237A -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
， （1）求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，试求矩阵X ． 【答案】（1）（2）
【解析】 【分析】 【详解】 （1）设
=
，则
=
=
．
∴解得∴=
（2）
20．已知函数cos 2()sin 2m x f x n
x
=
的图象过点(
3)12
π
和点2(
,2)3
π
-. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)ϕϕπ<<个单位后，得到函数()y g x =的图
象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数
()y g x =图象的对称中心.
【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【解析】 【分析】
（1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值；
（2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在
()g x 图象上，由此可求得ϕ，结合余弦函数的性质可求得对称中心．
【详解】
（1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =-
，则由条件，得sin cos 66
44sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得 1.m n =
=-
故()2cos22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
.
故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.-
（2）由（1）可知： ()()2sin(22)6
g x f x x π
ϕϕ=+=++
.
于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件.
(0)2sin(2)26g πϕ∴=+=. 由0ϕπ<<，得.6
π
ϕ=
故()2sin(2)2cos 22
g x x x π
=+
=. 由22
x k =+
π
π，得().24
k x k Z ππ
=
+∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24
k k Z ππ
+∈. 【点睛】
本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．。